2023年中考数学真题分项精练(四)
几何图形初步及相交线、平行线、三角形
类型1 几何图形初步及相交线、平行线
1.(2023北京中考)如图,∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=126°,则∠BOC的大小为( )
A.36° B.44° C.54° D.63°
2.【跨学科·物理】(2023山西中考)如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,点F为焦点.若∠1=155°,∠2=30°,则∠3的度数为( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
3.(2023山东烟台中考)一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1
=102°,则∠2的度数为 .
4.(2023内蒙古通辽中考)将一副三角尺按如图所示的方式放置,其中AB∥DE,则∠CDF= 度.
类型2 三角形及其性质
5.(2023浙江金华中考)在下列长度的四条线段中,能与长6 cm,8 cm的两条线段围成一个三角形的是( )
A.1 cm B.2 cm C.13 cm D.14 cm
6.(2023浙江金华中考)如图,把两根钢条OA,OB的一个端点连在一起,点C,D分别是OA,OB的中点,若CD=4 cm,则该工件内槽宽AB为 cm.
7.(2023吉林中考)如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理是 .
8.【数学文化】(2023湖南株洲中考)《周礼·考工记》中记载有:
“……半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)……”意思是:“……直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘……”即1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).问题:图1为中国古代一种强弩图,图2为这种强弩图的部分组件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C= 度.
图1 图2
类型3 等腰三角形与直角三角形
9.(2023贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是( )
A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m
10.(2023湖南株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A、B对应的刻度为1、7,则CD=( )
A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm
11.(2023山东菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+|=0,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
12.(2023湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是( )
A.
类型4 全等三角形
13.(2023吉林长春中考)如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点,只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
14.(2023黑龙江牡丹江中考)如图,AB∥CD,AD与BC交于点O,请添加一个条件: ,使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)
15.【一线三等角模型】(2023重庆中考A卷)如图,在Rt△ABC中,
∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 .
16.(2023辽宁营口中考)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
类型5 相似三角形
17.(2023四川南充中考)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为( )
A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m
18.(2023浙江嘉兴、舟山中考)如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是( )
A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4)
19.(2023山东威海中考)如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠:使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为( )
A.-1 C.+1
20.(2023北京中考)如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD.若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为 .
21.(2023四川达州中考)如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为 cm.(结果保留根号)
22.(2023浙江丽水中考)小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后,发现学习内容是一个逐步特殊化的过程,请在横线上填写适当的数值,感受这种特殊化的学习过程.
23.(2023广东中考)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为 .
24.(2023黑龙江龙东地区中考)如图①,△ABC和△ADE是等边三角形,连接DC,点F,G,H分别是DE,DC和BC的中点,连接FG,FH.易证:FH
=FG.
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,如图②;若△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,如图③.其他条件不变,判断FH和FG之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.
图① 图② 图③
类型6 锐角三角函数及其应用
25.(2023山东日照中考)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一,主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度,如图所示,在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD
=60°,BC=15.3 m,则灯塔的高度AD大约是(结果精确到1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73)( )
A.31 m B.36 m C.42 m D.53 m
26.(2023黑龙江牡丹江中考)如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上:顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm,若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 cm.
27.(2023湖北荆州中考)如图,无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°,底部C的俯角为60°,无人机与旗杆的水平距离AD为
6 m,则该校的旗杆高约为 m.(≈1.73,结果精确到0.1)
28.(2023山东威海中考)如图,某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照,计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳篷.已知苗圃的(南北)宽AB=6.5米,该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是∠DAE=76.5°,最小夹角是
∠DBE=29.5°.求遮阳篷的宽CD和到地面的距离CB.
参考数据:sin 29.5°≈,cos 29.5°≈,tan 29.5°≈,sin 76.5°≈,
cos 76.5°≈,tan 76.5°≈.
