福建省部分地市校2024届高三上学期11月第一次质量检测
数学试题2023.11
本试卷共5页，总分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．288种 B．360种 C．480种 D．504种
5．设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义在上的奇函数满足，则对所有这样的函数，由下列条件一定能得到的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求。全不选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中所有小长方形的面积之和等于1 B．中位数的估计值介于100和105之间
C．该班成绩众数的估计值为97.5 D．该班成绩的极差一定等于40
10．已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
11．已知圆和圆，则（ ）
A．圆的半径为4
B．轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有6个点到直线的距离为1
12．定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（ ）
A．函数为奇函数
B．不等式的解集为
C．若方程有两个根，，则
D．在处的切线方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
14．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为 .
15．已知等比数列满足且，则的取值范围是 ．
16．斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设的三个内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，求的最小值；
(2)求的值.
18．如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．
(1)若是中点，求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
19．已知数列和，其中的前项和为，且，.
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)记，求证：.
20．设，为实数，且，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，函数，试问是否存在极小值点 若存在，求出的极小值点；若不存在，请说明理由.
21．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
编号 1 2 3 4 5
学习时间 30 40 50 60 70
数学成绩 65 78 85 99 108
(1)请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200）
(2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
附：，，．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
22．已知抛物线：（）上一点的纵坐标为3，点到焦点距离为5.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交于，两点，过点，分别作的切线与，与相交于点，过点作直线垂直于，过点作直线垂直于，与相交于点，、、、分别与轴交于点、、、.记、、、的面积分别为、、、.若，求直线的方程.
试卷第1页，共3页福建省部分地市校 2024 届高中毕业班第一次质量检测
数学试题参考答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个
选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．ABC 10．BCD 11．BD 12．AC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
4 3 5
13．-8 14． 15． , 16．3 3 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
2 2 2
（1）由余弦定理知 c a b 2abcos ，······1分
3
a b 2 1
方法 1： c2 a2 b2 ab a b 2 3ab a b 2 3 ·······3分
2 4
1 1
所以 c ，当 a b 时取等，此时 ABC为正三角形.·········4分
2 2
故 c 1的最小值为 2 .·······5分
方法 2： c2 a2 b2 ab a2 1 a 2 a 1 a
2
3a2 3a 1 3 a 1 1 1 2
4 4
c 1 a 1所以 ，当 时取等.
2 2
c 1故 的最小值为 2 .
2
（2）方法 1：因为 A B C .·····1分
3
2A
2
所以原式 cos A cos
2
A
cos 3 ·····3分
3 2
1 3
cos A cos A sin A cos
A ·····4分
2 2 3
1 3
cos A sin A 1 cos A 3 sin A 0·····5分
2 2 2 2
高三数学试题答案 第 1页（共 8页）
{#{QQABLQ6EggAgQAAAABgCUwXyCAAQkBAAAAoGhAAEIAAAABFABCA=}#}
2
方法 2：因为 A B C ，
3
A B A B A B A B A B
原式 cos
cos cos
2 2 2 2 2
cos A B cos A B sin A B sin A B cos A B cos A B sin A B sin A B cos A B
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2cos A B cos A B cos A B
2 2 2
2cos cos A B cos A B
3 2 2
cos A B cos A B 0
2 2
综上所述： cos A cos B cos
A B
0 .
