福州十八中2023-2024学年第一学期期中考试
九年级 数学科试卷
（满分：150分 时间：120分钟）
学校：______姓名：______班级：______座号：______
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.习近平总书记强调，“垃圾分类工作就是新时尚”.下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.反比例函数的图象在坐标系的（ ）
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限
3.下列事件中，必然事件是（ ）
A.抛掷一枚骰子，出现4点向上 B.四边形的内角和为360°
C.抛掷一枚硬币，正面朝上 D.明天会下雨
4.如图，BD是的直径，弦于点E，若，则的度数为（ ）
A.30° B.35° C.45° D.60°
5.点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，绕点O顺时针旋转40°得到，若，则的度数是（ ）
A.85° B.90° C.95° D.100°
7.关于抛物线的图象，下列说法错误的是（ ）
A.开口向下 B.对称轴是直线
C.顶点坐标为 D.与x轴有两个交点
8.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D.不透明袋子中有1个白球和2个黄球，从中随机取出一个球是黄球
9.二次函数的图象如右图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，已知正方形ABCD的边长为6，以点C为圆心，3为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是（ ）
A.9 B. C. D.7.5
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11.在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为______.
12.一个不透明的布袋中装有4个红色球、m
个白色球，除颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在0.5，可估计这个布袋中白球的个数为______.
13.第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素.如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角最小为______度.
14.已知是二次函数，则m的值为______.
15.已知半径为3cm的扇形的面积为，则扇形的弧长是______cm.
16.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，将线段AO绕点A逆时针旋转90°得到线段AB，反比例函数的图象经过A，B两点.若点A的坐标为，则k的值为______；
三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题8分）已知二次函数.
（1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
… 0 1 2 3 4 …
… ______ 0 ______ ______ 3 …
（2）根据图象回答：当时，的取值范围是______
18.（本小题8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，.
（1）把绕原点O旋转180°后得到对应的，请画出旋转后的；
（2）若点P为的外心，请直接写出点P的坐标______
19.（本小题8分）福建某公司经销一种红茶，每千克进价为40元.市场调查发现，在一段时间内，销售量p（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，其关系式为.设这段时间内，销售这种红茶总利润为（元）.
（1）求y与x的函数关系式.[提示：总利润=（销售单价进价）×销售量]
（2）求这段时间内，销售这种红茶可获得的最大总利润.
20.（本小题8分）在一个不透明的口袋里装有分别标注1、2的两个小球（小球除数字外，其余都相同），另桌面上放置三张背面完全一样、正面分别写有3、4、5的卡片，现从口袋中任意摸出一个小球，再从桌上这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张，则：
（1）背面朝上的三张卡片中任意摸出一张，恰好是偶数的概率是______；
（2）小方和小圆按下列规则做游戏：若摸出的小球和卡片的数字之和为奇数，则小方赢；若摸出的小球和卡片的数字之和为偶数，则小圆赢。请判断这个游戏规则是否公平？并用列表或者画树状图的方法说明理由.
21.（本小题8分）如图，在中，，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，且.
（1）求证：DC为的切线；
（2）若，，求半径的长.
22.（本小题10分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接OA，OB.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出时的取值范围.
23.（本小题10分）如图，点O是等边内的一点，，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接OD，OA.
（1）求证：是等边三角形；
（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；
（3）若，，求AB的长（直接写出结果）.
24.（本题13分）我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“明盟函数”，交点称为“明盟点”，两交点间的距离称为“明盟距”
（1）判断下例函数是“明盟函数”，吗？如果是，请在括号里打“√”，并计算“明盟距”填在横线上，如果不是“明盟函数”则在括号里打“×”；
①（ ），______；②（ ），______；
（2）求出“明盟函数”的“明盟距”；
（3）“明盟函数”G：左侧的“明盟点”位于和之间（含A、B两点）时，关于t的代数式，（其中）的最小值为，求n的值.
25.（本题13分）已知：四边形ABCD为的内接四边形，BD、AC相交于点E，.
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，过点C作于点F，交BD于点G，当时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，若，求CB的长.
图1 图2 图3
福州十八中2023-2024学年第一学期期中考试
九年级数学科试卷参考答案和解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. A 2. B 3. B 4. B 5. C 6. C 7. C 8. B 9. D 10. A
二、选择题（每小题4分，共24分）
11.. 12.4 13.60. 14.1
15. 16.
三、解答题（共9小题，共86分）
17.3 0
17.解：（1）列表：（每空1分，画图正确2分，共5分）
… 0 1 2 3 4 …
… 3 0 0 3 …
描点、连线画出函数图象如图：
（2）时，的取值范围是.（3分）
18.（1）即为所求；图形如上右图（每个点标对得1分，连接正确再得2分）
（2）点坐标为（正确得3分）
19.解：（1）
∴与的关系式为：.
