2023-2024学年广东省珠海市香洲区前山中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2+2x＝x2﹣1 B．x+y＝6
C．x2+2x+1＝0 D．
2．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝17 B．（x﹣6）2＝17 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
3．一元二次方程x2+3x﹣5＝0根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断
4．抛物线的对称轴是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝﹣1
5．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x+1）2+2
C．y＝（x+1）2+4 D．y＝（x﹣3）2+4
6．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，则可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝253 B．x（x﹣1）＝253
C． D．
7．如图，抛物线与直线y2＝mx+n相交于点（﹣3，0）和（0，3），与x轴的另一交点为（1，0），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜0 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣3或x＞0 D．x＜﹣3或x＞1
8．如图，两个半圆分别以O，O1为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，A1，B1在同一直线上，则对称中心为（ ）
A．点O B．点B
C．线段AO1的中点 D．线段AA1的中点
9．已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝x2+2x+1上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m交于A，B两点，点C为抛物线的顶点，连接AC，BC，∠ACB＝90°，且△ABC的面积为4，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．下列现象中属于旋转的有 ．（填序号）
①火车在笔直行驶；
②荡秋千运动；
③地下水位下降；
④钟摆的运动；
⑤圆规画圆．
12．若抛物线y＝mx2+mx﹣1的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 ．
13．如图，△ABC和△DEC关于C点成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE＝ ．
14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 秒才能停下来，滑行了 米．
15．若实数a，b分别满足a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0，且a≠b，则＝ ．
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，有以下四个结论：①ab＜0；②2a+b＝0；③4a+b2＜4ac；④3a+c＜0，其中正确的结论是 （填序号）．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标．
19．已知关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0．若方程有一实数根是2，求p的值及方程的另一个根．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．前山中学青葵园里有一块矩形菜地，菜地一边靠魏缩楼外墙，墙长14m，另外三边用一段30m的篱笆围成．
（1）如图，设菜地垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 ，菜地面积y关于x的函数关系式为 ，自变量x取值范围是 ；
（2）这块菜地的面积最大可以达到多少m2．
21．如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于点H．
（1）判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
22．在本次杭州亚运会跳水项目女子10米跳台决赛中，全红婵再秀“水花消失术”，惊艳夺冠!赛前，全红婵站在10米高的跳台上进行跳水练习，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，身体距离水面OB的高度y（m）与身体离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，当她离起跳点A的水平距离为1m时，身体达到最高点；当她离起跳点A的水平距离为3m时，距离水面7m．
（1）求y关于x函数解析式；
（2）求全红婵从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
23．某大型果品批发商场经销一种高档坚果，进货时成本价连连上涨，原进价每千克64元，连续次涨价后现在每千克81元．
（1）若每次成本价上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）销售调研发现，若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．在进货价不再改变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施销售，若每千克涨价1元，日销量将减少25千克，现该商场要保证销售该坚果每天盈利5600元，且要尽快减少库存，售价应为多少元？
（3）商家还想继续涨价，争取每天盈利8000元，商家的想法能实现吗？如果能，此时售价是多少？如果不能，说明理由．
24．如图，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，B点坐标为（2，0），C点坐标为（0，﹣4）．点D是抛物线上一动点，点P是抛物线对称轴上一动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）动点D位于直线AC下方的抛物线上时，连接AD，CD，是否存在点D使得△ACD的面积最大，若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）动点P在对称轴上何处时，使得△PAC为直角三角形，求出此时P点坐标．
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