2
18．（12分）
（1）因为四边形 ABCD为正方形，
所以 AB AD ，
因为平面 ABCD 平面 ADEF ，平面 ABCD 平面 ADEF AD， AB AD ，
所以 AB 平面 ADEF ，·····1分
又因为 AF 平面 ADEF ，
所以 AB AF ，
连接 AC，则 AC 2 2，·····2分
在△ACF中， AF 2 AC2 22 (2 2)2 (2 3)2 CF 2，
所以 AF AC，
因为 AF AC， AB AF ， AB, AC 平面 ABCD，且 AB AC A，
从而 AF 平面 ABCD，
又 AD 平面 ABCD，·····3分
所以 AF AD，
因为 AB AD ， AF AD， AB, AF 平面 BAF，且 AB AF A，
所以 AD 平面 BAF，·····4分
又 AN 平面 BAF，
所以 AD AN，
又因为 AD∥ BC ，所以BC AN，
又 N是 BF中点， AF AB，所以 AN BF，·····5分
高三数学试题答案 第 2页（共 8页）
{#{QQABLQ6EggAgQAAAABgCUwXyCAAQkBAAAAoGhAAEIAAAABFABCA=}#}
因为 AN BF，BC AN， BF ,BC 平面 BCEF，且 BF BC B，
所以 AN 平面 BCEF，
又因为CM 平面 BCEF，
所以 AN CM ．·····6分
（2）由（1）知， AF 平面 ABCD，且 AB AD ，
以A为坐标原点，分别以 AB、AD、AF所在的直线为 x、 y、 z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，·····1分
则 A 0,0,0 、B 2,0,0 、D 0,2,0 、 E 0,1,2 ，
则 BE ( 2,1,2)， AB (2,0,0)， AE (0,1, 2)，
EF ME 1 2 4 2 4
由 BCM EFM 得， BC BM 2，所以
BM BE ( , , )，····3分
3 3 3 3
2 2 4 2 4 4
所以M , , ，MD , , ，····4分
3 3 3 3 3 3
n AB 0 2x 0
设面 ABE的法向量为 n x, y, z ，由 得， y 2
n AE 0 y 2z 0
，取 ，则
n 0, 2, 1 ，····5分
设直线MD和平面 ABE所成角为 ，
高三数学试题答案 第 3页（共 8页）
{#{QQABLQ6EggAgQAAAABgCUwXyCAAQkBAAAAoGhAAEIAAAABFABCA=}#}
8 4
sin cos MD, n 3 3 2 5则 ，····6分
1 4 4 16 16
5
9 9 9
所以直线MD和平面 ABE 2 5所成角的正弦值为 ．
5
19．（12分）
（1）当 n 1时， 2a1 S1 2a1 a1 2 ，所以 a1 2，····1分
n 2时， 2an Sn 2①，
2an 1 Sn 1 2②，····3分
①-②得 2an 2an 1 Sn Sn 1 0，
即 2an 2an 1 an 0，an 2an 1，····4分
所以 an 是以首项为 2，公比为 2的等比数列，所以 an 2n，····5分
所以bn log2 2an log2 2 2n log 2n 12 n 1；····6分
T b2 1
b
2 b n T 2 3 n 1（ ） n ，即 n a a a ③，····1分1 2 n 21 22 2n
2T 2 3 n 1n 1 1 2 2n 1
④，····3分
1 n 11 1
1
④-③，得Tn 2 1
1 n 1
2 2 n 1 n 2 n 12 2 2 1 2n1
2
n 1
3 1 n 1 3 n 3
2 2n 2n
，····5分
1 n n 3
因为 0， 0，所以T2n n
3 .····6分
2
20．（12分）
b ax b
（1） f x a ， x 0， a 0，
x x
当b 0时， f (x) > 0， f x 在区间 0, 上单调递增；
b
当b 0，且 x 0, 时， f x 0， f x 单调递减；
a
高三数学试题答案 第 4页（共 8页）
{#{QQABLQ6EggAgQAAAABgCUwXyCAAQkBAAAAoGhAAEIAAAABFABCA=}#}
当 x
b
,
时， f (x) > 0， f x 单调递增.
a
综上，当b 0时， f x 在区间 0, 上单调递增；
b b
当b 0时， f x 在区间 0, 上单调递减，在区间 , 上单调递增.
a a
（2）当 a b 1时， g x xf x x 2 x lnx x ， x 0，
故 g x 2x ln x 2 .
令 h x 2x ln x 2 2x 1， x 0，所以 h x ，
x
当 x
0,
1
时， h x 0， h x 单调递减；
2
当 x
1
,
时， h x 0， h x 单调递增.
2
又 h 1 0， h 1 1 2 ln 2 1 0 h
， 0，
2 e2 e2
x 1 1 故 0 , ，使得 h x 0 .
e2 2 0
当 x 0, x0 时， h x 0， g x 0， g x 单调递增；
当 x x0 ,1 时， h x 0， g x 0， g x 单调递减；
当 x 1, 时， h x 0， g x 0， g x 单调递增，
故 g x 存在极小值点，且极小值点为 x 1 .