（2）∵
，
∴当时，销售利润的值最大，最大值为2700元.
20.解：（1）
（2）这个规则公平，理由如下：
列表如下：
1 2
3
4
5
由表知，共有6种等可能结果，其中和为奇数的有3种结果，和为偶数的也有3种结果，（6分）
所以按规则：，
∵，
∴这个规则公平.
21.（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
∵
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
设半径为，则，
在直角三角形中，
，即（7分）
∴.
∴半径的长为3.
22.解：（1）把代入中，
解得：，
故反比例函数的解析式为；
把代入，解得，
故，
把，代入，
得，解得：，
故一次函数解析式为；
（2）8；
设一次函数与轴交于点，
令，得.
∴点的坐标是，
∴.
（3）由图象可知，当或时，直线落在反比例函数上方，即，所以时的取值范围是或.
23.解：（1）由旋转的性质得，，
∴，即，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
（2）与的位置关系是：，理由如下：
由（1）知为等边三角形，从而，
∵将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，
∴，
∴，
∴
（3）.
（3）由旋转的性质得，，
在中，由勾股定理得：
∵，则
∵为等边三角形，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：.
24.解：（1）①反比例函数与轴没有交点，故不是“明盟函数”，故答案为：×.（1分）
②，
∴函数与轴有两个不同交点，即是“明盟函数”，
当时，，解得：，
∴与轴的交点坐标为：，
∴“明盟距”为：，
故答案为：√，4.
（2）∵是“明盟函数”，
∴方程
解得：，
∴与轴的交点坐标为：，
∴“明盟距”为：，
（3）函数是“明盟函数”，
方程有两个不相等的实数根，即
∵，
∴，
∴该函数与轴的交点坐标为：，
∴左侧的“明盟点”坐标为：，
∵左侧的“明盟点”位于和之间，
∴，解得：；
∵，
∵设，
∴该函数开口向上，
当时，
此时时，函数有最小值，
∵函数最小值为，
∴，
解得：，
当时，
∵该函数的对称轴为，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，函数取最小值，
∴最小值为，解得：或（舍），（12分）
综上：或.
25.（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
图1
（2）证法一：设
∵，即
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
证法二：过点作交于点，交于点，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，（5分）
在与中，
，
∴，
∴；
（3）解：连接，，，延长交于，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵点在上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，在上取，连接，
∵为的中点，
则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，∴
在中，∵
图3
【解析】
1.解：A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意.
故选：A.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.
2.解：∵反比例函数中，，
∴此函数图象的两个分支分别位于第二四象限.
故选：B.
直接根据反比例函数的性质即可得出结论.
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键.
3.A、抛掷一枚骰子，出现4点向上是随机事件，故选项错误，不符合题意；
B、四边形的内角和为是必然事件，故选项正确，符合题意；
C、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故选项错误，不符合题意；
D、明天会下雨是随机事件，故选项错误，不符合题意；
故选：B.
根据必然事件的概念选择即可.
此题考查了必然事件的概念，解题的关键是掌握必然事件的概念（必然事件是一定要发生的事件）.
4.【分析】
本题主要考查垂径定理与圆周角定理，属于基础题.掌握垂径定理与圆周角定理是解题关键.
由题意，弦直径，可得（垂径定理），再利用等弧所对的圆心角相等与同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解.
【解答】
∵的直径，
∴，
∴，
∴；
故选B.
5.【分析】
分别把、、各点坐标代入反比例函数求出、、的值，再比较大小即可.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式.
【解答】
解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选：C.
6.【分析】
此题重点考查旋转的性质，由推导出是解题的关键.
由旋转得，可推导出，而，，即可求得.
【解答】
解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C.
7.A.抛物线图象开口向下，故A选项不符合题意；
B.对称轴是直线，故选项B不符合题意；
C.抛物线图象的顶点坐标为，故C选项符合题意；
D.当时，，，此方程有2个不相等的实数解，所以抛物线与轴有2个交点，故D选项不符合题意；
故选：C.
利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；通过判断的根的情况对D进行判断.
本题主要考查抛物线与轴的交点，对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键.
8.解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小小明随机出的是“石头”的概率为，不符合题意；
D、不透明袋子中有1个白球和2个黄球，从中随机取出一个球是黄球的概率，不符合题意；
故选：B.
分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意；
本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定.
9.解：因为二次函数的图象开口向上，得出，与轴交点在轴的正半轴，
得出，利用对称轴，得出，
所以一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，
因此只有D选项的图象符合题意.
故选：D.
根据二次函数的图象开口向上，得出，与轴交点在轴的正半轴，
得出，利用对称轴，得出，进而对照四个选项中的图象即可得出结论.
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数图象，得出、、是解题的关键.
