2023-2024学年湖北省恩施州四校联盟高二上学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.复数在复平面内对应的点位于
( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知直线和直线，若，则的值为
( )
A. B. C. 或 D. 或
4.“”是“函数在区间上为增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，则
( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点点与点不重合，设，，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
8.平面内有四条平行线，相邻两条平行线的间距均为，在每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.已知函数，则下列结论正确的是
( )
A. 函数的单调递增区间是 B. 函数的值域是
C. 函数的图象关于对称 D. 不等式的解集是
11.已知互不相同的个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的个样本数据的方差为，平均数为去掉的两个数据的方差为，平均数为原样本数据的方差为，平均数为，若，则下列说法正确的是
( )
A.
B.
C. 剩下个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下个数据的分位数不等于原样本数据的分位数
12.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则
( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 点为正方形内一点，当平面时，的最小值为
C. 过点，，的平面截正方体所得的截面周长为
D. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.平面向量与的夹角为，已知，，则______．
14.点到直线为任意实数的距离的最大值是_______．
15.设函数，若函数恰有个零点，，，，，且，则的值为_______
16.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
的三个顶点是，，，求：
边上的中线所在直线的方程；
边上的高所在直线的方程．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知三点．
若点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围；
若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍，求直线的方程．
19.本小题分
一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球．
求第二次取到绿球的概率；
如果是个红球，个绿球，已知取出的个球都是绿球的概率为，那么是多少
20.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
求；
若，，求的面积．
21.本小题分
如图，已知平面四边形是矩形，，，将四边形沿翻折，使平面平面，再将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的投影为．
如图，当时，若点在上，且，，证明：平面，并求的长度．
如图，当时，若点恰好落在的内部不包括边界，求二面角的余弦值的取值范围．
22.本小题分
如图，在八面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
证明：平面平面；
设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由复数除法求得 后，可得对应点坐标从而确定其象限．
解： ，对应点坐标为 ，在第四象限，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】首先解不等式求出集合 、 ，再根据交集的定义计算可得．
解：由 ，即 ，解得 或 ，
所以 ，
由 ，即 ，解得 ，所以 ，
所以 ．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】由两直线垂直的充要条件建立方程求解即可．
解：由 ，得 ，
解得 ，或 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的性质是解决本题的关键．
结合函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：函数在区间上为增函数，
要使函数在区间上为增函数，则，
“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题．
利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系．
【解答】
解：，，，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】由余弦二倍角公式和诱导公式计算．
解：由题意 ， ，
所以 ，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】令 是 的中点，连接 ，易得 ，根据三点共线的推论有 ，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件．
解：若 是 的中点，连接 ，点是 的重心，则 必过 ，且 ，
由题设 ，又 共线，
所以 ，即 ，注意 ，
由
，当且仅当 ，即 时等号成立，
故目标式最小值为．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】在平行线找到能够成矩形的四点，设角并表示出矩形的边长，由矩形面积公式和三角函数性质求最值，注意等号成立条件即可．
解：如图 为矩形，设 ， ，则 ， ，
所以矩形 的面积为 ，
， ，
， ，当 时，等号成立，
所以该矩形面积的最小值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
利用共面向量定理直接求解．
本题考查共面向量的判断，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：构成空间的一个基底，
对于，，，，共面，故A正确；
对于，，，，共面，故B正确；
对于，，，不能共面，故C错误；
对于，，，，共面，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复合函数，涉及对数函数性质，二次函数性质，属于中档题．
【解答】
对于因为为增函数，所以求的单调递增区间即求的单调递增区间，即又对数函数的定义域有，解得故函数的单调递增区间是A错误；
对于：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，所以，即函数的值域是，B正确；
对于，关于对称，所以函数的图象关于对称，故C正确；
对于，即，解得：，故D错误；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】对于选项，求出剩下的个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可；
