4.3用一元一次方程解决问题---日历问题
一、选择题．
1．把1～9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
2．小华在某月的日历上圈出相邻的四个数，算出这四个数字的和为36，那么这四个数在日历上位置的形式是（ ）
A． B． C． D．
3．小明在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为39，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的4个数（如阴影部分所示）．则这7个数的和不可能是（ ）
A．63 B．70 C．96 D．105
5．在如图所示的2020年1月份的月历表中，任意框出表中竖立上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．27 B．51 C．69 D．75
6．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（ ）
A．63 B．70 C．91 D．105
7．在2020年1月的月历表中，用如图所示的“S”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是（ ）
A．28 B．34 C．58 D．82
8．在排成每行七天的日历表中取下一个3×3的方块（如图），若方块中所有日期之和为207，则n的值为（ ）
A．23 B．21 C．15 D．12
9．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（ ）
A．70 B．78 C．84 D．105
10．一列数，按一定规律排列成﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…，从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a，则这三个数中最大的数与最小的数的差为（ ）
A．a B．|a| C．|a| D．a
二、填空题
11．在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和为27，则这三个数分别是 ．
12．幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣﹣九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为 ．
13．有一列数，按一定的规律排列成，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是 ．
14．在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天日期的数字之和是39．若培训时间是连续三周的周六，则培训的第一天的日期是 ．
15．日历中同一竖列相邻三个数的和为63，则这三个数分别为 ．
16．如图是某月的月历，用一个矩形框，每次框住9个数．若这9个数之和是81，则这9个数中最大的数为 ，这9个数之和可能会是100吗？ （填“能”或“不能”）
17．中国始有历法大约在四千年前每页显示一日信息的叫日历，每页显示一个月信息的叫月历，每页显示全年信息的叫年历如图是2019年1月份的月历，用一个方框圈出任意2×2的4个数，设方框左上角第一个数是x，则这四个数的和为 （用含x的式子表示）
18．生活中的数学
（1）小明同学在某月的日历上圈出2×2个数（如图1），正方形方框内的4个数的和是28，那么这4个数是 ；
（2）小丽同学在日历上圈出5个数，呈十字框型（如图2），他们的和是65，则正中间一个数是 ；
（3）某月有5个星期日，这5个星期日的日期之和为80，则这个月中第一星期日的日期是 号．
三、解答题
19．生活与数学
（1）莹莹在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的 倍，莹莹又在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是50，则中间的数是 ：
（2）小丽同学也在某月的日历上圈出如图所示“七”字形，发现这八个数的和是125，那么这八个数中最大数为 ：
（3）在第（2）题中这八个数之和 为101（填“能”或“不能”）．
20．生活与数学
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
（1）山姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，如图1，正方形的方框内的四个数的和是48，那么这四个数是 ．
（2）小丽也在上面的日历上圈出2×2个数，如图2，斜框内的四个数的和是46，则它们分别是 ．
（3）刘莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，如图3，它们的和是55，则中间的数是 ．
（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是 号？
21．（1）如图1，吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数a是 ；
（2）如图2，莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数k是 ；
（3）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是 号；
（4）小明一家外出旅游6天，这6天的日期和是27，第6天晚上回家，则小明在 号回家．
22．生活与数学．
（1）小明在某月的日历上象图①样圈了2×2个数，若正方形的方框内的四个数的和是44，那么这四个数是 ．（直接写出结果）
（2）小莉也在日历上象图②样圈出5个数，呈十字框形，若这五个数之和是60，则中间的数是 ．（直接写出结果）
（3）小虎说他在日历上向图③样圈了五个数，算了它们的和是65．你认为小虎计算正确吗？说明理由．
拓展与推广：
若干个偶数按每行8个数排成如图④所示：
（1）写出图④中方框内的9个数的和与中间的数的关系是 ．
（2）小明说若用图④中所画的方框去框9个数，其和可以是360，你能求出所框的中间一个数是多少吗？
（3）小华画了一个如图⑤所示的斜框，小华能用这个斜框框处9个数的和为2016吗？若能，请求出第行中间一个数，若不能，请说明理由．
23．生活中处处有数学，表一是某月的日历表，用一个正方形框出3×3＝9个数（如图），
（1）在表中框出九个数之和最大的正方形；
（2）若一个正方形内九个数字之和是108，求出它中间的数字；
（3）将自然数1至2014按表二的方式排列，框出九个数其和能为2016吗？若能，求出该方框中的最小数，若不能，请说明理由．
24．下面是2006年12月的日历，仔细观察，你能发现其中有何规律吗？
（1）现任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是 ．
（2）用正方形任意框出4个数，设最小的一个为a，则这4个数的和为 ．
