2023-2024学年江苏省连云港市赣榆区九年级（上）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.将方程改写成的形式，则，，的值分别为
( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2.如图，在数轴上，点、分别表示数、，且若、两点间的距离为，则点表示的数为
( )
A. B. C. D.
3.用配方法解方程时，配方后正确的是
( )
A. B. C. D.
4.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为
( )
A. B. C. D.
5.如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是
( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，弦垂直平分半径，垂足为，若的半径为，则弦的长等于
( )
A. B. C. D.
7.如图，四边形内接于，点为边上任意一点点不与点，重合连接若，则的度数可能为
( )
A. B. C. D.
8.如图，是外任意一点，、分别与相切于点、，与相交于点则点是的
( )
A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.计算 ．
10.关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ．
11.若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
12.已知一个直角三角形的两条直角边分别是和，则此直角三角形的内切圆半径 ．
13.在中，，若以为圆心长为半径作圆，则点在 填“内”，“上”或“外”．
14.为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知年该学校用于购买图书的费用为元，年用于购买图书的费用是元，则年到年该校购书费用的年平均增长率为 ．
15.如图，点，，在上，，，则 ．
16.如图，平行四边形的对角线相交于点，且，过点作交于点，若的周长为，则平行四边形的周长为 ．
17.如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，以为半径画弧，交对角线于点，则图中阴影部分的面积是 结果保留．
18.如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
解不等式：．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，、、在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标__；
的半径为__；
点到上最近的点的距离为__．
22.本小题分
如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽应为多少？
23.本小题分
如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
求证：与相切；
若，，试求的长．
24.本小题分
为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积单位： 每天施工费用单位：元
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
求的值；
该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工天，且完成的施工面积不少于该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
25.本小题分
张师傅要在如图所示的钝角三角形铁片上截取一个面积最大的半圆形工件，如果要求半圆形工件的直径恰好在三角形铁片的最长边上．
请你用直尺和圆规帮助张师傅作出符合条件的半圆形工件的示意图；不写作法，保留作图痕迹
若半圆圆心记为，其中，，，试求所作圆形工件的半径结果保留根号注：直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．
26.本小题分
某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这天内累计需水量与天数之间的关系如图所示，其中，线段，分别表示抽穗期、灌浆期的与之间的函数关系．
求这天内，与之间的函数关系式；
求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．
27.本小题分
如图，在矩形中，，，点以的速度从点向点运动，点以的速度从点向点运动．点、同时出发，设运动时间为秒，其中的外接圆记为．
当时，的半径是__，与直线的位置关系是__；
在点从点向点运动过程中，当与矩形相切时，求的值．
连接，交于点，如图，当时，则的值为__．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项进行分析即可．
【解答】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为，，，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据，、两点间的距离为判断出点、分别表示的数即可．
【解答】解：，
、互为相反数，
、两点间的距离为，
点、分别在距离原点的位置上，
点表示的数为．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都加，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的等式，即可求解．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据圆锥的侧面积底面周长母线长即可求出答案．
【解答】解：设底面半径为，则底面周长，圆锥的侧面展开图的面积，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】连接，由垂直平分，求出的长，再利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，利用垂径定理求出的长，即可确定出的长．
【解答】解：连接，由垂直平分，得到，
，
为的中点，
则．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】由圆内接四边形的性质得度数为，再由为的外角求解．
【解答】解：四边形内接于，
，
，
，
为的外角，
，只有满足题意．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据切线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，连接，，根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：、分别与相切于点、，
，，
，
连接，，
则，
，
，
，
，
点是的三个角的角平分线的交点，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】首先把和化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是和二次项的系数不等于解答即可．
【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】【分析】将代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【解答】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是，再根据其内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半进行计算．
【解答】解：根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是．
根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，则其内切圆的半径是．
故答案为：．
13.【答案】上
【解析】【分析】和的半径比较即可得出结果．
【解答】解：在中，，
以点为圆心，长为半径作圆，
点在上，
故答案为上．
14.【答案】
【解析】【分析】设年到年该校购书费用的年平均增长率为，利用年该学校用于购买图书的费用年该学校用于购买图书的费用年到年该校购书费用的年平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设年到年该校购书费用的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
年到年该校购书费用的年平均增长率为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】先利用圆周角定理得到，然后根据三角形内角和，利用求出的度数．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得，，，又由，即可得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得，又由的周长为，即可求得平行四边形的周长．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长，
即，
平行四边形的周长为：．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】根据计算即可；
【解答】解：，
故答案为．
18.【答案】
【解析】【分析】当，，三点共线时，线段的长度最小，求出此时的长度即可．
【解答】解：连接，
点和关于对称，
，
在以圆心，为半径的圆上，
当，，三点共线时，最短，
，，
，
故答案为：．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，；
．
，
，
或，
所以，．
【解析】【分析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
20.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为得：．
【解析】【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化计算即可．
21.【答案】解：如图，点为所作；点的坐标为；
故答案为：；
，，
，
即的半径为，
故答案为：；
，
点到上最近的点的距离为．
故答案为：．
【解析】【分析】利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，利用垂径定理的推论可判断点为经过、、三点的圆的圆心；
利用两点间的距离公式计算出即可；
过点的半径可得到点到上最近的点，则点到上最近的点的距离为．
22.【答案】解：设路宽应为米
根据等量关系列方程得：，
解得：或，
不合题意，舍去，
所以，
答：道路的宽应为米．
【解析】【分析】要求路宽，就要设路宽应为米，根据题意可知：矩形地面所修路面积草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
23.【答案】证明：
过点作于点，如图，
平分，，，
，
与相切；
解：，，，
，
在和中，
，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，
解得，
．
【解析】【分析】过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
先利用勾股定理计算出，再证明得到，所以，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，则可方程求出，然后计算即可．
24.【答案】解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为；
设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，
根据题意得：，
解得：，
设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用．
【解析】【分析】利用工作时间工作总量工作效率，结合甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出的值；
设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，根据天完成的施工面积不少于，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，利用总费用甲工程队施工时间乙工程队施工时间，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
25.【答案】解：如图所示；
过点作于点，则，
，，
，．
，
，解得．
【解析】【分析】作的平分线，交边于点，过点作，以点为圆心，为半径画半圆即可；
过点作于点，则，再由，用表示出及的长，再根据即可得出结论．
26.【答案】解：由题意，当时，设，
．
．
．
当时，设关系式为，
．
．
．
综上，所求函数关系式为．
由题意，令，
．
又当时，，
每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．
【解析】【分析】依据题意，分和两段通过待定系数法可以得解；
依据题意，令时求出需水总量，再减去前天的需水量，即可得解．
27.【答案】解：如图，过作于，交于，
四边形是矩形，
，，
的直径是，，
当时，，，
，，
，，
，
的半径为，
，是的中点，
，
是的中位线，
，
，
与直线的位置关系是相离；
故答案为：，离；
如图，当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，，
则，，
，
，
中，，
，
，
解得：；
当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，，
则，，
，
，
，
，
解得：；
综上所述：当与矩形相切时或；
如图，过作，交的延长线于点，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：舍，．
故答案为：．
【解析】【分析】先求出，的长，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的外接圆直径是斜边即可求解；
如图，根据切线的性质作辅助线，则，，由列方程即可求解；
如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，，最后根据勾股定理列方程即可求解．