对于选项，写出和的表达式即可；
对于选项，根据中位数定义判断即可；
对于选项，根据分位数定义判断即可．
解：剩下的个样本数据的和为，去掉的两个数据和为，原样本数据和为，所以，因为，所以，故 A选项正确；
B.设，，
因为，所以，所以，
所以，故 B选项正确；
C. 剩下个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；
D.去掉个数据，则剩下个数据的分位数不等于原样本数据的分位数，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成角，面面平行，截面问题，外接球，属于较难题．
项通过平行线求异面直线所成角即可判断；项先求点的轨迹，再求的最小值即可判断；项先由面面平行的性质作出截面再求截面的周长即可判断；项先找外接球的球心再求球的表面积即可判断．
【解答】
解：对于项，
在正方体中，，
在中，即为异面直线与所成的角，
，
异面直线与所成角的余弦值为，故A项错误；
对于项，如图，
取的中点，的中点，连接，，，
在正方体中，易证 ， ，
平面，平面，平面，平面，
平面， 平面，
又，平面，
平面 平面，
又 平面，平面，
的轨迹为线段，
在中，过作，垂足为，此时取得最小值，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
如图，
在中，，故B项正确；
对于项，如图，
过点、、的平面截正方体所得的截面图形为五边形，
则：平面平面，平面平面 ，平面平面 ， ，同理可得 ，
如图，以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，，
则，，，，，
，
， ，
，
，
在中，，，，同理：，
在中，，，，同理：，
在中，，，
，
即：过点，，的平面截正方体所得的截面周长为，故C项正确；
对于项，
如图所示，取的中点，
则，过作 ，且使得，
则为三棱锥的外接球的球心，所以为外接球的半径，
在中，，
，
，故D项正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】首先求出，根据数量积的定义求出，再根据计算可得．
解：因为，所以，
又与的夹角为且，
所以，
所以．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】首先求出直线过定点，令，求出，即可得解．
解：直线即，
令，解得，即直线恒过定点，令，
则，
所以点到直线的距离的最大值是．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】设，则，求出的图象与直线有个交点时对应的的值，再转化为的值．
解：设，则，
作出函数的图象及直线，如图，它们有个交点时，
由正弦函数对称性知，，，
所以，
又，
所以，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】由已知求得，，由正弦定理化边为角，，由锐角三角形得出，，由两角和正弦公式，二倍角公式，两角和的余弦公式，化简后，利用余弦函数性质、不等式性质得出结论．
解：因为，所以，
，因为为锐角，，所以，从而，
，
三角形为锐角三角形，，所以，
，，，
，时，，
所以，
所以，即，
故答案为：．
17.【答案】解：由题设，的中点坐标为，则中线的斜率，
则边上的中线所在直线的方程为，
所以上的中线所在直线的方程为．
由题设，边的斜率为，则边高的斜率为，且过，
则边上的高所在直线的方程为，
所以上的高所在直线的方程．
【解析】【分析】求的 中点坐标并求直线斜率，应用点斜式求直线方程；
根据已知求边高的斜率，应用点斜式求直线方程．
18.【答案】解：如下示意图，
当点运动到点时，直线的斜率为，
当点运动到点时，直线的斜率为，
由图知，若点在线段上运动，则直线的斜率的取值范围为．
当截距为均为时，直线方程为，符合题意．
当截距不为时，不妨设直线方程为，又直线经过点，
故，即，所以直线方程为．
综上，所求直线方程为或．
【解析】【分析】两点式求出的斜率，数形结合求点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围；
讨论截距是否为，结合截距式及所过的点求直线方程即可
19.【答案】解：从个球中不放回地随机取出个共有种，即，
设事件“两次取出的都是红球”，则，
设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则，
设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则，
设事件“两次取出的都是绿球”，则，
且事件两两互斥．
第二次取到绿球的概率为．
由题意，则，又，
或，，即．
【解析】【分析】根据互斥事件的概率、古典概型的概率求法求第二次取到绿球的概率；
由题意有为两次取出的都是绿球事件，结合和已知列方程求参数即可．
20.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，即．
因为，所以．
解法：由正弦定理，所以，
可得，，
因为，，所以，
所以的面积为．
解法：因为，且，
所以，
可得
，
所以，
因为，所以，可得，所以，
因此，所以，
因为，由余弦定理得，即，
解得，即，
所以的面积为．
【解析】【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，得到，即可求解；
解法：由正弦定理得到，，结合题意，求得，进而求得的面积．
解法：根据题意，求得，得到，令余弦定理列出方程求得，进而求得的面积．
21.【答案】解：点在平面上的射影为且点在上，
点恰好落在边上，
平面平面，
又，平面平面
平面，又平面，
，
又，，平面，平面，
平面，平面，
设，，则，
，
，
，
在中，，解得，
．
作，交于，交于，如图：
当点恰好落在的内部不包括边界时，点恰好在线段上，
又，，
为二面角的平面角，
当时，由，可得，且，，
故二面角的余弦值的取值范围为
【解析】【分析】由面面垂直的判定定理得到平面，从而有，又，平面得证；设，由可求出，在中，根据勾股定理解出的长度；
作，交于，交于，当点恰好落在的内部不包括边界，点恰好在线段上，为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值的取值范围．
22.【答案】解：因为为正方形，所以，又，，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，即，
又平面平面，，
所以平面，即为二面角的平面角，即，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，即，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面．
由点在上，设点，其中，点，
所以，平面的法向量可以为，
设与平面所成角为，
则，
即，化简得，
解得或舍去，
所以存在点满足条件，且点到平面的距离为
【解析】【分析】依题意可得平面，再由面面平行及，可得平面，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，即可得到平面，再证明平面，即可得证；
设点，其中，利用空间向量法得到方程，求出的值，即可得解．
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