29.(2023辽宁营口中考)为了丰富学生的文化生活,学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习,学生从学校出发,走到C处时,发现A位于C的北偏西25°方向上,B位于C的北偏西55°方向上,老师将学生分成甲、乙两组,甲组前往A地,乙组前往B地,已知B在A的南偏西20°方向上,且相距1 000米,请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程.(参考数据:≈1.41,≈2.45)
答案全解全析
1.C ∵∠AOC=90°,∠AOD=126°,∴∠COD=∠AOD-∠AOC=36°,
∵∠BOD=90°,∴∠BOC=∠BOD-∠COD=90°-36°=54°.故选C.
2.C 如图,∵AB∥OF,∴∠1+∠OFB=180°,∵∠1=155°,∴∠OFB=25°,∵∠POF=∠2=30°,∴∠3=∠POF+∠OFB=30°+25°=55°.故选C.
3.78°
解析 如图,由题意得AB∥CD,∴∠2=∠BCD,
∵∠1=102°,∴∠BCD=78°,∴∠2=78°.
4.105
解析 ∵AB∥DE,∴∠BDE=∠B=30°.∴∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE
=180°-45°-30°=105°.
5.C 设第三条线段长为x cm,由题意得8-6
解析 ∵点C,D分别是OA,OB的中点,
∴CD是△AOB的中位线,∴AB=2CD,
∵CD=4 cm,∴AB=2CD=8 cm,故答案为8.
7.三角形具有稳定性
8.22.5
解析 ∵1宣=矩,1欘=1宣,1矩=90°,∠A=1矩,∠B=1欘,∴∠A=90°,∠B=1×90°=67.5°,∴∠C=180°-90°-∠B=180°-90°-67.5°=22.5°,故答案为22.5.
9.B 如图,作AD⊥BC于点D,
在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30°,
又∵AD⊥BC,∴AD=×12=6(m),故选B.
10.B 由题意可得∠ACB=90°,AB=7-1=6(cm),点D为线段AB的中点,∴CD=AB=3 cm,故选B.
11.D 由题意得∴a2+b2=c2,且a=b,
∴△ABC为等腰直角三角形,故选D.
12.C 在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC==5,∴△ABC的周长=3+4+5=12,
∵BD平分△ABC的周长,
∴AB+AD=BC+CD=6,∴AD=3,CD=2,
过D作DE⊥BC于E,∴AB∥DE,∴△CDE∽△CAB,
∴
,故选C.
13.A ∵点O为AA'、BB'的中点,∴OA=OA',OB=OB',由对顶角相等得∠AOB=∠A'OB',在△AOB和△A'OB'中,∴△AOB≌△A'OB'(SAS),∴AB=A'B',即只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度,故选A.
14.AB=DC(答案不唯一)
解析 ∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C,∴添加一个条件AB=DC,由ASA即可证明△AOB≌△DOC.故答案为AB=DC(答案不唯一).
15.3
解析 ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BEA=∠AFC=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠FAC=90°,∴∠FAC=∠ABE,
在△ABE和△CAF中,∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴AF=BE,AE=CF,
∵BE=4,CF=1,∴AF=BE=4,AE=CF=1,
∴EF=AF-AE=4-1=3,故答案为3.
16.解析 (1)证明:在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(AAS).
(2)由(1)知△ACE≌△BDF,∴BD=AC=2,
∵AB=8,∴CD=AB-AC-BD=4.
17.B 如图,∵AB⊥BD,DE⊥BD,∴∠ABC=∠EDC=90°,又∵∠ACB=∠DCE,∴△ABC∽△EDC,∴,即,∴DE=8(m),故选B.
18.C ∵△ABC与△A'B'C'位似,△A'B'C'与△ABC的相似比为2∶1,点C的坐标为(3,2),∴点C'的坐标为(3×2,2×2),即(6,4),故选C.
19.C 设HG=x,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADH=90°,AD=BC=1,
由折叠得∠A=∠DHE=90°,AD=DH=1,BC=CG=1,
∴四边形ADHE是正方形,∴AD=HE=1,
∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似,∴
,解得x=-1或x=--1,
经检验,x=-1和x=--1都是原方程的根,
∵GH>0,∴GH=+1,故选C.
20.
解析 ∵AO=2,OF=1,∴AF=AO+OF=2+1=3,
∵AB∥EF∥CD,∴,故答案为.
