1．6 平面直角坐标系中的距离公式
必备知识基础练
知识点一两点间的距离公式
1.已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．4 B．－4或2C．－2 D．－2或4
2．光线从点B(－3，5)出发射到x轴上，经反射后过点A(2，10)，则光线从点B到点A经过的路程为________.
3．已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形．
知识点二点到直线的距离公式
4.已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
A．1 B．－1C． D．±
5．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.
6．求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l的方程．
知识点三两条平行直线间的距离公式
7.若直线l1：x＋2y－6＝0与l2：2x＋ay＋8＝0平行，则l1与l2之间的距离是( )
A．2 B．C． D．
8．直线l1经过点(3，0)，直线l2经过点(0，4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________.
9．已知直线l1：2x＋3y＝1和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为2∶1，则直线l的方程为________________.
关键能力综合练
一、选择题
1．已知△ABC的顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为( )
A．8 B．13 C．2 D．
2．已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( )
A．－ B．－ C． D．
3．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是( )
A．1 B．－3C．1或 D．－3或
4．平行线x－2y＝0与x－2y－5＝0之间的距离为( )
A．5 B． C． D．2
5．[易错题]两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为( )
A． B． C． D．
6．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________.
8．直线l在x轴上的截距为1，又点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则直线l的方程为________________________________________________________________________．
9．[探究题]P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________.
三、解答题
10．在直线x＋3y＝0上求一点P，使点P到原点的距离和到直线x＋3y－2＝0的距离相等．
学科素养升级练
1．[多选题]瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是( )
A．(2，0) B．(0，2)C．(－2，0) D．(0，－2)
2．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为________.
3．[学科素养——数学运算]如图所示，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3).
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
(2)在△ACD中，求CD边上的高所在的直线方程；
(3)求四边形ABCD的面积．
1．6 平面直角坐标系中的距离公式
必备知识基础练
1．解析：由＝5，得a＝4或a＝－2.
答案：D
2．解析：点B(－3，5)关于x轴的对称点为B′(－3，－5)，设AB′交x轴于P点，则|PA|＋|PB|＝|AB′|＝＝5，即光线从点B到点A经过的路程为5.
答案：5
3．证明：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
|BC|＝＝2，
∴|AC|＝|BC|.又∵点A，B，C不共线，
∴△ABC是等腰三角形．
4．解析：由题意，得＝1，即|a|＝，
解得a＝±.
答案：D
5．解析：由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得|BC|＝＝2，
设点A到BC的距离为d，则
d＝＝，所以S＝|BC|·d＝×2×＝4.故△ABC的面积为4.
6．解析：解法一：因为点A(1，1)与B(－3，1)到y轴的距离不相等，
所以直线l的斜率存在，设斜率为k，
则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1，1)，B(－3，1)到直线l的距离相等，得＝，
解得k＝0或k＝1.
所以直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
解法二：①当直线l过线段AB的中点时，点A，B到直线l的距离相等，
因为线段AB的中点是(－1，1)，直线l过点P(0，2)，所以由直线方程的两点式得直线l的方程是＝，即x－y＋2＝0.
②当直线l∥AB时，点A，B到直线l的距离相等，因为直线AB的斜率为0，所以直线l的斜率为0，所以直线l的方程为y＝2.综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
7．解析：两条直线l1：x＋2y－6＝0与l2：2x＋ay＋8＝0平行，所以＝≠，解得a＝4.所以直线l2：2x＋4y＋8＝0可化为x＋2y＋4＝0.所以l1与l2之间的距离d＝＝＝2.故选A.
答案：A
8．解析：当l1，l2与过(3，0)，(0，4)两点的直线垂直时，dmax＝5.
答案：(0，5]
9．解析：直线l1的方程可转化为4x＋6y－2＝0.易知l1∥l2∥l，所以可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0(C≠－2且C≠－9).由题意，可得＝2×，解得C＝－16或C＝－.故直线l的方程为4x＋6y－16＝0或4x＋6y－＝0，即2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0.
答案：2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0
关键能力综合练
1．解析：由B(10，4)，C(2，－4)，得M，即点M的坐标为(6，0).
又A(7，8)，故|AM|＝＝.故选D.
答案：D
2．解析：|AB|＝＝＝，
∴当a＝时，|AB|取得最小值．
答案：C
3．解析：由点到直线的距离公式可得＝4，解得k＝－3或k＝.
答案：D
4．解析：两平行线之间的距离d＝＝.
答案：C
5．解析：若两直线平行，则可得＝，所以a＝6，所以两条平行直线6x＋8y－24＝0与6x＋8y＋11＝0间的距离为d＝＝＝.
答案：C
6．解析：由题意知，点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0(c≠－7且c≠－5)，则＝，即c＝－6，所以点M在直线x＋y－6＝0上，所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.
答案：A
7．解析：由题意得＝，解得a＝－3或3.
答案：－3或3
8．解析：当直线l的斜率不存在时，l⊥x轴，符合要求，此时l的方程为x＝1.当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵点A，B到l的距离相等，∴＝，
∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或x＝1.
答案：x－y－1＝0或x＝1
9．解析：因直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，故|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，即|PQ|min＝＝.
答案：
10．解析：由题意可设P(－3y0，y0)，则＝，即|y0|＝，∴y0＝±.故点P的坐标为或.
学科素养升级练
1．解析：设C(x，y)，AB的垂直平分线为y＝－x，△ABC的外心为欧拉线x－y＋2＝0与直线y＝－x的交点(－1，1)，设为M，∴|MC|＝|MA|＝，∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10①.由A(－4，0)，B(0，4)知△ABC的重心为，代入欧拉线方程x－y＋2＝0得x－y－2＝0②.由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2.故选AD.
