9.3平行四边形
一．选择题
1．如图，在 ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（ ）
A．4 B．8 C．8 D．10
2．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
3．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．下列结论不一定成立的是（ ）
A．AD＝BC B．AB∥CD C．∠DAB＝∠BCD D．∠DAC＝∠DCA
5．如图，四边形ABCO为平行四边形，A，C两点的坐标分别是（3，0），（1，2），则平行四边形ABCO的周长等于（ ）
A． B． C．4 D．6+2
6．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝5，AD＝3，则OB的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
7．如图，在 ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为14cm，则 ABCD的周长为（ ）
A．14cm B．28cm C．10cm D．20cm
8．平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A（m，n），B（1，﹣3），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（1，3）
9．如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊中的四边形两对角线长度和为（ ）
A．29 B．26 C．24 D．25
10．在 ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，DE平分∠ADC交AB于点E，则下列说法中不正确的是（ ）
A．AD＝DF B．AF⊥DE C．AE＝DF D．AE＝DE
11．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（ ）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．1或2 B．2 C．2或3 D．2或4
12．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，已知AB＝4，BC＝3，则AC2+BD2的值是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
二．填空题
13．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，BC＝7cm，AE＝3cm，则平行四边形ABCD的周长是 ．
14．如图，在 ABCD中，已知AD＝36，AB＝24，∠BAD的角平分线AE交BC边于点E，则CE的长为 ．
15．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．
16．如图，P为矩形ABCD内一点，PB＝PC，∠BPC＝90°，∠PAB＝75°，若AB＝11，PD＝14，则PA的长为 ．
17． ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣1）、C（3，0），则点D的坐标为 ．
18．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则 ABCD的周长是 ．
19．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝8，EF＝1，则BC长为 ．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为 ．
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝105°，对角线AC、BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝4，点P从B点出发，沿着边BC、CD运动到点D停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是 ．
22．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为 ．
三．解答题
23．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．
（1）求证：四边形AMON是平行四边形；
（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．
24．阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
25．如图，在 ABCD中，点E是AB边中点，DE与CB的延长线交于点F．求证：DE＝FE．
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
27．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC，CD＝BD，求AD的长．
28．如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：AE＝CF．
（2）如图2，若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明理由？
29．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ ；
（2）当t＝ 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
30．如图，在平行四边形ABCD中，连接DB．过D点作DE⊥AB于点E，过BE上一点F作FG⊥AD于点G，交DE于点P；过F作FH⊥DB于点H，连接EH．
（1）若DE＝6，DC＝10，AD＝2，求BE的长．
（2）若AE＝PE，求证：DH+HFEH．
答案
一．选择题
C．C．A．D．D．A．D．C．B．D．D．B．
二．填空题
13．22cm
14．12．
15．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
16．．
17．（2，1）．
18．16．
19．15．
20．．
21．或或．
22．．
三．解答题
23．（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，
由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，
∴MO∥AN，NO∥AM，
∴四边形AMON是平行四边形；
（2）解：∵AC＝6，BD＝4，
∴AO＝3，BO＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴AB，
∴OM＝AM＝MB，
∴NO＝AN，
四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．
24．解：有错误．改正：
假设AC＝BC，则∠A＝∠B，又∠C＝90°，
所以∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC．
25．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵点F在CB的延长线上，
∴AD∥CF，
∴∠ADE＝∠F．
∵点E是AB边的中点，
∴AE＝BE．
∵在△ADE与△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴DE＝FE．
26．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
27．（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠CDA＝60°．
在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，
∴．
在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，
∴GD＝1，
∴．
28．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△AOE 和△COF中，
∠DAC＝∠BCA，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）解：设计图形如图：
理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与水井相邻就可以．
因为平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，
所以找到对角线的交点与水井点P的连线的所在直线即可．
29．解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABPBP×AB2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABPAB×BC4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABPAB×AP4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∴PD＝DC﹣PC＝12﹣2t，
∴，
解得t．
综上所述：t＝2s或t＝3s或ts时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
30．解：（1）∵DE⊥AB，
∴AE2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝10，
∴BE＝AB﹣AE＝8；
（2）方法一：如图，过点E作EM⊥HE，交HF的延长线于点M，连接AP，GE，DF，
∵AE＝PE，且DE⊥AE，
∴∠PAE＝∠APE＝45°，
∵∠AGP＝∠AEP＝90°，
∴点A，点E，点P，点G四点共圆，
∴∠PGE＝∠PAE＝45°，
∵∠DGF＝∠DEF＝90°，
∴点D，GH，点E，点F四点共圆，
∴∠EDF＝∠PGE＝45°，
∴∠EDF＝∠DFE＝45°，
∴DE＝EF，
∵∠DHF＝∠DEF＝90°，
∴点D，点E，点F，点H四点共圆，
∴∠DFE＝∠DHE＝45°，∠EDF＝∠EHF＝45°，且EM⊥EH，
∴∠M＝∠EHF＝45°，
∴EH＝EM，
∴HMEH，
∵∠DEB＝∠HEM＝90°，
∴∠DEH＝∠FEM，且∠DHE＝∠M＝45°，DE＝EF，
∴△DEH≌△FEM（AAS）
∴DH＝MF，
∴DH+HF＝MF+HF＝HMEH．
方法二：∵∠AED＝∠DGP＝∠PEF＝90°，∠DPG＝∠EPF，
∴∠ADE＝∠PFE，
∴△ADE≌△PFE（AAS），
∴DE＝EF，
延长BD到Q使DQ＝FH，
∵FH⊥BD，
∴∠EDB+∠DBE＝∠HFB+∠HBF＝90°，
∴∠EPB＝∠HFB，
∴∠QDE＝∠HFE，
∴△EQD≌△EFH（SAS），
∴∠QED＝∠HEF，QE＝EH，
∴∠QEH＝∠DEB＝90°，
∴△QEH是等腰直角三角形，
∴QHEH，
∴DH+FHEH．
