14.1 整式的乘法
第1课时 同底数幂的乘法
【知识重点】
知识点1 同底数幂的乘法
1. 同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：用字母表示为am·an＝am＋n(m，n都是正整数).
特别解读
（1）运用此法则要注意两点：一是底数相同；二是指数相加.
（2）单个字母或数可以看成指数为1 的幂，运算时易漏掉.
2. 法则的拓展运用 (1)同底数幂的乘法法则对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即：am·an·…·ap＝am＋n＋…＋p(m，n，…，p都是正整数). (2)同底数幂的乘法法则也可以逆用，即：am＋n＝am·an(m，n都是正整数).
【经典例题】
【例1】计算：
(1)108×102；(2)x7·x；(3)an＋2·an－1；
(4)－x2·(－x)8；(5)(x＋3y)3·(x＋3y)2·(x＋3y)；
(6)(x－y)3·(y－x)4.
解题秘方：紧扣同底数幂的乘法法则的特征进行计算
特别提醒：运用同底数幂的乘法法则计算时应注意以下几点：
1. 底数既可以是单项式也可以是多项式，当底数是多项式时，应将多项式看成一个整体进行计算.
2. 当底数互为相反数时，先结合指数的奇偶性化成相同的底数，再按法则计算.
【例2】(1)若am＝2，an＝8，求am＋n的值；
(2)已知2x＝3，求2x＋3的值.
解题秘方：逆用同底数幂的乘法法则，即am＋n＝am·an(m，n都是正整数).
【同步练习】
一、选择题
1．下列选项中，是同底数幂的是( )
A．(－a)2与a2 B．－a2与(－a)3 C．－x5与x5 D．(a－b)3与(b－a)3
2．下列算式中，结果等于a6的是( )
A．a4＋a2 B．a2＋a2＋a2 C．a2·a3 D．a2·a2·a2
3．墨迹覆盖了等式“a2■a2＝a4(a≠0)”中的运算符号，则覆盖的运算符号是( )
A．＋ B．－ C．× D．÷
4．【2023·石家庄四十一中模拟】老师在黑板上书写了一个正确的算式，随后用手掌遮住了一个单项式，形式如下：a·＝a3，则处应为( )
A．3 B．a C．a2 D．a3
5．【2022·嘉兴】计算a2·a的结果是( )
A．a B．3a C．2a2 D．a3
6．【2022·丽水】计算－a2·a的结果是( )
A．－a2 B．a C．－a3 D．a3
7．计算x2·(－x)3的结果是( )
A．x6 B．－x6 C．x5 D．－x5
8．x3m＋3可以写成( )
A．3xm＋1 B．x3m＋x3 C．x3·xm＋1 D．x3m·x3
9．计算(a－b)2n(b－a)(a－b)m－1的结果是( )
A．(a－b)2n＋m B．－(a－b)2n＋m C．(b－a)2n＋m D．以上都不对
10．计算(－2)2 024＋(－2)2 023的结果是( )
A．－22 023 B．22 023 C．－22 024 D．22 024
11．【2022·包头】若24×22＝2m，则m的值为( )
A．8 B．6 C．5 D．2
12．若10x＝a，10y＝b，则10x＋y＋2＝( )
A．2ab B．a＋b C．a＋b＋2 D．100ab
13．【2021·云南】按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是( )
A．n2an＋1 B．n2an－1 C．nnan＋1 D．(n＋1)2an
14．【2023·泰安一中月考】若m为偶数，则(a－b)m·(b－a)n与(b－a)m＋n的结果( )
A．相等 B．互为相反数 C．不相等 D．以上说法都不对
二、填空题
15．化同底数法：若底数互为相反数，则可化为同底数进行计算．如：(x－y)2n＝_____________，
(x－y)2n－1＝____________．(n为正整数)
16．计算：
(1)10×104×108＝________；
(2)m·m7＝________；
(3)(x＋y)2·(x＋y)4＝____________．
17．已知3x＝9，则3x＋3＝_________.
18．计算：(a－b)3·(b－a)·(a－b)5＝_________.
19．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1 GB＝210 MB,1 MB＝210 KB，1 KB＝210 B．某视频文件的大小约为1 GB，1 GB等于_________B.
三、解答题
20．计算：
(1)32×27×81；
(2)(x－y)·(y－x)2·(y－x)3；
(3)an＋1·a3＋an·a4；
(4)(－a)3·a2－(－a)2·(－a)3.
(5)(－x5)·x3n－1＋x3n·(－x)4.