答案：AD
2．解析：设与直线2x＋y＋1＝0的距离为的直线方程为2x＋y＋k＝0，则＝，解得k＝0或k＝2，∴与直线2x＋y＋1＝0的距离为的直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
答案：2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
3．解析：(1)依题意得线段AC的中点为，易知点也为线段BD的中点，设D(x，y)，因为B(－2，－1)，所以可得D(3，9).
(2)由(1)知kCD＝6，∴CD边上的高所在直线的斜率为－，∴CD边上的高所在的直线方程为y－5＝－(x＋1)，即y＝－＋.
(3)易知BC：x－y＋1＝0，∴A(－1，5)到直线BC的距离为＝，又|BC|＝4，∴四边形ABCD的面积为×4＝20.1．5 两条直线的交点坐标
必备知识基础练
知识点一两条直线的交点问题
1.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为( )
A．12 B．10
C．－8 D．－6
2．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为________.
3．三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点，则m的值为________.
4．求经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2，3)的直线方程．
知识点二直线过定点问题
5.不管m怎样变化，直线(m＋2)x－(2m－1)y－(3m－4)＝0恒过的定点是( )
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(2，1) D．(－2，－1)
6．已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点，这个定点的坐标为________.
知识点三与直线有关的对称问题
7.直线l：x＋2y－1＝0关于点(1，－1)对称的直线l′的方程为( )
A．2x－y－5＝0 B．x＋2y－3＝0
C．x＋2y＋3＝0 D．2x－y－1＝0
8．若点P(1，3)关于直线x＋2y－2＝0的对称点为Q，则点Q的坐标为________.
9．已知△ABC的一个顶点A(－1，－4)，∠B，∠C的平分线所在直线的方程分别是l1：y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0，求BC边所在直线的方程．
关键能力综合练
一、选择题
1．设A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则集合A∩B＝( )
A．{1，3} B．{(1，3)}C．{(3，1)} D．
2．经过直线2x＋y－2＝0和x－y－1＝0的交点，且与直线3x＋2y－2＝0垂直的直线方程是( )
A．3x－2y－1＝0 B．2x－3y－1＝0
C．2x－3y－2＝0 D．3x－2y－2＝0
3．直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )
A．－24 B．24C．6 D．±6
4．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A．(0°，60°) B．(30°，60°)C．(30°，90°) D．(60°，90°)
5．若直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2关于点(3，3)对称，则直线l2一定过定点( )
A．(3，1) B．(2，1)
C．(5，5) D．(0，1)
6．[探究题]设入射光线沿直线y＝2x＋1射向直线y＝x，则被y＝x反射后的反射光线所在直线的方程是( )
A．x＋2y＋3＝0 B．x－2y＋1＝0C．3x＋2y－1＝0 D．x－2y－1＝0
二、填空题
7．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是________.
8．直线l被直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1，2)，则直线l的方程为________________.
9．[易错题]若两直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0与x轴可以围成一个三角形，则实数m的取值范围是____________________.
三、解答题
10．(1)已知两点A(－2，1)，B(4，3)，两直线l1：2x－3y－1＝0，l2：x－y－1＝0，求过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程．
(2)已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．
学科素养升级练
1．[多选题]经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．3x＋4y＝0 D．x－y＋7＝0
2．已知直线(1＋k)x＋y－k－2＝0恒过点P，则点P关于直线x－y－2＝0的对称点的坐标是________.
3．[学科素养——数学建模]已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4).
(1)在l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在l上求一点P′，使||P′B|－|P′A||最大．
1．5 两条直线的交点坐标
必备知识基础练
1．解析：将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0可得m＝5，将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0可得n＝5，所以m＋n＝10.
答案：B
2．解析：在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.
答案：±6
3．解析：解方程组得
所以这两条直线的交点坐标为(4，－2).
由题意知点(4，－2)在直线mx＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得4m＋2×(－2)＋7＝0，解得m＝－.
答案：－
4．解析：解法一：联立直线方程，解方程组得
由两点式得所求直线的方程为＝，即x－4y＋10＝0.
解法二：易知直线5x＋2y＋6＝0不符合所求方程．设所求直线方程为
x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0(λ∈R).
将点A(2，3)的坐标代入，得2＋3×3－4＋λ(5×2＋2×3＋6)＝0，
解得λ＝－，
故所求直线方程为x＋3y－4－(5x＋2y＋6)＝0，整理得x－4y＋10＝0.
5．解析：直线方程(m＋2)x－(2m－1)y－(3m－4)＝0化为m(x－2y－3)＋(2x＋y＋4)＝0，令解得因此不论实数m取何值，直线(m＋2)x－(2m－1)y－(3m－4)＝0都经过定点(－1，－2).
答案：B
6．解析：∵a＋2b＝1，∴a＝1－2b，则直线方程ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，即b(1－2x)＋(x＋3y)＝0.令解得∴直线必过定点.
答案：
7．解析：由题意得l′∥l，故设l′：x＋2y＋c＝0(c≠－1)，在l上取点A(1，0)，则点A(1，0)关于点(1，－1)的对称点是A′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c＝0，即c＝3，故直线l′的方程为x＋2y＋3＝0.
答案：C
8．解析：设点Q(a，b)，则线段PQ中点的坐标为，又直线x＋2y－2＝0的斜率为－，所以P，Q连线的斜率为2，所以
解得
所以点Q的坐标为(－1，－1).
答案：(－1，－1)
9．解析：易知点A关于直线l1的对称点A′的坐标为(－1，2)，设点A关于直线l2的对称点为A″(m，n)，
则解得
即A″(3，0)，由于l1，l2分别是∠B，∠C的平分线所在直线，所以A点关于l1，l2的对称点在直线BC上，故所求直线的方程为＝，即x＋2y－3＝0.
