2023—2024学年度第一学期期中考试
九年级数学试题
注意事项：
1．本试卷共6页，满分100分，考试时间为120分钟．
2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置．
3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．
5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．在回收、绿色包装、节水、低碳四个标志图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
4．将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为，则代数式的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．6
5．2021年某市GDP约为115亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，2023年该市GDP约达135亿元．若设每年增长率为x，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段AC上，AB，交于点D，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．一次函数和二次函数（k是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；
④一元二次方程有实数根．
其中正确的结论个数是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．已知函数为二次函数，则m的值为________．
12．已知a是方程的一个根，则代数式的值是________．
13．若点关于原点的对称点，那么________．
14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点M的纵坐标为，现将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线，则阴影部分的面积是________．
15．如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点A的对应点的坐标是________．
三、解答题：本大题共7题，满分55分．解答应写出文字说明、证明过程或推演过程．
16．（本小题3分）用公式法解方程：．
17．（本小题3分）用适当的方法解方程．
18．（本小题4分）已知函数．
（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
19．（本小题6分）已知如图1，图形A是一个正方形，图形B由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的网格中．
图1
（1）在网格甲中画出：拼得图形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在网格乙中画出：拼得图形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在网格丙中画出：拼得图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
20．（本小题6分）已知二次函数的图象与x轴两交点为、．
（1）填空：________；
（2）求代数式的值．
21．（本小题6分）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三
边的长．
（1）已知是方程的根，求证：是等腰三角形；
（2）如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由．
22．（本小题8分）某商家销售一种进价为10元/件的玩具．经调查发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足下表：
x 10 11 12 13 14 15
y 400 390 380 370 360 350
设销售这种玩具每天的利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若销售单价不低于30元，且每天至少销售60件时，求此时w的最大值．
23．（本小题8分）阅读与理解
图1是边长分别为m和的两个正方形纸片ABCD和EFCG叠放在一起的图形（点F，G分别在BC，CD上）．
操作与证明
（1）将图1中的正方形ABCD固定，将正方形EFCG绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DG，如图2所示．猜想：线段BF与DG之间的大小关系，并证明你的猜想；
（2）若将图1中的正方形EFCG绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接BF，DG，如图3所示．那么（1）中的结论还是否成立吗？请说明理由．
操作与发现
根据上面的操作过程发现，当为________度时，线段BF的最大值是________；当为________度时，线段BF的最小值是________？
图1 图2 图3
24．（本小题11分）
如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过点B，C两点．
备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是直线BC上方抛物线的一动点，当面积取最大值时，求点D的坐标；
（3）连接AC，将绕点A旋转一周，在旋转的过程中，点C，B的对应点分别为，，直线分别与直线BC交于点E，交y轴于点F．那么在的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使是以CE为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2023—2024学年度第一学期期中考试
九年级数学试题参考答案
说明：解答题各小题只给出了一种解法及评分标准．其他解法，只要步骤合理，解答正确，均应给出相应的分数．
一、选择题：每小题3分，满分30分
1-5：DABAC 6-10：DABDC
二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分
11．； 12．2023； 13．1； 14．6； 15．．
三、解答题：本题共7小题，共55分．要写出必要的文字说明或演算步骤．
16．解：（1），
，，，
，
，
所以，； 3分
17．解：，
，
，
或，
所以，． 3分
18．解：（1）由题意得：且，
解得：且，∴，
∴当时，这个函数是关于x的一次函数； 2分
（2）由题意得：，解得：，
∴当，这个函数是关于x的二次函数． 4分
19．（答案不唯一，每正确画出一个符合条件的图形得2分，满分6分）
6分
20．（1）； 2分
（2）由题意知，，是一元二次方程的两个根，
∴，．
∴ 6分
21．（1）证明：∵是一元二次方程的根，
∴．
∴．
∴是等腰三角形； 3分
（2）解：方程有两个相等的实数根，理由如下：
∵是直角三角形，其中，∴．
∴，
∴方程有两个相等的实数根 6分
22．解：（1）根据题意，有：，
化简，得：，
根据，解得：，
即函数关系为：； 4分
（2）根据题意有：，解得：，
将化为顶点式为：，
∵，，
∴当时，函数值最大，最大为：．
答：此时W的最大值为4000元． 8分
23．解：操作与证明：
（1）．
∵正方形EFCG绕点C按顺时针方向旋转，
∴．
∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，
∴，．∴．∴． 3分
（2）．
∵正方形EFCG绕点C按顺时针方向旋转，∴．
∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，
∴，．∴．
∴． 6分
猜想与发现：
当为时，线段AD的长度最大，等于；
当为（或）时，线段AD的长度最小，等于 8分
24．解：（1）∵直线经过点B，C两点，
当时，，∴，当时，，∴．
把点代入，得：，解得，
∴； 3分
（2）设点D的坐标为，
过点D作轴，交BC于点E，
则点E的坐标为，
∴，
∴．
∴当时，的面积取最大值．此时．
∴ 7分
（3）设直线AC的解析式为，则，
联立直线BC和直线AC，得：，解得：，
∴，
由勾股定理得：，
，，
若，即，
解得或，
当时，，
当时，，
若，即，
解得或，
当时，，
当时，此时，不合题意，故舍去，
综上，M的坐标为或或或． 11分
