2023-2024学年八年级上学期第三次月考卷02
八年级数学
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第十一章-----第十四章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1．（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期中）第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·天津滨海新·八年级天津经济技术开发区第一中学校考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·福建龙岩·八年级统考期中）盒中有的小棒各一根，取出和的小棒后，至少再取（ ）的小棒才能围成一个三角形．
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2020上·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在中，，，在上取一点G，使，过点G作，连接，使，若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．垂直平分 C． D．
4题 5题 6题 8题
5．（2022上·河南新乡·八年级校考期中）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则阴影部分的面积为（ ）
A．52 B．6 C．7 D．8
6．（2023上·全国·八年级专题练习）如图所示，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·福建漳州·八年级统考期中）若，且，，那么a，b必须满足的条件是（ ）
A．a，b都是正数 B．a，b异号，且正数的绝对值较大
C．a，b都是负数 D．a，b异号，且负数的绝对值较大
8．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）若，，在下列判断结果正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
10．（2023上·浙江宁波·八年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．3
第Ⅱ卷
二、填空题 (本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023上·天津武清·八年级统考期中）如图，已知，则等于 度．
12．（2023上·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为10，面积为5，则的值为 ．
13．（2022上·湖北黄冈·八年级校联考期中）如图，点是内一点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连结交、于点和点，连结、若，则的大小为 度．
14．（2023上·安徽淮北·八年级校联考期中）如图，中，点，交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B，则的值为 ．
15．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期中）小杨为一个长方形娱乐场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．这个娱乐场所的长与宽之间满足，而小杨设计的长方形游泳区的长和宽分别为和，其中，，请用的代数式表示绿地的面积为 ．
16．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，，在的两边上顺次取点，使…，若最多只能取到点F，则n的取值范围是 ．
三、解答题 (本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分,第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023下·湖南·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．
18．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：．
19．（山西省吕梁市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图，在中，，平分并交于点D.
(1)实践与操作：作直线，垂足为（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的面积.
20．（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是和，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
(1)从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
21．（2023上·北京海淀·八年级人大附中校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．
(1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______．
(2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
22．（2022上·广西南宁·八年级校考期中）利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．
例如：．
(1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系．
．
所以______0（项“”、“”、“”）
(2)将变形为的形式，并求出的最小值；
(3)如图①所示的长方形边长分别是，面积为，如图②所示的长方形边长分别是面积为．试比较与的大小，并说明理由．
23．如图，已知中，，，，点为的中点．
(1)如果点在线段上以的速度由点向运动，同时，点在线段上由点向运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
(2)若点以（1）②中的运动速度从点出发，点以的运动速度从同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过_______秒后，点与点第一次在的_______上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
24．（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为__________；
（2）已知，且的值与x的取值无关，求n的值．
【能力提升】
（3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当AB的长变化时，的值始终保持不变，请直接写出的值．
25．（2023上·重庆开州·八年级校联考期中）（1）如图1，，平分，，，若，求的长；
（2）如图2，，平分，，将图1中的绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B，写出线段，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）如图3，为等边三角形，，P为边的中点，，将绕点P转动使射线交直线于点M，射线交直线于点N，当时，求的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年上学期第三次月考卷02
八年级数学
一、单选题
1．第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，熟练掌握定义是解题的关键，根据定义逐项判断即可．
【详解】、此选项不是轴对称图形，不符合题意；
、此选项不是轴对称图形，不符合题意；
、此选项不是轴对称图形，不符合题意；
、此选项是轴对称图形，符合题意；
故选：．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，利用运算法则逐一计算即可判断．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
