2023学年第一学期广州市天河外国语学校期中考试
初三数学
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，点，，在上，，则的度数为（）
A. B. C. D.
2.若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（）
A.1 B. C.2 D.0
3.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）
A. B. C. D.
4.如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（）
A. B. C. D.
5.如图，在中，弦，圆心到的距离，则的半径长为（）
A. B. C. D.
6.已知某二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（）
A. B. C. D.
7.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）
A.9 B.10 C.11 D.12
8.如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共6.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，正确的是（）
A.可以由绕点逆时针旋转得到
B.点与的距离为4
C.
D.
10.如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线.下列结论，正确的是（）
A.
B.
C.若点，点是函数图象上的两点，则
D.
三、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.二次函数，的图象如图所示，________（填“>”或“<”）.
12.如图，是的直径，，，则________.
13.设、是方程的两个根，且，则的值是________.
14.已知二次函数与一次函数的图象相交于点和点，则不等式的解集是________.
15.已知是一元二次方程的一个根，则代数式________.
16.如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为________.
四、计算题（本大题共1小题，共3.0分）
17.解方程：.
五、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.（本小题5.0分）
已知函数是关于的二次函数.
（1）求的值；
（2）函数图象的两点，，若满足，则此时的值是多少？
19.（本小题6.0分）
如图，是的弦，点，在上，且.判断的形状，并说明理由.
20.（本小题6.0分）
如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图.
图1图2
（1）在图1中，作关于点对称的；
（2）在图2中，作绕点顺时针旋转后得到的.
21.（本小题8.0分）
已知关于的一元二次方程有两个实数根，.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值.
22.（本小题10.0分）
我市某水产店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出600kg，销售价每涨一元，月销售量就减少10kg.
（1）写出月销售利润（单位：元）与售价（单位：元/千克）之间的函数解析式；
（2）当销售价定为55元时，计算月销售量和利润；
（3）水产店老板想通过自己的勤奋努力，争取月收入达万元，他的愿望能实现吗？
23.（本小题10.0分）
如图，已知锐角三角形内接于，于点，连接.
（1）若，
①求证：.
②当时，求面积的最大值.
（2）点在线段上，.连接，设，（，是正数），若，试探索、之间的等量关系，并证明.
24.（本小题12.0分）
已知正方形，为平面内任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，.
（1）如图，当点在正方形内部时，补全图形，判断与的关系，并写出证明过程；
（2）当点，，在一条直线上时，若，，求的长.
25.（本小题12.0分）
如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点.
（1）直接写出：点坐标________，点坐标________；抛物线的解析式是________；
（2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围.
2023学年第一学期广州市天河外国语学校期中考试初三数学答案和解析
1.【答案】B
【解析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．直接由圆周角定理求解即可.
解：∵，
∴，
故选B.
2.【答案】A
【解析】解：把代入，得，解得，
即的值为1.
故选：A.
根据一元二次方程的解的定义，把代入中，得，然后求得即可.
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
3.【答案】D
【解析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是进行判断即可.
解：点关于原点对称的点的坐标为.
故选：D.
4.【答案】A
【解析】解：抛物线对称轴为直线，点坐标为，
由抛物线的对称性可得图象与轴另一交点坐标为，
故选：A.
根据抛物线对称性及对称轴为直线求解.
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称.
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，，
∴，，
在中，，
即的半径长为5.
故选：C.
由于。，根据垂径定理得到，然后根据勾股定理求出。A即可.
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理.
6.【答案】B
【解析】【分析】
先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线，然后对各选项进行判断.
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质.
【解答】
解：∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线满足条件.
故选：B.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
设参加酒会的人数为人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.
【解答】
解：设参加酒会的人数为，
根据题意得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去）.
故选C.
8.【答案】C
【解析】【分析】
首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线只有一个交点时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案
本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度.
【解答】
解：∵抛物线与轴交于点、
∴，
∴抛物线向左平移4个单位长度
∴平移后解析式
当直线过点，有2个交点
∴，，
如图当直线与抛物线只有一个交点时，与、共有2个不同的交点
∴
∵只有一个交点
∴
∴
∵若直线与、共有3个不同的交点，
∴
故选：C.
9.【答案】ABC
【解析】【解答】
解：如图，
由题意可知，，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴可以由绕点逆时针旋转得到，
故结论A符合题意；
如图，连接
∵，且，
∴是等边三角形，
∴.
故结论B符合题意；
∵，
∴.
在中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴是直角三角形，，
∴，
故结论C符合题意；
3，
故结论D不符合题意；
故选ABC.
10.【答案】D
【解析】解：①由抛物线的开口方向可知，
又对称轴为直线，
∴，
由抛物线与轴的交点可知，
∴，故A正确.
②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另外一个交点为，
∴时，，
∴，故B正确.
③∵点关于直线的对称点的坐标为，，
∴，故C错误.
④∵，
∴.