10.【分析】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的基本性质，解答本题的关键是掌握利用全等三角形的性质证明线段相等的思路与方法；连接，，首先证明，根据全等三角形的性质得出，然后得出当点在的延长线上时，取最大值，求出此时的长即可.
【解答】
解：连接，，如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
根据旋转的性质可得，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
当点在的延长线上时，取最大值，如图：
∴的最大值为.
故选A.
11.解：抛物线的顶点坐标为，把点向下平移4个单位长度后得到点的坐标为，所以平移后所得的抛物线的解析式为.
故选：A.
12.【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的频率，列出方程，然后求解即可得出答案.
此题考查利用频率估计概率，解答此题的关键是根据口袋中白色球所占的比例，计算其个数.
【解答】
解：根据题意得：，
解得：，
经检验是方程的解，
答：估计这个布袋中白球的个数为4个，
故答案为：4.
13.【分析】
本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正六边形的中心角是解题的关键.
先求出正五边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可.
【解答】
解：，
则这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，
故答案为：60
14.【分析】
本题主要考查的是二次函数的概念的有关知识，直接利用二次函数的概念进行求解即可.
【解答】解：∵是二次函数，
∴且，
解得.
15.解：设扇形的弧长为，
∵半径为的扇形的面积为，
∴，
解得：，
即扇形的弧长为，
故答案为：.
设扇形的弧长为，根据扇形面积公式得出，再求出即可.
本题考查了弧长公式的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：已知圆的半径为，的圆心角所对的弧的长度为.
16.【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形全等是解决问题的关键.作轴于，轴于，过点作轴于，交于，则，先求得，得出，，从而求得，根据得出方程，解方程即可.
【解答】
解：作轴于轴于，过点作轴于，交于，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：（负值舍去），
∴，
∴.
故答案为.
17.解：（1）列表：
… 0 1 2 3 4 …
… 3 0 0 3 …
描点、连线画出函数图象如图：
（2）时，的取值范围是.
故答案为：.
（1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可；
（2）根据函数图象写出的取值范围即可.
本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键.
18.解：
（1）分别作出，，绕原点旋转后的对应点，，，再顺次连接，，，如上图，即为所求；
（2）作，的垂直平分线，交点即为，如上图：
由图可知，的坐标为，
故答案为：.
（1）分别作出，，绕原点旋转后的对应点，，，再顺次连接，，，即为所求；
（2）作，的垂直平分线，交点即为，由图可得答案.
本题考查作图—旋转作图，解题的关键是掌握网格的特征，能作出已知点旋转后的对应点.
19.（1）由总利润等于每千克红茶的利润乘以销售量即可得到答案；
（2）用配方法化简函数式求出的最大值即可.
本题考查的是二次函数的实际应用.正确的理解题意列出二次函数关系式是解题的关键.
20.（1）利用列表法可得所有等可能结果；
（2）从表格中找到和为奇数与积为奇数的结果数，根据概率公式求解即可得出答案.
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率.
21.（1）连接，利用圆周角定理可以得到，然后根据切线的判定方法可得结论；
（2）设半径为，在直角三角形中，根据勾股定理列方程即可求出半径.
此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键.
22.【分析】
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用.利用了数形结合思想.
（1）首先把代入反比例函数解析式中确定，然后把代入反比例函数的解析式确定，然后根据，两点坐标利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）求得一次函数与轴的交点，根据即可求解；
（3）根据图象，写出直线落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可.
【解答】
解：（1）见答案；
（2）如图，
设一次函数与轴交于点，
令，得.
∴点的坐标是，
∴.
故答案为8；
（3）见答案.
23.解：（1）见答案；
（2）见答案；
（3）由旋转的性质得，，
在中，由勾股定理得：
∵，则
∵为等边三角形，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：.
（1）根据旋转的性质得到三角形为等边三角形即可求解；
（2）将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，可知，即得，故；
（3）在中，由勾股定理即可求得的长.
本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状.
24.本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与轴交点坐标的求法，根据二次函数的对称轴分析增减性和最值.
（1）根据反比例函数的性质即可判断①，求出二次函数的的值，即可判断②；
（2）根据求根公式求出方程的两个根，即可得出函数与轴的两个交点坐标，即可求解；
（3）由求根公式可得函数与轴的交点坐标，根据左侧点的位置可得的取值范围；然后根据的取值范围，将看作关于的函数，并化为顶点式，分两种情况，结合函数的对称轴和增减性即可进行解答.
25.本题考查圆的综合应用，掌握圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
（1）由，得到，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，进而可得答案；
（2）过点作交于点，交于点，利用证明，从而证明结论；
（3）连接，，延长交于，过作于，先证，再证，在上取，则四边形为，求得，，由勾股定理即可求得的值.