3．盒中有的小棒各一根，取出和的小棒后，至少再取（ ）的小棒才能围成一个三角形．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系，设三角形第三边为，由三边关系求出第三边范围即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键．
【详解】解：取出和的小棒后，作为三角形的其中两边，
设三角形第三边为，则，即，
四个选项中，5、6、7均符合构成三角形要求，其中最小的是边长为，
故选：B．
4．如图，在中，，，在上取一点G，使，过点G作，连接，使，若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．垂直平分 C． D．
【答案】B
【分析】根据垂直的定义即平行线的判定及性质即可判断A选项；利用证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差即可判断B选项和C选项；根据全等三角形的性质及平行线的性质得出，，，再根据同角的余角相等及等量代换即可判断D选项．
【详解】解：，
，选项A说法正确，不符合题意；
在和中
，故选项C说法正确，不符合题意；
垂直不平分，故B选项说法错误，符合题意；
上面已证，
，，
，故选项D说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
5．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则阴影部分的面积为（ ）
A．52 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据，列式得，将所列式子变形成含有和的形式，再将已知条件整体代入，即可求出阴影部分的面积．
【详解】
故选：B
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和整体代入法，能熟练的对完全平方公式变形是解题的关键．
6．如图所示，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质及轴对称的性质，由轴对称的性质得出，再由，，即可得到，从而求出答案．
【详解】解：如图所示，
由题意得：，
，，
，
．
故选：A．
7．若，且，，那么a，b必须满足的条件是（ ）
A．a，b都是正数 B．a，b异号，且正数的绝对值较大
C．a，b都是负数 D．a，b异号，且负数的绝对值较大
【答案】B
【分析】先整理，再结合，得，，因为，，则，，即可作答．本题考查了多项式乘多项式、有理数乘法法则“异号得负”，以及有理数加法法则“不同符号的两数相加，取绝对值较大的数的符号”．
【详解】解：整理，
∵，
∴，，，
∵，，
∴，，
故a，b异号，且正数的绝对值较大，
故选：B
8．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确．
【详解】解：，
，
，，
，故①正确；
若，
由①得，
，
，故②正确；
若，则可得，
，
D为中点，故③正确；
根据三角形外角的性质，可得，
故，
当时，
；
当，
，故④不正确，
所以正确的为①②③，为3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
9．若，，在下列判断结果正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，有理数的大小比较，利用完全平方公式求得值是解题的关键．利用完全平方公式求得值，通过比较结果即可得出结论．
【详解】解：
，
，
．
故选：B．
10．如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】C
【分析】在上截取，连接，作，交于，由含的直角三角形可得，可证，可得，易知，易知当点，点，点三点共线，且垂直时，的值最小，即，进而求得答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
在上截取，连接，作，交于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线，且垂直时，的值最小，
即：，
∴的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是最短路径问题，全等三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，掌握最短路径的确定方法是解题的关键．
二、填空题
11．如图，已知，则等于 度．
【答案】
【分析】连接．由四边形的内角和定理可推得，然后证明，则可证．
【详解】解：连接．设与相交于点O．
由四边形的内角和可得：，
∵，
∴．
在与中，
，
∴
，
即
即．
故答案为：．
12．一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为10，面积为5，则的值为 ．
【答案】125
【分析】根据长方形的周长公式和面积公式，得到，将多项式进行因式分解后，整体代入计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：125．
【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．解题的关键是将多项式进行因式分解，利用整体思想进行求解．
13．如图，点是内一点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连结交、于点和点，连结、若，则的大小为 度．
【答案】/40度
【分析】由，可得结论．
【详解】解：连接，
点关于的对称点为，点关于的对称点为，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质，找准各角之间的关系是解题关键．
14．如图，中，点，交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B，则的值为 ．
【答案】6
【分析】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质等知识，可以过点C分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则，，证明，得到，，从而得解．
【详解】过点C分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
故答案为：6．
15．小杨为一个长方形娱乐场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．这个娱乐场所的长与宽之间满足，而小杨设计的长方形游泳区的长和宽分别为和，其中，，请用的代数式表示绿地的面积为 ．
【答案】
【分析】首先结合题意得出，，然后根据矩形面积公式、半圆面积公式表示出绿地的面积，并将、、代入计算即可．
【详解】解：根据题意，，，，
∴，，
∴绿地的面积为
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
16．如图，，在的两边上顺次取点，使…，若最多只能取到点F，则n的取值范围是 ．
【答案】
【详解】根据题意作出符合条件的图形如下：
∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，，
∵存在点，
∴，
解得：，
∵最多只能取到点F，
∴，
解得：，
∴n的取值范围是：．
故答案是：．
【点睛】本题考查利用等边对等角求角度，根据题意列出不等式求解是解题的关键．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式，
当时，原式．
【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)(2)详见解析
【分析】（1）本题主要考查三角形的外角性质、角平分线的定义；先求解，结合角平分线可得，再利用三角形的外角的性质可得答案；
（2）本题主要考查三角形的外角性质、角平分线的定义；先证明，再结合三角形的外角的性质可得，，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
（2）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴．
19．如图，在中，，平分并交于点D.
(1)实践与操作：作直线，垂足为（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的面积.