关键能力综合练
1．解析：由得故A∩B＝{(3，1)}．
答案：C
2．解析：联立可得即交点坐标为(1，0).设与直线3x＋2y－2＝0垂直的直线方程是2x－3y＋m＝0，把点(1，0)代入可得2－0＋m＝0，解得m＝－2.所以所求的直线方程为2x－3y－2＝0.故选C.
答案：C
3．解析：∵直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，∴可设交点坐标为(a，0)，则解得
答案：A
4．解析：由得所以其交点坐标为，由交点在第一象限知解得k>，设直线l的倾斜角为α，即tanα>，故30°<α<90°.
答案：C
5．解析：∵y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1，
∴直线l1：y＝kx－k＋1过定点(1，1).
设定点(1，1)关于点( 3，3)对称的点的坐标为(x，y)，
∴得即直线l2恒过定点(5，5).故选C.
答案：C
6．解析：由可得反射点A(－1，－1)，在y＝2x＋1上任取一点B(0，1)，则点B(0，1)关于直线y＝x的对称点C(1，0)在反射光线所在的直线上．利用两点式求得反射光线所在直线的方程是＝，即x－2y－1＝0.故选D.
答案：D
7．解析：联立直线方程得解得即直线的交点坐标为.
答案：
8．解析：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，直线l与l2的交点为B.由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0，4－y0).联立
即解得即A(－2，5)，所以直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0.
答案：3x＋y＋1＝0
9．解析：当直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0及x轴两两不平行，且不过同一点时，必围成三角形．当m＝－2时，(m＋2)x－y－m＝0与x轴平行；当m＝－3时，(m＋2)x－y－m＝0与x＋y＝0平行；当m＝0时，三条直线都过原点，所以m的取值范围为{m|m∈R，且m≠－3，m≠－2，m≠0}．
答案：{m|m∈R，且m≠－3，m≠－2，m≠0}
10．解析：(1)设线段AB的中点为M.
∵A(－2，1)，B(4，3)，∴M(1，2).
设直线l1，l2的交点为N，
联立解得
∴N(2，1).
∴kMN＝＝－1，
∴所求直线的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)解法一：由得l1与l的交点为P(3，－2)，显然P也在l2上．在直线l1上取一点A(2，0)，又设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，则解得即B.故由两点式可求得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.
解法二：设直线l2上一动点M(x，y)关于直线l的对称点为M′(x′，y′)，
则解得显然M′(x′，y′)在l1上，故2·＋－4＝0，即2x＋11y＋16＝0，这便是所求的直线l2的方程．
学科素养升级练
1．解析：由方程组得交点坐标为(－4，3)，易知直线的斜率存在且不为0，因此可设所求直线方程为y－3＝k(x＋4)，即y＝k(x＋4)＋3.令x＝0，得y＝4k＋3，令y＝0，得x＝－，于是4k＋3＝－，即4k2＋7k＋3＝0，解得k＝－或k＝－1，故所求直线方程为3x＋4y＝0或x＋y＋1＝0.故选AC.
答案：AC
2．解析：由(1＋k)x＋y－k－2＝0得k(x－1)＋(x＋y－2)＝0，由得故点P的坐标为(1，1).设点P关于直线x－y－2＝0的对称点的坐标是(a，b)，
则解得所以点P关于直线x－y－2＝0的对称点的坐标是(3，－1).
答案：(3，－1)
3．解析：(1)如图所示，设A关于l的对称点为A′(m，n)，
由得
则A′(－2，8).连接A′B交直线l于点P，点P即为所求．直线A′B的方程是x＝－2，A′B与l的交点坐标是(－2，3)，故所求的点为P(－2，3).
(2)如图所示，连接BA并延长，交直线l于点P′，则P′即为所求．AB所在直线的方程为y－0＝×(x－2)，即y＝x－2.
联立直线AB与l的方程得AB与l的交点坐标为(12，10).故所求的点为P′(12，10).1．4 两条直线的平行与垂直
必备知识基础练
知识点一两条直线平行的判定与应用
1.直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．平行
B．不平行
C．平行或重合
D．既不平行又不重合
2．若直线l1：ax＋y－1＝0与l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，则a的值为( )
A．1 B．－3C．0或－ D．1或－3
3．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________.
4．(1)求过点(2，3)且与直线y＝－2x＋3平行的直线方程．
(2)求与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程．
知识点二两条直线垂直的判定与应用
5.若直线ax＋(1－a)y＝3与(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则a等于( )
A．3 B．1C．0或－ D．1或－3
6．过点(－1，3)且与直线2x＋y＋3＝0垂直的直线方程为( )
A．x－2y＋7＝0 B．2x－y＋5＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
7．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4).
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)求BC边上的高所在直线的方程．
知识点三两条直线平行与垂直的综合应用
8.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是( )
A．平行或重合 B．平行C．垂直 D．重合
9．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．以A点为直角顶点的直角三角形
B．以B点为直角顶点的直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
关键能力综合练
一、选择题
1．过点(－1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y＋2＝0 D．x＋2y－1＝0
2．下列直线中，与已知直线y＝－x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
3．已知点A(1，－2)，B(m，2)，直线l：y＝－x＋1垂直于直线AB，则实数m的值为( )
A．－ B．C．3 D．4
4．若直线l1：2x－ay－1＝0过点(1，1)，则直线l1与l2：x＋2y＝0( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．相交于点(2，－1)
5．已知△ABC的三个顶点分别为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，则其形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
6．[易错题]已知直线(a＋2)x＋2ay－1＝0与直线3ax－y＋2＝0垂直，则实数a的值是( )
A．0 B．－C．0或－ D．－或
二、填空题
7．经过点A(2，3)且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线方程为________________.