21．(1)已知2m－2·25－n＝25，求(m－n)2－5(m－n)＋7的值．
(2)已知ax＋y＋z＝24，ax＋y＝6，求az的值．
22．已知：3x＝5，3x＋y＝15，3z＝11，3m＝33，试判断y，z，m之间的数量关系，并说明理由．
23．(1)已知2a＝4,2b＝8,2c＝32.试问a，b，c之间有怎样的关系？请说明理由；
(2)已知2a＝2,2b＝4,2c＝16,2d＝8，求a＋b＋c＋d的值．
24．(1)已知2a＝3,2b＝6,2c＝12.求a、b、c之间的关系；
(2)已知x·xm·xn＝x14，且m比n大3，求m、n的值．
25．【数学抽象、数学运算】阅读下面的材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 022＋22 023的值．
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 022＋22 023.①
将等式两边同时乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋
22 023＋22 024.②
②－①，得2S－S＝22 024－1，即S＝22 024－1.
所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 022＋22 023＝22 024－1.
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210；
(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n(n为正整数)．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
【经典例题】
【例1】计算：
(1)108×102；(2)x7·x；(3)an＋2·an－1；
(4)－x2·(－x)8；(5)(x＋3y)3·(x＋3y)2·(x＋3y)；
(6)(x－y)3·(y－x)4.
解题秘方：紧扣同底数幂的乘法法则的特征进行计算
解：(1)108×102＝108＋2＝1010；
(2)x7·x＝x7＋1＝x8；
(3)an＋2·an－1＝an＋2＋n－1＝a2n＋1；
(4)－x2·(－x)8＝－x2·x8＝－x10；
(5)(x＋3y)3·(x＋3y)2·(x＋3y)＝(x＋3y)3＋2＋1＝(x＋3y)6；
(6)(x－y)3·(y－x)4＝(x－y)3·(x－y)4＝(x－y)7.
特别提醒：运用同底数幂的乘法法则计算时应注意以下几点：
1. 底数既可以是单项式也可以是多项式，当底数是多项式时，应将多项式看成一个整体进行计算.
2. 当底数互为相反数时，先结合指数的奇偶性化成相同的底数，再按法则计算.
【例2】(1)若am＝2，an＝8，求am＋n的值；
解：∵ am＝2，an＝8，∴ am＋n＝am·an＝2×8=16；
(2)已知2x＝3，求2x＋3的值.
解：∵ 2x＝3，∴ 2x＋3＝2x·23＝3×8＝24.
解题秘方：逆用同底数幂的乘法法则，即am＋n＝am·an(m，n都是正整数).
【同步练习】
一、选择题
1．下列选项中，是同底数幂的是( C )
A．(－a)2与a2 B．－a2与(－a)3 C．－x5与x5 D．(a－b)3与(b－a)3
2．下列算式中，结果等于a6的是( D )
A．a4＋a2 B．a2＋a2＋a2 C．a2·a3 D．a2·a2·a2
3．墨迹覆盖了等式“a2■a2＝a4(a≠0)”中的运算符号，则覆盖的运算符号是( C )
A．＋ B．－ C．× D．÷
4．【2023·石家庄四十一中模拟】老师在黑板上书写了一个正确的算式，随后用手掌遮住了一个单项式，形式如下：a·＝a3，则处应为( C )
A．3 B．a C．a2 D．a3
5．【2022·嘉兴】计算a2·a的结果是( D )
A．a B．3a C．2a2 D．a3
6．【2022·丽水】计算－a2·a的结果是( C )
A．－a2 B．a C．－a3 D．a3
7．计算x2·(－x)3的结果是( D )
A．x6 B．－x6 C．x5 D．－x5
8．x3m＋3可以写成( D )
A．3xm＋1 B．x3m＋x3 C．x3·xm＋1 D．x3m·x3
9．计算(a－b)2n(b－a)(a－b)m－1的结果是( B )
A．(a－b)2n＋m B．－(a－b)2n＋m C．(b－a)2n＋m D．以上都不对
10．计算(－2)2 024＋(－2)2 023的结果是( B )
A．－22 023 B．22 023 C．－22 024 D．22 024
【解析】(－2)2 024＋(－2)2 023
＝(－2)2 023×[(－2)＋1]
＝(－2)2 023×(－1)＝22 023.
11．【2022·包头】若24×22＝2m，则m的值为( B )
A．8 B．6 C．5 D．2
12．若10x＝a，10y＝b，则10x＋y＋2＝( D )
A．2ab B．a＋b C．a＋b＋2 D．100ab
13．【2021·云南】按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是( A )
A．n2an＋1 B．n2an－1 C．nnan＋1 D．(n＋1)2an
【解析】因为第1个单项式a2＝12·a1＋1，
第2个单项式4a3＝22·a2＋1，
第3个单项式9a4＝32·a3＋1，
第4个单项式16a5＝42·a4＋1，……
所以第n(n为正整数)个单项式为n2an＋1.