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的作法；
（1）根据题意过点作的垂线，垂足为；
（2）由角平分线的性质可得，再结合三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求.
（2）∵平分，，，
∴，
∴的面积为．
20．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是和，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
(1)从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【答案】(1)；；
(2)；和不能为负数，理由见解析．
【分析】本题考查了实数的运算以及合并同类项，涉及完全平方公式的运用：
（1）依题意，从初始状态按2次后，A区显示结果为：，B区显示结果为：，即可作答；
（2）可得从初始状态按4次后，A区显示结果为：，B区显示结果为：，再化简，两区代数式的和，结合平方的非负性，得，掌握是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，从初始状态按2次后，
所以A区显示结果为： ，
则B区显示结果为：；
（2）解：依题意，从初始状态按4次后，
所以A区显示结果为： ，
则B区显示结果为：，
∴
∵不管为任意实数，都有，
∴，两区代数式的和不能为负数．
21．小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．
(1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______．
(2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．
(2)成立，证明见解析．
【分析】（1）根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，由此即可得出结论；
（2）成立，过点A作，，构造全等三角形即可证明，从而得出结论成立．
【详解】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上
故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．
（2）结论：平分仍然成立；
证明：如解图3，过点A作，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴
∴，
又∵，，
∴平分，
故（1）结论正确．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质及判定、角平分线判定定理是解题的关键．
22．利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．
例如：．
(1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系．
．
所以______0（项“”、“”、“”）
(2)将变形为的形式，并求出的最小值；
(3)如图①所示的长方形边长分别是，面积为，如图②所示的长方形边长分别是面积为．试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)1；2；
(2)，最小值为
(3)，理由见解析
【分析】（1）仿照题意利用完全平方公式进行求解即可；
（2）同（1）的方法进行求解即可；
（3）先根据长方形面积公式分别表示出与，再利用作差法求出，据此可得结论．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
故答案为：1；2；；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴当时，的最小值为
（3）解：，理由如下：
由题意得，
，
∴
，
∵，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意利用完全平方公式把对应的式子化为的形式是解题的关键．
23．如图，已知中，，，，点为的中点．
(1)如果点在线段上以的速度由点向运动，同时，点在线段上由点向运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
(2)若点以（1）②中的运动速度从点出发，点以的运动速度从同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过_______秒后，点与点第一次在的_______上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
【答案】(1)①，理由见解析；②；
(2)24；．
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中、和、边的长，根据判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个腰长，据此列出方程求解即可．
【详解】（1）解：①，理由如下：
秒，
，
，点为的中点，
．
又，，
，
．
又，
；
②，
，
∴当与全等时，只存在
∴，，
点，点运动的时间秒，
；
（2）解：设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得，
解得，
点共运动了，
∵，
点、点在边上相遇，
经过24秒点与点第一次在边上相遇．
故答案为：．．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要是运用了路程速度时间的公式，熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路
24．【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为__________；
（2）已知，且的值与x的取值无关，求n的值．
【能力提升】
（3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当AB的长变化时，的值始终保持不变，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出；
（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案；
（3）设，由图可知，，即可得到关于的代数式，根据取值与可得，据此求解即可．
【详解】解：（1）
，
∵其值与的取值无关，
，
解得，，
故答案为：；
（2）∵，
∴
，
的值与无关，
∴，即；
（3）设，由图可知，，
，
当的长变化时，的值始终保持不变．
取值与无关，
∴．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键．
25．（1）如图1，，平分，，，若，求的长；
（2）如图2，，平分，，将图1中的绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B，写出线段，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）如图3，为等边三角形，，P为边的中点，，将绕点P转动使射线交直线于点M，射线交直线于点N，当时，求的长．
【答案】（1）4；（2），理由见解析；（3）或7
【分析】（1）根据角平分线的定义和直角三角形的性质求得，从而可得，即可求解；
（2）过点C分别作、的垂线，垂足分别为点E、F，证明，即可求解；
（3）连接，在取点G，使，连接，证明，可得，则，再求得即可求解；当点M在射线上时，同理可证，可得，即可求解．
【详解】解：（1）∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）结论：，理由如下；
过点C分别作、的垂线，垂足分别为点E、F，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，在取点G，使，连接，
∵是等边三角形，P为边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
过点P作于点H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当点M在射线上时，在取点G，使，连接，过点P作于点H，
∵是等边三角形，P为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或7．
【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，根据角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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