8．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2).若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________.
9．[探究题]已知直线l：mx－y＝4，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________.
三、解答题
10．已知两条直线l1：x＋(1＋m)y＋m－2＝0，l2：mx＋2y＋8＝0，当m为何值时，直线l1与l2分别有下列关系？
(1)l1⊥l2；
(2)l1∥l2.
学科素养升级练
1．[多选题]下列命题正确的是( )
A．若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行
B．若两直线平行，则它们的斜率相等
C．若两直线的斜率之积为－1，则它们垂直
D．若两直线垂直，则它们的斜率之积为－1
2．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2，1)，与经过点(－2，1)且斜率为－的直线垂直，则实数a的值是________.
3．[情境命题——生活情境]一个矩形花园里要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？
1．4 两条直线的平行与垂直
必备知识基础练
1．解析：将两条直线方程转化为y＝2x＋k，y＝2x＋，则两条直线的斜率相等，直线在y轴上的截距可以相等也可以不相等，取决于k的值，故两条直线的位置关系是平行或重合．
答案：C
2．解析：由题设可得a(a＋2)＝3，解得a＝1或a＝－3.经检验，当a＝－3时两直线重合，应舍去，故选A.
答案：A
3．解析：由题意知l1的斜率一定存在，∵l1∥l2，∴两直线的斜率相等，即＝，解得m＝0.
答案：0
4．解析：(1)设所求直线方程为y＝－2x＋b，则3＝－2×2＋b，得b＝7，所以所求直线方程为y＝－2x＋7，即2x＋y－7＝0.
(2)设直线方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，令x＝0，得直线在y轴上的截距b＝－，令y＝0，得直线在x轴上的截距a＝－，由a＋b＝，得－－＝，解得λ＝－1.故所求的直线方程为2x＋3y－1＝0.
5．解析：因为两直线垂直，所以a(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＋2a－3＝0，解得a＝1或a＝－3.
答案：D
6．解析：设与直线2x＋y＋3＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0，将(－1，3)代入可得m＝7，所以所求的直线方程为x－2y＋7＝0，故选A.
答案：A
7．解析：(1)由B(10，4)，C(2，－4)，得BC的中点D的坐标为(6，0)，所以直线AD的斜率k＝8，所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，即8x－y－48＝0.
(2)由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率k＝＝1，所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－(x－7)，即x＋y－15＝0.
8．解析：由题意可知直线l1的斜率k1＝tan60°＝，直线l2的斜率k2＝＝.
因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合．
答案：A
9．解析：∵A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)，
∴kAB＝＝－，kAC＝＝，∴kAB·kAC＝－1，
∴AB⊥AC，∠A为直角．故选A.
答案：A
关键能力综合练
1．解析：设与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是x－2y＋m＝0，将(－1，0)代入x－2y＋m＝0，解得m＝1，则所求直线方程为x－2y＋1＝0.
答案：B
2．解析：直线y＝－x＋1化为一般式为4x＋3y－3＝0，所以与直线y＝－x＋1平行的直线应为B项和C项中的直线，但C项中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件．
答案：B
3．解析：由直线l：y＝－x＋1可得其斜率k1＝－.又因为过点A(1，－2)，B(m，2)的直线AB的斜率k2＝＝，直线l垂直于直线AB，所以＝2，解得m＝3，故选C.
答案：C
4．解析：由题意，得2×1－a－1＝0，解得a＝1.l1：2x－y－1＝0，斜率k1＝2，l2的斜率k2＝－，k1k2＝－1，所以两条直线垂直，故选C.
答案：C
5．解析：∵kAB＝＝－，kBC＝＝2，∴kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，故选A.
答案：A
6．解析：当a＝0时，两直线方程分别为2x－1＝0，－y＋2＝0，此时两直线显然垂直；当a≠0时，两直线的斜率分别为－，3a，所以－·3a＝－1，解得a＝－.故选C.
答案：C
7．解析：直线2x－y＋1＝0的斜率为2，则所求直线的斜率为－，所以所求直线的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋2y－8＝0.
答案：x＋2y－8＝0
8．解析：由题意得l1∥l2，∴k1＝k2，∵k1＝，k2＝3，
∴＝3，
∴a＝6.
答案：6
9．解析：当m＝0时，两条直线的方程分别化为－y＝4，x＝2，此时两条直线垂直，因此m＝0满足条件；
当m＝1时，两条直线的方程分别化为x－y＝4，x＝2，此时两条直线不垂直，因此m＝1不满足条件；
当m≠0，1时，两条直线方程分别化为y＝mx－4，y＝x＋，若两条直线垂直，则m·＝－1，解得m＝2.
综上可得，m＝0或m＝2时，两条直线垂直．
答案：0或2
10．解析：(1)当m＝－1时，直线l1的斜率不存在，＝，直线l1不垂于直线l2；当m≠－1时，由l1⊥l2得m＋2(m＋1)＝0，解得m＝－.
(2)由l1∥l2，得2－m(m＋1)＝0，解得m＝1或m＝－2.
检验得m＝－2时，l1与l2重合，故m＝1.
学科素养升级练
1．解析：当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且两直线不重合时，l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1，故A，C正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故B错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，故D错．故选AC.
答案：AC
2．解析：∵直线l与经过点(－2，1)且斜率为－的直线垂直，∴a－2≠－a－2，即a≠0.
∵kl＝＝－，
∴－·＝－1，∴a＝－.