14．【2023·泰安一中月考】若m为偶数，则(a－b)m·(b－a)n与(b－a)m＋n的结果( A )
A．相等 B．互为相反数 C．不相等 D．以上说法都不对
【解析】当m为偶数时，(a－b)m·(b－a)n＝(b－a)m·(b－a)n＝(b－a)m＋n.
二、填空题
15．化同底数法：若底数互为相反数，则可化为同底数进行计算．如：(x－y)2n＝_____________，
(x－y)2n－1＝____________．(n为正整数)
【答案】(y－x)2n －(y－x)2n－1
16．计算：
(1)10×104×108＝________；
(2)m·m7＝________；
(3)(x＋y)2·(x＋y)4＝____________．
【答案】1013 m8 (x＋y)6
17．已知3x＝9，则3x＋3＝_________.
【答案】243
18．计算：(a－b)3·(b－a)·(a－b)5＝_________.
【答案】－(a－b)9
19．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1 GB＝210 MB,1 MB＝210 KB，1 KB＝210 B．某视频文件的大小约为1 GB，1 GB等于_________B.
【答案】230
三、解答题
20．计算：
(1)32×27×81；
解：39
(2)(x－y)·(y－x)2·(y－x)3；
解：－(x－y)6
(3)an＋1·a3＋an·a4；
解：原式＝an＋4＋an＋4＝2an＋4；
(4)(－a)3·a2－(－a)2·(－a)3.
解：0
(5)(－x5)·x3n－1＋x3n·(－x)4.
原式＝－x3n＋4＋x3n＋4＝0.
21．(1)已知2m－2·25－n＝25，求(m－n)2－5(m－n)＋7的值．
解：(1)∵2m－2·25－n＝2m－2＋5－n＝25，
∴m－2＋5－n＝5，即m－n＝2.
∴(m－n)2－5(m－n)＋7＝×22－5×2＋7＝2－10＋7＝－1.
(2)已知ax＋y＋z＝24，ax＋y＝6，求az的值．
∵ax＋y＋z＝ax＋y·az＝24，ax＋y＝6，∴az＝4.
22．已知：3x＝5，3x＋y＝15，3z＝11，3m＝33，试判断y，z，m之间的数量关系，并说明理由．
解：m＝y＋z.理由如下：
因为3x＋y＝15，3x＝5，所以5·3y＝15.
所以3y＝3.
因为3m＝33＝3×11，3y＝3，3z＝11，
所以3m＝3y·3z＝3y＋z.所以m＝y＋z.
23．(1)已知2a＝4,2b＝8,2c＝32.试问a，b，c之间有怎样的关系？请说明理由；
(2)已知2a＝2,2b＝4,2c＝16,2d＝8，求a＋b＋c＋d的值．
解：(1)a＋b＝c.理由：∵2a·2b＝4×8＝32＝2c，
∴2a＋b＝2c，∴a＋b＝c.
(2)由题意，得2a·2b·2c·2d＝2×4×16×8＝21×22×24×23＝210，
即2a＋b＋c＋d＝210，∴a＋b＋c＋d＝10.
24．(1)已知2a＝3,2b＝6,2c＝12.求a、b、c之间的关系；
(2)已知x·xm·xn＝x14，且m比n大3，求m、n的值．
解：(1)依题意，得2a·2c＝3×12＝36；2b·2b＝6×6＝36，∴2a·2c＝2b·2b.∴a＋c＝2b；
(2)依题意，得，解得，∴m、n的值各为8、5.
25．【数学抽象、数学运算】阅读下面的材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 022＋22 023的值．
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 022＋22 023.①
将等式两边同时乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋
22 023＋22 024.②
②－①，得2S－S＝22 024－1，即S＝22 024－1.
所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 022＋22 023＝22 024－1.
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210；
解：(1)设M＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210①.
将等式两边同时乘2，得2M＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋210＋211②.
②－①，得2M－M＝211－1，即M＝211－1.
所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210＝211－1.
(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n(n为正整数)．
设N＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n①.
将等式两边同时乘3，
得3N＝3＋32＋33＋34＋35＋…＋3n＋3n＋1②.
②－①，得3N－N＝3n＋1－1，
即N＝(3n＋1－1)．
所以1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n＝(3n＋1－1)．
