昆明市重点高中2023-2024学年高一上学期期中考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定形式是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
5.函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.若命题“”是真命题，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则（ ）
A.1 B.3 C.-1 D.-5
8.已知，其中，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.
9.若，则下列不等式成立的有（ ）
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是（ ）
A.若幂函数过点，则
B.函数表示幂函数
C.函数在单调递增
D.幂函数的图像都过点
11.已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B.不等式的解集是
C.
D.不等式的解集为
12.已知函数，若有三个不等实根，且，则（ ）
A.的单调递减区间为
B.的取值范围是
C.的取值范围是
D.函数有4个零点
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域是__________.
14.已知函数，则__________.
15.两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.
16.如果函数，若，则值域为__________；若满足对任意，都有成立，那么的取值范围是__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
计算下列各式：
（1）；
（2）.
18.（12分）
已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（12分）
为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和坚直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是设.
（1）设阴影部分直角三角形的高为，求与的关系式，并求出当时，海报纸（矩形）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
20.（12分）
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示.
（1）请将函数的图象补充完整，并求出的解析式及其单调区间；
（2）若函数，求函数的最小值.
21.（12分）
已知是定义在上的函数.
（1）用定义证明在上是增函数；
（2）解不等式.
22.（12分）
已知函数对任意满足：，二次函数满足：且.
（1）求的解析式；
（2）若，解关于的不等式.
昆明市重点高中2023-2024学年高一上学期期中考试
数学参考答案
一 单选题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A C D A D
二 多选题：
题号 9 10 11 12
答案 AC AB ABD ACD
三 填空题：
13. 14. 15. 16.；
四 解答题：
17.解：
（1）原式.
（2）原式
18.解：
（1）当时，，
由，可得，
解得，即，
所以
（2）由，
若，根据题意可得，，解得.
若解得.
所以的取值范围是.
19.解：
（1）因为阴影部分直角三角形的高为，
所以阴影部分的面积，所以，
当时，，
由图可知.
海报纸的周长为.
故与的关系式，海报纸的周长为.
（2）由（1）知，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，.
故选择矩形的长 宽分别为的海报纸，可使用纸量最少.
20.解：
（1）当时，，则，
因为为奇函数，所以，所以，
所以，作出函数的图象，如图所示，
可得函数单调增区间为，单调减区间为和.
（2）由时，，所以，
①当时，即，则的最小值为；
②当时，即，则的最小值为.
21.解：
（1）证明：设为内任意两实数，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上是增函数；
（2）因为，
所以函数为定义在上的奇函数，
由得，
又由（1）可知函数是定义在的增函数，
所以有，解得，
所以原不等式的解集为.
22.解：
（1）①，
用代替上式中的，
得②，
联立①②，可得；
设，
所以，
即
所以，解得，
又，得，所以.
（2）因为，
即，
化简得，，
①当时，，不等式的解为；
②当，即，即时，不等式的解为或；
③当，即，即或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
④当，即时，，
解得且，综上所述，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为或；
当时，不等式的解为且；
当时，不等式的解为.