答案：－
3．解析：如图所示，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则C(5，0)，D(5，3)，A(0，3).
解法一：直线AC的方程为＋＝1，即3x＋5y－15＝0.设直线DM的方程为5x－3y＋t＝0，把D(5，3)代入得t＝－25＋9＝－16，即过点D(5，3)且与直线AC垂直的直线的方程为5x－3y－16＝0.
令y＝0，得x＝＝3.2，即BM＝3.2m时，两条小路AC与DM相互垂直．
解法二：设点M的坐标为(x，0)(0≤x≤5)，∵AC⊥DM，
∴kAC·kDM＝－1.
∴·＝－1，
解得x＝5－＝＝3.2，
即BM＝3.2m时，两条小路AC与DM相互垂直．第2课时 直线方程的两点式和一般式
必备知识基础练
知识点一直线的两点式方程
1.过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
2．已知点P(x，2)在过M(－2，1)和N(3，－4)两点的直线上，则x的值是________.
3．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程．
知识点二直线的截距式方程
4.在x轴，y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为( )
A．＋＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．＋＝1
5．已知直线ax＋y－2＋a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝( )
A．1 B．－1C．－2或1 D．2或1
6．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2]
D．(－∞，＋∞)
7．直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点A(6，－2)，则直线l的方程为________________________________________________________________________．
知识点三直线的一般式方程
8.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( )
A．150° B．30°C．60° D．120°
9．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和第二、四象限，则( )
A．C＝0，B>0 B．C＝0，B>0，A>0
C．C＝0，AB<0 D．C＝0，AB>0
10．求分别满足下列条件的直线l的一般式方程：
(1)经过两点A(1，6)，B(2，1)；
(2)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
关键能力综合练
一、选择题
1．已知直线l经过不同的两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，则下列说法正确的是( )
A．若直线l不垂直于x轴，则直线l的方程可以用两点式表示
B．若直线l不垂直于x轴，则直线l的方程可以用点斜式表示
C.若直线l不经过原点，则直线l的方程可以用点斜式表示
D．若直线l不经过原点，则直线l的方程可以用两点式表示
2．已知△ABC的顶点A(0，1)，B(4，3)，C(1，－1)，则AB边上的中线方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．3x＋y－4＝0
C．3x－y－4＝0 D．3x－y＋3＝0
3．对于直线l：3x－y＋6＝0的截距，下列说法正确的是( )
A．在y轴上的截距是6
B．在x轴上的截距是6
C．在x轴上的截距是3
D．在y轴上的截距是－3
4．已知直线x－3my－12＝0在两个坐标轴上的截距之和等于10，则实数m的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
5．直线2x－3y＋2＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．2x＋3y＋2＝0 B．2x＋3y－2＝0
C．2x－3y－2＝0 D．2x－3y＋2＝0
6．[易错题]过点P(3，4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或4x－3y＝0
C．x＋y－7＝0
D．x＋y－7＝0或4x－3y＝0
二、填空题
7．直线3x＋y－4＝0的斜率为________，在y轴上的截距为________.
8．经过点P(2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为________________________________________________________________________．
9．[探究题]已知直线l1：ax－y＋3－2a＝0过定点P，则过点P且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l2的方程是________________.
三、解答题
10．(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程．
(2)已知线段BC的中点为D.若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程．
学科素养升级练
1．[多选题]下列说法不正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)不能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线的方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线方程为y－y1＝(x－x1)
2．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是________________.
3．[学科素养——数学运算]直线过点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件：
①△AOB的周长是12；
②△AOB的面积为6？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
第2课时 直线方程的两点式和一般式
必备知识基础练
1．解析：根据直线的两点式方程，得＝.
答案：B
2．解析：过M，N两点的直线的方程为＝，又P(x，2)在此直线上，所以当y＝2时，x＝－3.
答案：－3
3．解析：由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，可知该直线的斜率不可能为零，但有可能不存在．
①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即y＝(x－1).
综上所述，当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为y＝(x－1).
4．解析：直线的截距式方程为＋＝1，将a＝2，b＝－3代入可得直线方程为－＝1.
答案：B
5．解析：由题意，当－2＋a＝0，即a＝2时，直线ax＋y－2＋a＝0化为2x＋y＝0，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意；
当－2＋a≠0且a≠0，即a≠2且a≠0时，直线ax＋y－2＋a＝0化为＋＝1.由直线在两坐标轴上的截距相等，可得＝2－a，得a＝1.
当a＝0时，不符合题意，故舍去．
综上所述，实数a＝2或a＝1.故选D.
答案：D
6．解析：令x＝0，可得y＝；令y＝0，可得x＝－b，
∴≤1，b≠0，解得－2≤b≤2，且b≠0.故选C.
答案：C
7．解析：设直线l在y轴上的截距为a(a≠0)，由截距式得直线l方程为＋＝1，代入点A(6，－2)的坐标，得－＝1，即a2－3a＋2＝0.解得a＝1或a＝2，∴方程为＋y＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0.
答案：x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0
8．解析：直线的斜率k＝－＝－，故其倾斜角为150°.
答案：A
9．解析：∵直线l过原点，∴C＝0.又∵直线l过第二、四象限，∴其斜率为负值，即k＝－<0，∴AB>0，故选D.
答案：D
10．解析：(1)直线l的方程是＝，即5x＋y－11＝0，
所以直线l的方程是5x＋y－11＝0.
(2)设直线l的方程为y＝x＋b.令x＝0，得y＝b.
令y＝0，得x＝－b，∴＝6，解得b＝±3.
∴直线l的方程为y＝x±3，
化为一般式为3x－4y±12＝0.
(3)设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b.
