2.5直线与圆、圆与圆的关系 练习
一、单选题
1．直线与曲线交于两点，且这两个点关于直线对称，则
A．5 B．4 C．3 D．2
2．在平面直角坐标系中，已知点在圆：内，动直线过点且交圆于、两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆，圆，在圆上，在圆上，则下列说法错误的是（ ）
A．的取值范围是
B．直线是圆在P点处的切线
C．直线与圆相交
D．直线与圆相切
4．已知，直线与的交点在圆上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在同一直角坐标系中，直线与圆的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知M是圆上的动点，以点M为圆心，为半径作圆M，设圆M与圆C交于A，B两点，则下列点中，直线一定不经过（ ）
A． B． C． D．
8．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
二、多选题
9．已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
10．已知圆：，圆：，且与交于P，Q两点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆关于直线对称
B．线段所在直线的方程为
C．圆与圆的公切线方程为或
D．若A，B分别是与上的动点，则的最大值为11
11．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为
B．圆被轴截得的弦长为8
C．圆的半径为5
D．圆被轴截得的弦长为6
12．若两圆和相切，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．若圆：与圆：相交于、两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长是 ．
14．若直线与圆相离，则实数的取值范围是 ．
15．已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
16．圆与轴相交于两点，则弦所对的圆心角的大小为 ．
四、解答题
17．已知圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为.
(1)当切线的长度为时，求点的坐标.
(2)若的外接圆为圆，试问：当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
18．已知圆，圆.
(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
(2)若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
19．已知平面上两点点为平面上的动点，且点满足
(1)求动点的轨迹的轨迹方程
(2)轨迹与圆相交于两点，求
20．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：与圆交于，两点，求弦的最短长度.
21．在柯桥古镇的开发中，为保护古桥OA，规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥，使新桥BC与河岸AB垂直，并设立一个以线段OA上一点M为圆心，与直线BC相切的圆形保护区（如图所示），且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m，经测量，点A位于点O正南方向25m，，建立如图所示直角坐标系．
(1)求新桥BC的长度；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最小？
22．（1）已知实数z、y满足方程，求的最小值；
（2）若实数x、y满足方程，求代数式的取值范围.
参考答案：
1．D
【详解】分析：圆上两点关于直线对称，所以圆心在直线上，同时易知两直线是垂直的，可得斜率，从而得解.
详解：由题意直线经过圆心.所以，解得.
直线上两点关于直线对称，所以两直线垂直，即.
所以.
故选D.
点睛：本题考查了直线与圆的位置关系和直线与直线的位置关系，圆上弦的中垂线一定过圆心，两直线垂直则斜率乘积为0.
2．A
【解析】圆心，半径，由三角形面积公式得三角形面积最大为20时，从而可得，到直线的距离为，则不小于这个距离，当然小于半径，由此可得的范围．
【详解】由圆的方程知，圆心，半径，∴，
∴当时，取得最大值，此时为等腰直角三角形，，
则点到的距离为，∴，
即，解得或，
故选：A.
【点睛】易错点睛：是圆内一点，过的直线与圆相交于点，则面积的最大值，如果的最大值为锐角，则的最大时面积最大，若的最大值不小于直角，则为直角时，面积最大．
3．C
【分析】对于A：由圆，的圆心均为，直接求出；
对于B：直接求出切线方程符合；
对于C：求出点到的距离，可判断出直线与圆相离；
对于D：求出点到的距离即可判断．
【详解】对于A：因为圆，的圆心均为，半径分别为1，3，所以，故A正确；
对于B：若．则直线的斜率为，则过点P的切线斜率为，故过点P的切线方程为，化简得，易验证当时，或时，切线方程符合，故B正确；
对于C：点到的距离为，则直线与圆相离，故C错误；
对于D：点到的距离为，所以直线与相切，故D正确．
故选：C．
4．D
【分析】根据直线过定点以及垂直关系确定点在以为直径的圆上，进而根据两圆的位置关系即可求解.
【详解】由直线，的方程知直线过定点，直线过定点，
又，所以，即，所以点在以为直径的圆上，
的中点,,
故在圆上，又在圆上，所以圆与圆有交点，
即，又，所以，即的取值范围是．
故选:D．
5．B
【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.
【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，
显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，
其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：
，两圆外离，由圆的几何性质得：，，
所以的取值范围是：.
故选：B
【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.
6．C
【分析】根据直线的纵截距范围和直线与圆的位置关系即可．
【详解】圆的可知，
直线与x轴的交点为圆的圆心，即直线过圆的圆心，
圆的半径半径为，圆和y轴相切，
直线在轴上的截距为，
结合以上几何关系，排除ABD.
故选：C．
7．B
【分析】设，圆M的方程为，又圆，两式相减得直线的方程，设直线上的点为，则，又，以为主元，由题意二者有公共点，从而求得，然后逐项验证即可.
【详解】设，则，
所以，圆M的方程为，又圆，
两式相减，得，即为直线的方程，
设直线上的点为，则，整理得，
又M是圆上的动点，则，
以为主元，则表示直线，表示以为圆心，2为半径的圆，
由题意，二者有公共点，则到直线的距离，
即，得，
对于A，，
对于B，，
对于C，，
对于D，，
则各选项的点中，直线一定不经过.
