东莞外国语学校2023-2024学年高二上学期11月第二次段考
答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 选：C. 2. 选：B 3. 选：A. 4.选：A. 5. 选：C
6.【详解】根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，则，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
7.【答案】D
8. 【详解】设内层椭圆方程为（），因为内、外层椭圆离心率相同，
所以外层椭圆方程可设成（），
设切线方程为，与联立得，，
由，化简得：，
设切线方程为， 同理可求得，
所以，，
所以，因此. 故选：D
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 选：ABC.
10.【详解】若，方程即为，它表示圆，A错；
对于选项B，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；，
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
，，故正确；
对于选项C，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线，故正确；
对于选项D，若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故表示焦点在轴上椭圆，则错； 故选：
11. 【详解】若方程表示圆，则，即，
解得或，故选项A不正确；
设圆心，则圆心到直线的距离为，
解得，即圆心为，所以圆的标准方程是，故选项B正确；
由可得，表示圆上的点与原点 连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，则，显然不是方程的解，故的最大值不是1，故选项C不正确，
将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，由得，可得圆心，，
圆心到直线的距离
所以弦长为，所以公共弦长为，故选项D正确， 故选：BD
12.【详解】以点为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
对于选项A，设平面交棱于点，设，，
当时，点，，
因为平面，平面，平面，，
所以，即，得，所以，所以点为棱的中点，
设平面交棱于，同理可知点为棱的中点，即，
故，而， 所以 所以且，
由空间两点间距离公式得，，
由，,则，
所以， 所以四边形是等腰梯形, 故选项A正确；
对于选项B，当时，与点重合，连接，，，，
正方体中，平面，
因为平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以， 同理可证，
因为，所以平面，
所以是其中一个截面图形，
易知是边长为的等边三角形，其面积为，
设，，，，，，分别为，，，，，的中点。易知六边形是边长为的正六边形，其面积为，
且平面平面， 所以平面，
所以六边形也是其中一个截面图形，
易知，六边形最大截面，
所以平面截正方体所得的截面面积的最大值为， 故选项B正确；
对于选项C，将矩形与正方形延展到一个平面内，如下图所示，
若的和最小，则、、三点共线，
因为，所以，
因为，所以，
所以，故， 故选项C错误；
对于选项D，，，设点， 因为平面，
则为平面的一个法向量，且，，
设直线与平面所成角为， 所以，
因为，当时最大， 最大值为，此时，
故直线与平面所成角的最大值为，故选项D正确. 故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 答案为：. 14.【答案】
15.【详解】设， 因为点是的中点，可得，
由，两式相减得，即，
所以直线的方程为，即. 故答案为：.
16. 【详解】如图，设D为AB的中点，连接CD，， 由于，为正三角形，
所以,所以, 故.
设分别是，的外接圆圆心，
分别过作平面与平面的垂心，交点为，则是三棱锥外接球的球心，易知≌， ，的外接圆半径为，
所以,即，
即.
所以外接球半径为. 故答案为:.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【详解】因为，，，
所以..............1
（1），，..............3
因为，所以，整理得，..............4
解得或， 所以的值为或...............5
(2) 设直线的单位方向向量为，
则..............7
由于， 所以，
所以点N到直线PM的距离..............10
18. 【详解】（1）由，得直线的方程为，.........................1
， .........................3
点C到直线的距离为 ；.........................4
所以的面积S为..........................6
（2）因为点A，B到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，.........................7
①当直线与平行，所以，所以：即．..............9
②当直线通过的中点，
所以，所以：，即． .........................11
综上：直线的方程为或．.........................12
19.【详解】（1）四边形为等腰梯形，，
过点C作于E，如图所示，则，可知，.............2
由余弦定理知，
则，所以，.........................4
又，平面，，
所以平面..........................6
（2）连接BD，如图所示,
由（1）可知平面，平面，所以平面平面，
平面平面，平面，，平面，
又，，
所以，.........................9
在中，由，得，
设点到平面的距离为d，则，.........................11
，解得，即点到平面的距离为..........................12
20.【详解】（1）设点，,即，.........................2
，...............4 即， 曲线的方程为．..........5
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，
由（1）可知，点是圆的圆心，
点到直线的距离为，由得，即，.........................6
又，.........................7
所以，.........................8
令，所以，，........................9
则，........................10
所以，........................11
当，即，此时，符合题意，
即时取等号，所以面积的最大值为.........................12
21. 【详解】（1）取中点，连接，........................1
分别为的中点， ，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
，．，，故四边形是平行四边形，........................3
．又平面，平面，平面．........................5
（2）假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高．........................6
设，则，，
，所以......................7
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，．
设，．........................8
设平面PMB的一个法向量为，则 取．.......9
易知平面的一个法向量为，，
，........................11
故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.........................12
22. 【小问1详解】由题意：，........................1
动点是以为焦点，长轴长为的椭圆.........................2
设椭圆标准方程为，则，
动点的轨迹的方程为.........................4
【小问2详解】
假设存在，设，当的斜率存在时，设直线的方程为，.........5
则，
则
①
联立，化为，易知恒成立.........................6
.②........................7
将上式②代入①式可得，，
化简得：，........................8
则，解得.........................9
当的斜率不存在时，其方程为，与椭圆的两交点为
此时以为直径的圆的方程为，此圆过.........................11
在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.........................12东莞外国语学校2023-2024学年高二上学期11月第二次段考
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线 的方程 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知两条直线和，若，则实数的值为（ ）
A. 或1 B. C. 1 D.
3. 已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在四面体中，，是的中点，且为的中点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6.已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.若直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
8. 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.过定点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（ ）
A． B． C． D．
10.若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中错误的是
A. 若为椭圆，则 B. 若是双曲线，则其离心率有
C. 若为双曲线，则或 D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则
11.下列命题正确的有（ ）
A. 若方程表示圆，则的取值范围是
B. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
C. 已知点在圆C：上，最大值为1
D. 已知圆和，圆和圆公共弦长为
12.已知正方体的棱长为2，N为的中点，，，AM 平面，下面说法正确的有（ ）
A. 若，则平面截正方体所得截面图形等腰梯形
B. 若，平面截正方体所得的截面面积的最大值为
C. 若的和最小，则
D. 直线与平面所成角的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线的方程是，则该双曲线的渐近线方程为 .
14.直线与圆相交于两点，则的最小值为___________．
15.已知椭圆，过点作直线交椭圆于，两点，且点是的中点，则直线的方程是___________.
16. 已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，
且二面角 为，则三棱锥外接球的半径为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题10分)已知空间中的三点，，，设，.
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离.
18.(本题12分)已知的三个顶点是，，．
(1)求S△ABC的面积；
(2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程．
19.(本题12分)如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，.
(1)证明：平面：
(2)若，求点到平面的距离.
20.(本题12分)已知动点P与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程
（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求△ABM面积的最大值．
21.(本题12分)如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
22.(本题12分)已知点，圆，点在圆上运动，垂直平分线交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