当a≠0，b≠0时，直线l的方程为＋＝1.
∵直线过点(4，－3)，∴－＝1.
又∵|a|＝|b|，∴解得或
当a＝b＝0时，直线l过原点且过点(4，－3)，
∴直线l的方程为y＝－x.
综上所述，直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
关键能力综合练
1．解析：若直线l垂直于x轴或y轴，则直线l的方程不能用两点式表示，故A，D不正确；若直线l垂直于x轴，则直线l的方程不能用点斜式表示，故C不正确．
答案：B
2．解析：方法一：因为线段AB中点坐标为(2，2)，根据直线的两点式方程，得AB边上的中线方程是＝，化简得3x－y－4＝0.方法二：因为线段AB中点坐标为(2，2)，由C(1，－1)，得中线方程为y－2＝3(x－2)，化简得3x－y－4＝0.
答案：C
3．解析：令x＝0，得y＝6；令y＝0，得x＝－2.故直线在y轴上的截距是6，在x轴上的截距是－2，故选A.
答案：A
4．解析：直线方程可化为＋＝1，依题意有12＋＝10，
∴m＝2.
答案：A
5．解析：设所求直线上点的坐标为(m，n)，其关于x轴对称的点(m，－n)在直线2x－3y＋2＝0上，则2m＋3n＋2＝0，据此可得所求的直线方程为2x＋3y＋2＝0.
答案：A
6．解析：当直线过原点时，方程为y＝x，即4x－3y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，因为该直线过点P(3，4)，所以＋＝1，解得a＝7，所以直线方程为x＋y－7＝0.综上，过点P(3，4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.
答案：D
7．解析：由3x＋y－4＝0，得y＝－3x＋4，故直线的斜率为－3，在y轴上的截距为4.
答案：－3 4
8．解析：设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为2a.
当a＝0时，直线l过点(0，0)，
又直线l过点P(2，3)，故直线l的斜率kl＝＝，故直线l的方程为y－0＝(x－0)，即3x－2y＝0.
当a≠0时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－2a＝0.∵直线l过点P(2，3)，∴2＋2×3－2a＝0，∴a＝4.∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.
综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.
答案：3x－2y＝0或x＋2y－8＝0
9．解析：l1：ax－y＋3－2a＝0过定点P(2，3)，当直线l2过原点时，由于斜率为k＝＝，故直线方程为y＝x，即3x－2y＝0.当直线l2不过原点时，设方程为＋＝1，把点P(2，3)代入可得a＝－1，故直线l2的方程为x－y＋1＝0.综上，所求的直线l2的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
答案：3x－2y＝0或x－y＋1＝0
10．解析：(1)∵A(2，－1)，B(2，2)，且A，B两点横坐标相同，∴直线AB与x轴垂直，∴直线AB的方程为x＝2.
∵A(2，－1)，C(4，1)，∴由直线方程的两点式可得AC的方程为＝，即y＝x－3.
同理，可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即y＝－x＋3.
∴AB，AC，BC所在直线的方程分别为x＝2，y＝x－3，y＝－x＋3.
(2)由已知得直线BC的斜率存在且不为0.
设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.
则直线BC的截距式方程为＋＝1.
由题意得a＋b＝9，①
又点D在直线BC上，
∴＋＝1，∴6b＋3a＝2ab，②
由①②联立得2a2－21a＋54＝0，即(2a－9)(a－6)＝0，
解得a＝或a＝6.
∴或
∴直线BC的方程为＋＝1或＋＝1，
即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0.
学科素养升级练
1．解析：A错误，比如过原点的直线，横、纵截距均为0，这时就不能用选项中的式子表示；B.当m＝0时，表示的就是和y轴平行的直线，故不对．C不正确，当直线的倾斜角为90度时，正切值无意义，故不正确．D.根据直线的斜率公式得到斜率为，则方程为y－y1＝(x－x1).
答案：ABC
2．解析：因为点A(2，1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，所以2a1＋b1＋1＝0，由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．因为点A(2，1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，所以2a2＋b2＋1＝0，由此可知点P2(a2，b2)在直线2x＋y＋1＝0上，所以过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0.
答案：2x＋y＋1＝0
3．解析：存在．
设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，若满足条件(1)，则a＋b＋＝12.①
因为直线过点P，所以＋＝1.②
若满足条件(2)，则ab＝6，③
由②③得或
将和分别代入①式进行验证，易得满足①式．
所以所求直线方程为＋＝1，即3x＋4y－12＝0.
综上所述，存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，该直线方程为3x＋4y－12＝0.1．3 直线的方程
第1课时 直线方程的点斜式
必备知识基础练
知识点一直线的点斜式方程
1.方程y－y0＝k(x－x0)( )
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线
D．不能表示与x轴垂直的直线
2．直线l过点M(1，－2)，倾斜角为30°，则直线l的方程为( )
A．y＋2＝－(x－1) B．y－2＝－(x－1)
C．y＋2＝(x－1) D．y－2＝(x－1)
知识点二直线的斜截式方程
3.直线y＝－x＋a(a为常数)的倾斜角的大小是( )
A．30° B．60°C．120° D．150°
4．经过点(－1，1)，且倾斜角是直线y＝x－2的倾斜角的2倍的直线方程是( )
A.x＝－1 B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝2(x－1)
5．在y轴上的截距为－1且倾斜角为135°的直线方程为________.
知识点三直线的点斜式方程的应用
6.已知直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是( )
7．已知直线y＝(3－k)x＋6不经过第四象限，则k的取值范围为( )
A．k>3 B．k≥3
C．k<3 D．k≤3
8．已知直线y＝x＋k与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数k的值为________.