21．（12分）
30 40 50 60 70
（1） x 50，
5
5
y 435 87，又 xi (i 1,2,3, ,5)
1 x x 2的方差为 i 200，5 5 i 1
5 5
xi x yi y xi yi 5x y
b i 1 i 1 22820 5 50 87所以 5 1.07，
x x 2 5 200 1000i
i 1
a y b x 87 1.07 50 33.5，故 y 1.07x 33.5，当 x 100时， y 140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间达到 100分钟时的数学成绩为 140.5分．
（2）零假设为H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算得到：
高三数学试题答案 第 5页（共 8页）
{#{QQABLQ6EggAgQAAAABgCUwXyCAAQkBAAAAoGhAAEIAAAABFABCA=}#}
2 n ad bc
2 220 25 130 35 2 30
110 12.22，
a b c d a c b d 165 55 60 160 9
因为12.22 10.828，
所以依据 0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关
22.（12分）
9 2 pt
M t, 3 9 p（1）设 ，由题意可得 p ，即 5，
t 5 2 p 2 2
解得 p 1或 p 9（舍去），所以抛物线C的方程为 y2 2x .
（2）如图，
设经过 A x1, y1 ， B x2 , y2 两点的直线方程为 lAB： x my 1（m R），
与抛物线方程 y2 2x联立可得 y2 2my 2，
即 y2 2my 2 0， 4m2 8 0
∴ y1 y2 2m， y1y2 2 .
∵ y2 2x，则 y 2x，
y ' 1 1∴
2x y
，
1 1 y1
∴过点A作C的切线 l1方程为 y x x1 y1 x y ，1 y1 2
y2 y2
令 y 0，得 x 1 ，即 P 1 ,02 .2
1 y
同理，过点 B作C的切线 l2方程为 y x
2
y ，2 2
2 y 2
令 y 0，得 x y 2 ，即Q 2 ,0 .
2 2
高三数学试题答案 第 6页（共 8页）
{#{QQABLQ6EggAgQAAAABgCUwXyCAAQkBAAAAoGhAAEIAAAABFABCA=}#}
y2 2
∴ PQ 2
y
1 .
2 2
y 1 x y 1 x
y y
1 2y 2 1 1 2
联立两直线方程 ，解得 ，即D 1,m ，
y 1 x y 2 y y1 y 2 m
y2 2 2
1 m m 1 m2 2
则D到直线 lAB的距离 dD AB .
m2 1 m2 1
又∵过点A作直线 l3垂直于 l1，
3
直线 l 的方程为 y y y x x y y y x 13 1 1 1 1 1 y2 1
，
2 y2
令 y 0
y
，得 x 1 1，即 R 1 1,02
.
2
l y y x y
3
同理，直线 24的方程为 2 y ，2 2
y 2 y 2
令 y 0，得 x 2 1，即 S 2 1,02
.
2
y 2RS y
2
∴ 2 1 .
2 2
y 31 y
2 2
y y 1 y2 y1y2
1
x y1 x 12 2
联立两直线方程 3 ，解得 ，
y2 y yy y x y y 1 2 y1 y2 2 2 2 2
x 2m2 2 2
整理后可得 ，即 E 2m 2, 2m ，
y 2m
2m2 2 m 2m 1
E 1则 到直线 lAB的距离 dE AB .
m2 1 m2 1
1 1 y 2 y 2 2
由上可得 S PQ y 2 1
1 m 2
1 2 D
m， S AB d AB ，
2 2 2 2 2 d AB 2 m2 1
S 1 AB d 1
2 2
AB S 1， RS y
1 y
2
y1
3 2 E AB
2 m，
2 m2 4 E 1 2 2 2 2
高三数学试题答案 第 7页（共 8页）
{#{QQABLQ6EggAgQAAAABgCUwXyCAAQkBAAAAoGhAAEIAAAABFABCA=}#}
1 y 2 y 22 1 m m
2 2 AB
S S 2 2 2 2 m21 2 1 m
2 2
∴ 42 2 ，得S S 2 m 6
，
3 4 1 AB 1 y2 y1 2m
2 m2 1 2 2 2
∴直线 AB的方程为 x 6y 1即 x 6y 1 0 .
高三数学试题答案 第 8页（共 8页）
{#{QQABLQ6EggAgQAAAABgCUwXyCAAQkBAAAAoGhAAEIAAAABFABCA=}#}
