2023~2024学年度九年级（上学期）期中测试
数学试卷
考生须知：
1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟。
2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内。
3.请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效。
4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.方程的解是（ ）
A. B.，
C.， D.，
3.已知函数是二次函数，则m的值为（ ）
A. B. C.3 D.
4.的半径为5，同一平面内有一点P，且，则点P与的位置关系是（ ）
A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.无法确定
5.已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A.11.5° B.112.5° C.122.5° D.135°
7.设、、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，以O为圆心的两个同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点.若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（ ）
A.2 B. C. D.2
9.的半径为5cm，弦弦CD，且，，则AB与CD之间的距离为（ ）
A.1cm B.7cm C.3cm或4cm D.1cm或7cm
10.如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（ ）个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.已知关于x的方程的一个根是，则______.
12.在直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.
13.如图，P是的直径BA延长线上一点，点D在，PD交于点C，且，如果，则______.
14.如果二次函数的顶点在轴上，那么______.
15.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是______.
16.一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，可列方程为______.
17.如图，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的坐标为______.
18.如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB.则面积的最大值与最小值的差为______.
三、解答题（19~24题每题6分，25~27题每题10分，共66分）
19.解方程
（1） （2）
20.如图，三个顶点的坐标分别为，，.
（1）请画出关于原点对称的；
（2）请画出绕点B逆时针旋转90°后的，并写的坐标
21.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C.
（1）将化成的形式；
（2）求点A、B、C的坐标；
（3）观察图象直接写出不等式的解集.
22.如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C上有一部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号.
（1）求B处离岛C的距离；
（2）求该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间.
23.先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等.如图1，点A，B，C，D均为上的点，则有.小明还发现，若点E在外，且与点D在直线AB同侧，则有.
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：
图1 图2
问题：如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为.
（1）在图2中作出的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），并求出此圆与x轴的另一个交点的坐标；
（2）点P为x轴正半轴上的一个动点，连接AP、BP，当达到最大时，直接写出此时点P的坐标.
24.某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将绕A点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.
（1）求证：；
（2）当旋转角时，四边形ABPF是怎样的特殊四边形？请说明理由.
图1 图2
25.如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD
，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栅栏.
（1）若围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值.
26.如图，在中，点O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作，交BC于点D，交AB于点E，弧ED与弧DC相等，点F在线段BE上，.
（1）求证：；
（2）判断DF与的位置关系，并加以证明；
（3）若的半径为5，，求BD的长.
27.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的解析式为，与x轴、y轴分别交于点B、点A，抛物线经过点A，与直线AB交于点C，点C的横坐标为4，抛物线的对称轴为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在直线AC上方的抛物线上，点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交AC于点M，过点P作y轴的平行线交AC于点N，当时，求t值；
（3）点Q是坐标平面内一点，将绕点Q沿逆时针方向旋转90°后，得到，点A、O、B的对应点分别是点、、.若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点的横坐标.
备图
初三10月份月考数学参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.B 2.B 3.A 4.C 5.A 6.B 7.A 8.B 9.D 10.C
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 12. 13. 14.17
15.40cm 16. 17.或 18.5
三、解答题（19~24题每题6分，25~27题每题10分，共66分）
19.解（1） （2）
20.（1）如图 （2）如图的坐标
21.解：（1），即；
（2）令，则，即该抛物线与轴的交点坐标是，
令，则，，，
所以该抛物线与轴的交点坐标是、.
（3）不等式，即，由图可知或.
22.解：（1）过作于，则为渔船向东航行到道最短距离，
∵在处测得岛在北偏东的，
∴，
又∵处测得岛在北偏东，
∴，
∴，
∴（海里）（等边对等角）；
（2）以点为圆心，20为半径作圆，与直线交点、，连接，，在中，，，，，
中，勾股定理求
23.（1）如图，过圆心作垂足为，连接、，可证四边形为矩形，，，，，
，
设长为，
（2）（经过两点，与轴相切于的，由阅读材料可的，点在切点时取等号.）
24.（1）证明：∵用两块完全相同的且含角的直角三角板与，∴，∴
，∵绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，∴
∴，∴
（1）四边形是菱形，理由如下：∵用两块完全相同的且含角的直角三角板与，
∴，∵，∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵，∴四边形是菱形
25.解：（1）设长米，则长为米，
根据题意得，解得，不合题意舍去；
答：的长为10米.
（2）设长米，∴，
则时，的最大值为1250；
的最大值为1250.
（1）证明：连接，∵弧与弧相等
∴，∵是的直径∴，
∴，∴，，
∴，∴
（2）与相切，证明：连接，
∵∴
∵∴
∵点O是AC的中点∴
∵∴
∵∴∵
∴∴∴
∴∴
∴∴与相切
（3）解：连接DE，CE，∵弧与弧DC相等∴
∵∴
∵∴∴∴
设EF长为x，则，
∵∴∴
∵∴∴
∵AC是的直径
∴在中，
解得 （舍）
在中，
26.解：（1）抛物线与轴交于点令，，∴
∵直线经过点，∴，∴直线的解析式为直线交于点，点的横坐标为4，令，，∴
∵抛物线经过点，对称轴为
∴解得
∴抛物线的解析式为；
（2）∵∴∴
∵轴轴∴
∴∴
，
解得
（3）点的横坐标或.