∵时，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，故D正确.
故选ABD.
11.【答案】>
【解析】【分析】
本题考查了函数图象，抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系是本题的关键．根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系即可得出.
【解答】
解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系可得：
，
故答案为>.
12.【答案】60°
【解析】略
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，.
直接利用根与系数的关系求解.
【解答】
解：根据根与系数的关系得，
而，
所以.
故答案为：.
14.【答案】
【解析】解：根据题意画出函数大致图象如图，
观察函数图象知，当时，抛物线在直线的上方，即，
∴不等式的解集是.
故答案为：.
此题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合思想是解题的关键.
根据题意画出函数大致图象，根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的的取值范围即可.
15.【答案】10
【解析】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，即，
∴.
故答案为10.
16.【答案】43
【解析】【分析】
在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于.证明，推出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可.
本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
【解答】
解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于.
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∴，
∴的最小值为43，
故答案为：43.
17.【答案】解：，
，
或，
则，.
【解析】解方程
18.【答案】解：（1）由题意得，，，
解得，或，
∴的值为1或.
（2）二次函数图象的对称轴为轴，
∵图象上的两点，，满足，
∴时，随的增大而减小，
∴，
∴，
∴此时的值是.
【解析】【分析】
（1）根据二次函数的定义列式计算，得到答案；
（2）根据二次函数的性质即可判断，从而得出此时的值是.
本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
19.【答案】解：为等腰三角形，理由如下：
连接、，
，
∵在中，，
∴.
∴在和中，
∴，
∴，
∴为等腰三角形.
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键.
根据全等三角形的判定，可得与的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案.
20.【答案】解：（1）如图所示，即为所求；
图1图2
（2）如图所示，即为所求.
【解析】【分析】
（1）结合网格分别作出点，，关于点的对称点，再首尾顺次连接各对称点即可；
（2）分别作出点，绕点顺时针旋转后得到的对应点，再首尾顺次连接各对应点即可.
【点评】
本题主要考查作图 旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此作出变换后的对应点.
21.【答案】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴，
解得，
∴实数的取值范围为；
（2）由题意可得，，
∵
∴，解得或，
∵，
∴.
【解析】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键.
（1）由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于的不等式，可求得的取值范围；
（2）由根与系数的关系可用表示出和的值，代入已知条件可得到关于的方程，则可求得的值.
22.【答案】【小题1】
解：设该水产品的售价为元，
根据题意每月可卖出水产品，
∴，
∵，且，
解得：，
∴与的函数表达式为.
【小题2】
当销售单价定为每千克55元时，
月销售量为：（千克），
利润（元）.
【小题3】
∵，
∴当时，利润最大为12250元，
∵，
∴老板的愿望能实现.
【解析】1.由月销售利润=每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入即可；
2.根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=600 （销售单价 50）×10，然后再求出利润即可.
3.根据（1）中解析式，由函数性质求函数最值.
本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键.
23.【答案】（1）证明：①连接、，
图1
则，
∴，
∴；
②∵，
∴，即，
∴面积的最大值，要求边上的高最大，
当过点时，最大，即：，
面积的最大值；
（2）.
证明：如图2，连接，
图2
设，
则，，
则，
∵，
∴，
∵，∴，
即：，
化简得：.
∴.
【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和公式，含角的直角三角形，其中（2）中是本题容易忽视的地方，本题难度适中.
（1）①连接、，则，即可求解；
②长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，即可求解；
（2），而，即可求解.
24.【答案】解：（1），，理由如下：
依题意补全图形，如图①，
延长分别交，于点，，
在正方形中，，，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
又∵，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
（2）当点在线段的延长线上时，如图②所示，
过点作，交的延长线于点，
∵是正方形的对角线，
∴，
，，
，
，
在中，由勾股定理，得，
由（1），同理可得，
，
当点在线段上时，如图③所示，
过点作于点，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在，由勾股定理，得，
由（1）同理可得，
∴，
∴的长为26或10.
【解析】【分析】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，关键是判断出和构造直角三角形.
（1）根据题意补全图形，先判断出，进而得出，即可得出，最后判断出即可得出结论；
（2）分两种情况，当点在线段的延长线上时和当点在线段上时，构造直角三角形利用勾股定理即可得出结论.
25.【答案】，；抛物线的解析式为，
解：（1）令，得，
∴，
令，得，解得，，
∴，
把、两点代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为，
令，得，
解得，，或，
∴；
（2）过点作轴，与交于点，如图1，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴当时，四边形面积最大，其最大值为8，
此时的坐标为；
图1
（3）∵将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图2，
图2
∴，，
∴，，
当在抛物线上时，有，
解得，，
当点在抛物线上时，有，
解得，或2，
∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点.
【解析】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键再求函数的解析式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置.
（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令，便可求得点坐标；
（2）过点作轴，与交于点，设，则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得的值，便可得点的坐标；
（3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可.
