2023-2024学年度第一学期期中素质测试
九年级数学
注意事项：
1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答。
2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂。
题号 一 二 三 总分
1~10 11~15 16 17 18 19 20 21 22 23
得分
—、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．如图，△ADE是由ABC绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（ ）
A．10° B．30° C．40° D．50°
5．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知m，n为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，．，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，OA，OB，OC都是的半径，AC，OB交于点D．若，，则BD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
10．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点外坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为______．
12．点与点关于原点对称，则点A的坐标为______．
13．设是关于x的方程的两个根，且，则______．
14．如图，已知△ABC内接于，AB是的直径，CD平分，交于点D，若，则BD
的长为______．
15．如图1，两个完全相同的三角尺ABC和DEF重合放置，将三角尺DEF沿AB平移，点D落在AB的中点处；如图2，在图1的基础上将三角尺DEF绕点D在平面内旋转，若，，，当点C恰好落在三角尺DEF的边上时，AF的长为______．
图1 图2
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）解下列方程：
（1）； （2）．
17．（9分）已知关于x的一元二次方程：．
（1）求证：该方程总有两个实数根．
（2）该方程的两个实数根的和为2，求m的值．
18．（9分）在由边长为1个里位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作与△ABC关于原点O成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到．
（1）作出和；
（2）与△ABC关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______．
19．（9分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？
20．（9分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房层的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料） ．
（1）当羊圈的边AB为多少米时，能围成一个面积为的兰圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
21．（9分）某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱；七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱．
（1）求七、八两月销量的月平均增长率；
（2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？
22．（10分）某校为了丰富校园生活，提高学生身体素质特举行定点投篮比赛．某学生站在与篮筐水平距离6米的A处进行定点站立投篮比赛，学校利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．已知篮圈中心B到地面的距离为3.05米．篮球每一次投出时离地面的距离都为2.05米．图中所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，当篮球与篮筐水平距离为3米时离地面最高，最大高度为3.55米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）判断本次训练篮球能否直接投中篮圈中心B？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该球员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球直接投中篮圈
中心B．
23．（10分）如图1，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，，点D在AC上，点E在BA延长线上；连按BD，CE．
图1 图2
（1）线段BD与CE的数量关系是______．
（2）如图2将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转，那么（1）问中的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
2023-2024学年度第一学期期中素质测试
九年级数学参考答案
一、选择
1．B 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．D 8．B 9．C 10．D
二、填空
11．或 12．； 13．2； 14．； 15．或
三、解答
16．解：（1）；
或
，或．
（2）．
∵．．
∴
，．
17．（1）证明：∵，，
∴
又∴
∴该方程总有两个实数根．
（2）设该方程的两个实数根分别为，则由根与系数的关系得，
，
又，，
18．（1）如图所示（每个做对3分）
（2）
19，解：（1）连接OA，由题意得，，，
，∴
在Rt△AOD中．由勾股定理得
即
解得
答：圆弧所在的圆的半径r的长是34米．
（2）连接，
∵
∴在中，由勾股定理得，解得
∴
∵不需要采取紧急措施．
20．解：（1）设羊圈的边AB为xm，则边BC的长为m，根据题意得
化简得，，
解方程得，
当时，；当时，；
答：当羊圈的边AB的长为16m或20m时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）不能。理由如下：
化简得，
∵
∴该方程没有实数根
∴羊圈的面积不能达到．
21．解：（1）设七、八两月的月平均增长率为x，根据题意得，
解得，（不符合题意，应舍去）
答：七、八两月的月平均增长率是25%．
（2）设该水果每箱降价y元，根据题意得
整理得，
解得，（不符合题意，应舍去）
答：当该水果每箱降价5元时，超市九月获利4250元．
22．解：（1）根据题意得抛物线的顶点坐标是．
设抛物线的表达式为．
∵点在该抛物线上，
∴解得，
∴所求抛物线的表达式为；
（2）由题意知，篮圈中心B的坐标是，
由（1）可知抛物线与，物的交点为．
∴本次训练不能投中；
∵向前或向后移动只是对抛物线进行左右平移，而篮球飞行的抛物线形状不变，
∴可设该球员向前移动h米，就能使篮球直接投中篮圈中心B，
则设抛物线的解析式为
∵篮球要直接投中篮圈中心．
∴
解得，（舍去）
∴该球员只要向前或向后移动米，就能使篮球直接投中篮圈中心B．
23．解：（1）；
（2）仍然成立。
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形
∴，．
∵，
∴
即
∴
∴
