2023～2024学年度上学期阶段质量调研试题
九年级数学
（考试时间：120分钟满分：120分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、学校、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列四个交通标志中，是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（）
A． B．0 C．2 D．4
3．下列现象属于旋转的是（）
A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
4．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（）
A． B． C． D．
5．关于二次函数，下列说法正确的是（）
A．函数图象的开口向下 B对称轴为直线
C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小
6．用配方法解方程，下列配方正确的是（）
A． B． C． D．
7．将拋物线的图象先向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到的拋物线解析式是（）
A． B． C． ，D．
8．已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的的取值范围是（）
（第8题图）
A． B．或 C．或 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，绕某点逆时针旋转得到，则旋转中心是点（）
（第9题图）
A． B． C． D．无法确定
10．抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
1 2 3
2.5
则下列说法错误的是（）
A．当时，
B．当时，随的增大而减小
C．拋物线的对称轴为直线
D．方程的负数解满足
11．如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是（）
（第11题图）
A． B． C． D．
12．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点称为极点：从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点的极坐标就可以用线段的长度以及从
转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，如或或，则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是（）
（第12题图）
A． B． C． D．
第П卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填在答题卡上．）
13．一元二次方程的二次项系数是______．
14．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______．
15．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为______．
16．如图，游乐场的大型摩天轮顺时针旋转1周需要（匀速）．启动时，旋转的度数为______．
（第16题图）
17．一个正方体的边长为，它的表面积为，则与的函数关系式为______．
（第17题图）
18．如图，是等边三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，若，则四边形的面积为______．
（第18题图）
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分6分）计算：．
20．（本题满分6分）解方程：．
21．（本题满分10分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转．
（第21题图）
（1）试作出旋转后的，其中与是对应点；
（2）在作出的图形中，已知，求的长．
22．（本题满分10分）【阅读理解】
【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”．
【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，．，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）写出方程的“对称方程”是______；
（2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．
23．（本题满分10分）如图，拋物线与轴交于点（点在点的右侧），与轴交于点．
（第23题图）
（1）求点、点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）如图，点是直线上方的拋物线上的一动点（不与重合），过点作轴交直线于点．求线段的最大值．
24．（本题满分10分）为促进乡村振兴发展，着力打造乡村旅游重点村，广西某旅游村在今年的国庆节假期间，接待游客达2万人次，预计后年的国庆节假期接待游客有望达到2.88万人次，该旅游村内一家特色粉店希望在国庆节假期间卖粉获得好的收益，经测算可知，该粉的成本价为每份10元，若每份卖15元，平均每天将销售128份，若价格每提高1元，则平均每天少销售8份，每天店内所需其他各种费用为232元．
（1）求预计该景区明、后两年国庆节假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每份粉售价不得超过20元，当每份粉提高多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润总收入总成本其它各种费用）
25．（本题满分10分）【综合与实践】
【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量（克）随时间（分钟）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如下图所示：
场景A场景B
任务一：求出函数表达式
（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分，分别求出场景相应的函数表达式：
任务二：探究该化学试剂的挥发情况
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
26．（本题满分10分）【探究与证明】
活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．
【问题情境】
如图①，在矩形中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点．
图①图②图③备用图
【猜想证明】从特殊到一般
（1）当时，四边形的形状为______；（直接写出答案）
（2）如图②，当时，连接，求此时的面积；
（3）如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明；
（4）是否存在，使点三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
2023～2024学年度上学期阶段质量调研试题
九年级数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C A B A B D A C B B
二、填空题
13．3 14． 15． 16．
17． 18．
三、解答题
19．解：原式
20．解：，，，
，．
21．（1）解：如图所示，即为所求作；
（2）解：，
由旋转而成，，
，共线，
．
22．解：（1）；
（2）由，移项可得：，
方程与为对称方程，
，解得：．
．
23．解：（1）当时，，解得：，
点的坐标为，点的坐标为；
（2）当时，，点的坐标为，
设直线的解析式为，
把代入得：，解得，
直线的解析式为；
（3）设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，当时，最大值为4．
24．解：（1）设年平均增长率为，
依题可得，
解得：（舍去），
答：预计该景区明、后两年国庆节假期间游客人次的年平均增长率为．
（2）设当每份粉提高元时，店家才能实现每天净利润600元，
依题可得：，
即，解得：，
当时，售价为，符合题意；
当时，售价为，不符题意，舍去．
答：每份粉提高3元时，店家能实现每天净利润600元．
25．解：（1）把代入得：
，解得，
把代入得：
，解得，；
场景的函数表达式为，场景的函数表达式为；
（2）当时，场景中，，
场景中，，解得，
，化学试剂在场景下发挥作用的时间更长．
26．解：（1）正方形；
（2）如答题图①，作于，
，，
，，，
，，，
；
答题图①
（3），证明如下：
由已知可得，
在和中，，
（4）存在使点三点共线，理由如下：
，，
设，则，根据旋转的性质得：，
，
，，
当点在线段上时，如答题图②
答题图②
在中，由勾股定理得：，
，解得：，
当点在的延长线上时，如答题图③，
答题图③
同理，
设，则，
，解得：，
综上所述，存在使点三点共线，此时或8．