故选：B.
8．A
【分析】判断出直线的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系.
【详解】已知直线过定点，
将点代入圆的方程可得，
可知点在圆内，
所以直线与圆相交.
故选：A.
9．BC
【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.
【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故选：BC.
10．AD
【分析】利用等圆的性质可判定A，根据两圆公共弦方程公式可判定B，利用直线与圆的位置关系计算可判定C，利用两圆的位置关系计算可判定D.
【详解】对于A，两圆的半径均为3，则为线段的垂直平分线，故圆与圆关于直线PQ对称，A正确；
对于B，因为圆与圆相交，所以两个方程相减可得直线的方程为，B错误；
对于C，因为圆与圆相交，所以有两条公切线，
又两圆的半径相等，所以公切线与平行，即公切线的斜率，
设公切线方程为，即，所以，解得，
所以与的公切线方程为或，C错误；
对于D，的最大值为，D正确.
故选：AD
11．ABCD
【分析】将一般式转化为圆方程的标准式即可求解圆心和半径，进而可判断AC，令和，即可求解弦长，判断BD.
【详解】由圆的一般方程为，则圆，
故圆心为，半径为，则AC正确；
令，得或，弦长为6，故D正确；
令，得或，弦长为8，故B正确.
故选：ABCD.
12．ABCD
【分析】先求解两个圆的圆心和半径，分两圆外切和内切两种情况讨论，即得解
【详解】根据题意，圆的圆心坐标为，半径长为2，
圆的圆心坐标为，半径长为5，
若两圆相切，分两种情况讨论：
当两圆外切时，有，解得；
当两圆内切时，有，解得.
综上所述，实数a的值为或.
故选：ABCD
13．/
【分析】画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解.
【详解】如图，
由两圆在点处的切线互相垂直可知，两条切线分别过两圆的圆心，
由相交圆公共弦的性质可知，
由切线性质可知，在中，，
所以，
又斜边上的高为，
由等面积法可知，，
即，解得.
故答案为：
14．
【分析】根据直线与圆相离可知圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】由题意可知，
又因为直线与圆相离，故，
即，解得，
故答案为：.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
15．：
【详解】试题分析：由题意知，点A在圆上，切线斜率为，
用点斜式可直接求出切线方程为：y-2=（x-1），
即x+2y-5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，
所以，所求面积为
考点：圆的切线方程
16．
【详解】试题分析：由题可知，根据圆的标准方程，令，解得，因此,,在中，,,,因此为直角三角形，即,故弦所对的圆心角的大小为；
考点：圆的标准方程
17．(1)或；(2)过定点，定点和.
【分析】(1)由切线的性质可得，列方程求P的坐标；(2)由条件求出圆N的方程，根据恒等式的性质确定圆所过定点.
【详解】(1)由题可知圆的圆心为，半径.
设，因为是圆的一条切线，所以.
在中，，故.
又，
所以，解得或.
所以点的坐标为或.
(2)因为，所以的外接圆圆是以为直径的圆，且的中点坐标为，所以圆的方程为，
即.
由，解得或，
所以圆过定点和.
18．(1)圆C与圆M相交，理由见解析
(2)或
【分析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；
（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.
【详解】（1）把圆M的方程化成标准方程，得，
圆心为，半径.
圆C的圆心为，半径，
因为，
所以圆C与圆M相交，
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设其方程为，
由题意得，解得，
故直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）设，由距离公式化简整理可得；
（2）求出公共弦直线方程，利用几何关系即可求出弦长.
(1)
设，由有，
化简得即为P点轨迹T的方程 .
(2)
两圆方程相减可得圆T与圆C公共弦AB所在直线方程为，
T到AB距离，
故.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，设出圆的方程，再结合两点之间的距离公式，以及直线垂直的性质，即可求解．
（2）先求出直线的定点，再判断定点在圆内，再结合垂径定理，以及两点之间的距离公式，即可求解．
【详解】（1）依题意，圆心在轴上，
可设圆的方程为，
圆与直线相切于点，
，解得，，
故圆的方程为．
（2）直线：，
，令，解得，
直线过定点，
又圆的方程为．
所以圆心，半径，
，故定点在圆的内部，
当直线与直线垂直时，弦取得最小值，
，，
，
弦的最短长度为．
21．(1)80m；
(2).
【分析】（1）根据斜率的公式，结合解方程组法和两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质进行求解即可.
【详解】（1）由题意，可知，，∵∴
直线BC方程：①，
同理可得：直线AB方程：②
由①②可知，∴，从而得
故新桥BC得长度为80m．
（2）设，则，圆心，
∵直线BC与圆M相切，∴半径，
又因为，
∵∴，所以当时，圆M的面积达到最小．
22．（1）0；（2）.
【分析】（1）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可；（2）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可.
【详解】解：（1）设，则y-1=kx-2k，y=kx-2k+1.
设，，则
，故，，解得.
则的最小值是0.
（2）设，则，①
∵方程可化为，
故可将①式写成，
构造向量，，
则，，.
由，得，解得，
故所求的取值范围是.