（3）现将连续自然数1至2008按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数，如图
①图中框出的这16个数的和为 ；
②图中要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000，2006，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．
25．某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚圆柱形小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图1是2007年10月份日历
（1）用长方形和正方形分别圈出相邻的3个数和9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这3个数的和与9个数的和，结果分别为 ， ．
（2）用某种图形圈出相邻的5个数，使这5个数的和能表示成5a的形式，请在图2中画出一个这样的图形．
（3）用平行四边形圈出相邻的四个数，是否存在这样的4个数使得a+b+c+d＝114？如果存在就求出来，不存在说明理由．
（4）第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，能否使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下，试通过计算证明你的判断．
答案
一、选择题．
A．C．B．C．D．C．D．A．B．C．
二、填空题
11．2，9，16．
12．9．
13．﹣81．
14．6日．
15．14，21，28
16．17，不能．
17．4x+16．
18．（1）3，4，10，11；（2）13；（3）2
三、解答题
19．（1）莹莹在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的3倍，莹莹又在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是50，则中间的数是10；
故答案为：3；10
（2）设最小的数为x，则其余数分别为：x+6，x+7，x+8，x+14，x+21，x+22，x+23，根据题意得
x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝125，
解得x＝3，
∴这八个数中最大数为3+23＝26．
故答案为：26；
（3）x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝101，
解得x＝0，
但是日历上最小的数是1，所以在第（2）题中这八个数之和不能为101．
故答案为：不能
20．（1）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+7，x+8，
则x+x+1+x+7+x+8＝48，
解得x＝8；
所以这四个数是：8，9，15，16；
故答案为：8，9，15，16；
（2）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+6，x+7，
则x+x+1+x+6+x+7＝46，
解得x＝8．
x+1＝9，x+6＝14，x+7＝15；
故答案为：8，9，14，15；
（3）设中间的数是x，
则5x＝55，
解得x＝11；
故答案为：11；
（4）设最后一个星期日是x，x﹣7，x﹣14，x﹣21，x﹣28，
则x+x﹣7+x﹣14+x﹣21+x﹣28＝75，
解得x＝29；
故答案为：29．
21．（1）∵b＝a+1，c＝a+7，d＝a+8
∴根据题意可列方程：a+a+1+a+7+a+8＝32
a＝4
故答案为：4
（2）∵i＝k﹣7，j＝k﹣1，l＝k+1，m＝k+7
∴k﹣7+k﹣1+k+k+1+k+7＝50
∴k＝10
故答案为：10
（3）设第一个星期日的号数为x，以后四个星期日分别为：x+7，x+14，x+21，x+28，
则：x+x+7+x+14+x+21+x+28＝75
解之得：x＝1
∴1+28＝29
即：这个月中最后一个星期日是 29号；
故答案为：29
（4）设小明一家外出旅游的第一天的号数为x，根据题意可列方程：
x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5＝26
解之得：x＝2
即：小明在 7号回家
故答案为：7
22．（1）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+7，x+8，
则x+x+1+x+7+x+8＝44，
解得x＝7；
∴四个数分别为7、8、14、15，
故答案为：7、8、14、15；
（2）设中间的数是x，
则5x＝60，
解得x＝12，
故答案为：12；
（3）不准确，理由如下：
设中间一个为x，则其它数从上到下依次为：x﹣14，x﹣7，x+7，x+14，
则x﹣7+x﹣14+x+x+7+x+14＝65，
解得x＝13；
所以最上面一个数为x﹣14＝﹣1，显然不在日历上，
所以小虎计算错误；
拓展与推广：①9个数的和是中间的数的9倍．
②设中间的数是x，
则9x＝360，
解得x＝40；
③由图⑤中数据的排列可知224这个偶数排在第14行的最后一个，因此其后的226这个偶数排在第15行第一个数，因此实际上图⑥这个框框不到226这个偶数，因此小华不可能框出9个数据的和为2016．
23．（1）如图，红颜色框，是九个数之和最大的正方形；
（2）设中间数字为a，
则9a＝108，
解得a＝12；
（3）依题意得9a＝2016，
∴a＝224，
∵224÷7＝32，
∴224在第7列，
故这样的九个数不存在．
24．（1）∵设中间一个数为a，则上面的一个数是a﹣7，下面的一个数是a+7，
∴三个数按从小到大排列为：a﹣7，a，a+7；
（2）设最小的一个为a，则右边一个为a+1，
下面一个数是a+7，最后一个为a+8，
故四个数的和为：a+（a+1）+（a+7）+（a+8）＝4a+16；
（3）①设左上角第一个数为n，根据相邻之间的关系可以得到下表：
其中最小数为n，最大数为n+24．
这16个数的和为16n+192＝16（n+12）．
∴当n＝10时，16（n+12）＝16×22＝352．
②设在16（n+12）＝2000，n＝113，∴存在最小为113，最大为137，
16（n+12）＝2006，n＝113.375，∴不存在．
25．（1）长方形中中间数为a，上下两数分别为（a﹣7）；（a+7）
∴3个数的和为a+（a﹣7）+（a+7）＝3a
正方形中中间数为a，那么左右两数分别为（a﹣1）；（a+1）
根据以上规律左边三个数的和为3（a﹣1）；中间三个数的和为3a；右边三个数的和为3（a+1）
∴9个数的和为3（a﹣1）+3a+3（a+1）＝9a
故答案为：3a，9a．
（2）如图所示即可
（3）存在，如26、27、30、31 26+27+30+31＝114
（4）不能，共翻动了31+30+29+28+……+2+1＝（31+1）×31÷2＝496次 偶数次
而要使一个铁片翻面，需要1次、3次，5次，……奇数次
需要翻动的总次数是 奇数×31＝奇数次
奇数≠偶数
所以，不能．