关键能力综合练
一、选择题
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
2．已知直线l的方程为y＝20x＋6，则直线l与y轴的交点坐标为( )
A．(20，6) B．(0，6)
C．(6，0) D．(0，20)
3．下列直线中过第一、二、四象限的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝＋
C．y＝－2x＋4 D．y＝x－3
4．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－＝0
C．x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0
5．方程y＝k(x－1)(k∈R)表示( )
A．过点(－1，0)的一切直线
B．过点(1，0)的一切直线
C．过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(1，0)且除x轴外的一切直线
6．[易错题]将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )
A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1C．y＝3x－3 D．y＝x＋1
二、填空题
7．倾斜角为30°，且在x轴上的截距为－2的直线方程为________.
8．直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若直线l在y轴上的截距为6，则a＝________.
9．[探究题]与直线y＝3x＋4在y轴上有相同的截距且和它关于y轴对称的直线方程为________.
三、解答题
10．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1斜率相同且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
学科素养升级练
1．[多选题]过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2的直线l的方程是( )
A．x＝2
B．y－2＝2(x－2)
C．y－2＝(x－2)
D．y－2＝－(x－2)
2．在平面直角坐标系xOy中，A(1，3)，B(4，2)，若直线y＝ax－2a与线段AB有公共点，则实数a的取值范围是________________.
3．[学科素养——数学运算]已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：对于任意的实数k，直线l恒过一个定点；
(2)当－3
必备知识基础练
1．解析：因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以y－y0＝k(x－x0)不能表示与x轴垂直的直线．故选D.
答案：D
2．解析：因为直线l的倾斜角为30°，所以直线l的斜率k＝tan30°＝.又直线l过点M(1，－2)，由点斜式方程，得直线l的方程为y＋2＝(x－1).故选C.
答案：C
3．解析：因为直线的斜率为－，所以直线的倾斜角为150°.故选D.
答案：D
4．解析：设y＝x－2的倾斜角是α，那么有tanα＝1，所以所求直线的倾斜角是90°，因为过点(－1，1)，所以直线方程为x＝－1.
答案：A
5．解析：倾斜角为135°的直线斜率为tan135°＝－1，所以该直线方程为y＝－x－1.
答案：y＝－x－1
6．解析：对于选项A，由直线l1知a>0，b>0，由直线l2知a<0，b<0，矛盾，故A错误；对于选项B，由直线l1知a>0，b<0，由直线l2知a<0，b>0，矛盾，故B错误；对于选项C，由直线l1知a<0，b>0，由直线l2知a<0，b<0，矛盾，故C错误；对于选项D，由直线l1知a<0，b>0，由直线l2知a<0，b>0，故D正确．故选D.
答案：D
7．解析：由直线的斜截式方程可知，直线y＝(3－k)x＋6恒过点(0，6)，若直线y＝(3－k)x＋6不经过第四象限，则3－k≥0，解得k≤3.
答案：D
8．解析：令x＝0，得y＝k；令y＝0，得x＝－2k.∴三角形面积S＝＝k2.又S＝1，∴k2＝1，∴k＝1或k＝－1.
答案：1或－1
关键能力综合练
1．解析：直线的方程是y＋2＝－x－1，化为点斜式，即y＋2＝－(x＋1)，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
答案：D
2．解析：直线的纵截距为6，所以直线与y轴的交点坐标为(0，6).
答案：B
3．解析：若y＝kx＋b过第一、二、四象限，则k<0，b>0，选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足k<0，b>0.
答案：C
4．解析：由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，由点斜式可知y＝－(x＋1)，即：x＋y＋＝0.
答案：D
5．解析：方程y＝k(x－1)(k∈R)表示经过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线．
答案：C
6．解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，得到的直线为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.
答案：A
7．解析：∵直线的斜率k＝tan30°＝，且过点(－2，0)，∴该直线的斜截式方程为y＝x＋.
答案：y＝x＋
8．解析：直线l的方程可化为y＝(a－1)x＋3a－2，由直线l在y轴上的截距为6，可得3a－2＝6，解得a＝.
答案：
9．解析：由题知所求直线的斜率为－3，在y轴上的截距为4，所以所求直线方程为y＝－3x＋4.
答案：y＝－3x＋4
10．解析：由题意知，直线l1的斜率k1＝－2.
∴直线l的斜率k＝k1＝－2.
由题意知，直线l2在y轴上的截距为－2，
∴直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
学科素养升级练
1．解析：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.当k＝0时，显然不符合题意，当k≠0时，令y＝0，得x＝.由三角形的面积为2，得××2＝2，解得k＝，故直线l的方程为y－2＝(x－2).综上，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2).故选AC.
答案：AC
2．解析：如图所示，结合图象知，若直线过点A(1，3)，则a－3－2a＝0，解得a＝－3.若该直线过点B(4，2)，则4a－2－2a＝0，解得a＝1，又直线ax－y－2a＝0与线段AB有公共点，∴实数a的取值范围是a≤－3或a≥1，即实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).
答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．解析：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k·(x＋2)，从而直线l恒过定点(－2，1).
(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，
由题意可得即
解得－≤k≤1.
所以实数k的取值范围是.1．1 一次函数的图象与直线的方程
1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系
必备知识基础练
知识点一直线的倾斜角与斜率
1.直线x＝1的倾斜角和斜率分别是( )
A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在
2．若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°
3．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1
知识点二直线的斜率公式
5.已知直线l经过点A(0，－1)，B(1，1)，则直线l的斜率是( )
A．2 B．－2C． D．－
6．求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．
知识点三斜率公式的应用
7.若点P(x，y)在函数y＝2x＋1(－2≤x≤2)的图象上运动，则的取值范围是( )
A． B．C． D．∪
8．设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________.
9．若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求＋的值．
关键能力综合练
一、选择题
1．已知直线l的斜率的绝对值为1，则直线l的倾斜角为( )
A．45° B．135°C．45°或135° D．全不对
2．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
3．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4，2)与(－4，1)
B．(0，3)与(3，0)
C．(3，－1)与(2，－1)
D．(－2，2)与(－2，5)
4．已知直线PQ的斜率为－，将该直线绕点P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是( )
A．0 B．C． D．－
5．已知直线经过点A(a，4)，B(2，－a)，且斜率为4，则a的值为( )
A．－6 B．－C． D．4
6．[易错题]直线l经过点A(1，2)，与x轴交点的横坐标的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A．
B．(－∞，－1)∪
C．(－∞，－1)∪
D．∪(1，＋∞)
二、填空题
7．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是________.
8．已知斜率为的直线经过A(3，5)，B(x，－1)，C(7，y)三点，则x，y的值分别为________.
9．已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________.
三、解答题
10．[探究题]已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
学科素养升级练
1．[多选题]下列说法不正确的是( )
A．任何一条直线都有唯一的倾斜角
B．若直线的倾斜角为α，则其斜率为tan α
C．直线的倾斜角越大，它的斜率越大
D．直线的斜率越大，它的倾斜角越大
2．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是________.
3．[学科素养——数学运算]已知一条光线从点A(－1，3)出发，射在x轴上又反射出去，反射光线经过点B(2，7)，求x轴上光照点的坐标．
1．1 一次函数的图象与直线的方程
1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系
必备知识基础练
1．解析：∵直线x＝1与y轴平行，∴倾斜角为90°，斜率不存在．
答案：C
2．解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
答案：D
3．解析：由题图可知，直线l1的倾斜角为钝角，所以k1<0；直线l2与直线l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角较大，所以k2>k3>0，所以k2>k3>k1.
答案：D
4．解析：两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角互补．
答案：互补
5．解析：因为直线l经过点A(0，－1)，B(1，1)，所以直线l的斜率为＝2，故选A.
答案：A
6．解析：当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°.
当m≠1时，由斜率公式可得kAB＝＝.
①当m>1时，k＝>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°.
②当m<1时，k＝<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°.
综上，当m＝1时，斜率不存在，α＝90°；当m>1时，斜率k＝，0°<α<90°；当m<1时，斜率k＝，90°<α<180°.
7．解析：已知函数y＝2x＋1(－2≤x≤2)的图象是一条线段，设为AB，其中A(2，5)，B(－2，－3).的几何意义是线段AB上的任意一点P(x，y)与坐标原点O(0，0)连线的斜率，易得kOA＝，kOB＝，根据图象可知，的取值范围是∪.
答案：D
8．解析：依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1，由kAC＝3kBC得＝3×，所以m＝4.
答案：4
9．解析：由题意可知直线AB，AC的斜率存在，∴a≠2.由kAB＝kAC得＝，即a＋b＝ab，又ab≠0，∴＋＝.
关键能力综合练
1．解析：设倾斜角为α，则由题意知tanα＝±1，又0°≤α<180°，所以当tanα＝1时，α＝45°；当tanα＝－1时，α＝135°.故选C.
答案：C
2．解析：当两直线互相垂直时，这两条直线的倾斜角相差90°，由l1的倾斜角为60°，知l2的倾斜角为150°.
答案：D
3．解析：两点(－2，2)，(－2，5)的横坐标相同，因此过此两点的直线斜率不存在．
答案：D
4．解析：直线PQ的斜率为－，则其倾斜角为120°，该直线绕点P顺时针旋转60°，倾斜角变为60°，故其斜率为.
答案：C
5．解析：∵A(a，4)，B(2，－a)，且斜率为4，∴kAB＝＝4，解得a＝4.
答案：D
6．解析：过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l与x轴交点的横坐标为3，此时k＝＝－1；过定点A的直线经过点C(－3，0)时，直线l与x轴交点的横坐标为－3，此时k＝＝.数形结合(如图所示)可知满足条件的直线l的斜率的取值范围为(－∞，－1)∪.
答案：B
7．解析：如图，当直线l在l1位置时，k＝tan0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0，2].
答案：[0，2]
8．解析：由题意可知kAB＝kAC＝，即＝＝，解得x＝－9，y＝7.
答案：－9 7
9．解析：由题意知kPA＝－1.设x轴上点P1(m，0)，y轴上点P2(0，n)满足题意．由＝＝－1，得m＝n＝3.所以点P的坐标为(3，0)或(0，3).
答案：(3，0)或(0，3)
10．解析：由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝，所以＝＝2，解得a＝4，b＝－3，所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
学科素养升级练
1．解析：由直线的倾斜角的定义知A正确；当α≠90°时，斜率k＝tanα，当α＝90°时，斜率不存在，故B错误；135°>45°，但k1＝tan135°
答案：BCD
2．解析：如图所示，过点P作直线PC⊥x轴交线段AB于点C，作出直线PA，PB.①直线l与线段AB的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤kPA.②直线l与线段AB的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l的倾斜角为锐角，斜率的范围是k≥kPB.
因为kPA＝＝－4，kPB＝＝，所以直线l的斜率k满足k≥或k≤－4.
答案：(－∞，－4]∪
3．解析：设点A关于x轴的对称点为A′，则A′(－1，－3)，连接A′B，与x轴交于点C，则点C即为光照点．不妨设C(a，0)，由题意可知A′，B，C三点共线，∴kA′C＝kBC，即＝，解得a＝－.∴x轴上光照点的坐标为.