21.(80-160)
解析 ∵点C是靠近点B的黄金分割点,AB=80 cm,
∴AC=-40)cm,
∵点D是靠近点A的黄金分割点,AB=80 cm,
∴DB=-40)cm,
∴CD=AC+BD-AB=2×(40-160)cm,
∴支撑点C,D之间的距离为(80-160)cm,
故答案为(80-160).
22.2
解析 若,则a=,则=2.故答案为2.
23.15
解析 如图,∵BF∥DE,∴△ABF∽△ADE,∴
,∴BF=2,∴GF=6-2=4,
∵CK∥DE,∴△ACK∽△ADE,∴
,∴CK=5,
∴HK=6-5=1,∴阴影梯形的面积=(HK+GF)·GH=×(1+4)×6=15.
24.解析 选图②,FH=FG,
证明:连接AH,CE,AF,如图②,∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,F,H分别是DE,BC的中点,∴AH⊥BC,AF⊥DE,AH=CH=DE,∠CAH=∠EAF=45°,∴∠HAF=∠EAC,,∴△AHF∽△ACE,∴
FH,∵点F,G分别是DE,DC的中点,∴CE=2FG,∴FH=FG.
选图③,FH=FG,
证明:连接AH,CE,AF,如图③,∵△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,∴∠AED=∠ADE=∠ACB=∠B=30°,∵点F,H分别是DE,BC的中点,∴AH⊥BC,AF⊥DE,∠CAH=∠EAF=×120°
=60°,∴∠HAF=∠EAC,,∴△AHF∽△ACE,∴,∴CE=2FH,∵点F,G分别是DE,DC的中点,∴CE=2FG,∴FH=FG.
图② 图③
25.B 由题意得AD⊥BD,设CD=x m,
∵BC=15.3 m,∴BD=BC+CD=(x+15.3)m,
在Rt△ABD中,∠ABD=45°,∴AD=BD·tan 45°=(x+15.3)m,
在Rt△ACD中,∠ACD=60°,∴AD=CD·tan 60°=x m,
∴x=x+15.3,解得x≈21.0,∴AD=x+15.3≈36(m),
∴灯塔的高度AD大约是36 m,故选B.
26.(2+2)
解析 如图,作BE⊥AO于E,∵∠BOE=45°,∴∠OBE=∠BOE=45°,
∴BE=OE=2 cm,∴OB=2 cm,
∵∠AOB=45°,∠COA=22.5°,∴∠BOC=22.5°,∴∠BOC=∠AOC,
∵BC∥OA,∴∠BCO=∠AOC=∠BOC,
∴BC=OB=2 cm,∴DC=(2+2)cm,
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为(2+2)cm.
故答案为(2+2).
27.13.8
解析 由题意可得tan 30°=,解得BD=2(米),tan 60°=
,解得DC=6(米),∴BC=BD+DC=8≈13.8(米),故该校的旗杆高约为13.8米.故答案为13.8.
28.解析 如图,过点D作DM⊥BE于点M,
在Rt△ADM中,∵tan 76.5°=,
同理BM=,
∵BM-AM=AB=6.5 m,∴=6.5,解得DM≈4.2(m),
∴CB=DM=4.2 m,即遮阳篷到地面的距离CB约为4.2 m.
∵tan 76.5°=,DM=4.2 m,∴AM=≈1(m),
∴CD=BM=AB+AM=6.5+1=7.5(m),即遮阳篷的宽CD约为7.5 m.
29.解析 如图,过点B作BE⊥AC,垂足为E,
由题意得∠ACD=25°,∠BCD=55°,∠FAB=20°,AB=1 000米,CD∥FA,
∴∠CAF=∠ACD=25°,∠ACB=∠BCD-∠ACD=30°,
∴∠BAC=∠FAB+∠CAF=45°,
在Rt△ABE中,AE=AB·cos 45°=1 000×(米),
BE=AB·sin 45°=1 000×(米),
在Rt△BCE中,∠BCE=30°,
∴BC=2BE=1 000(米),CE=(米),
∴AC=AE+CE=(500)米,
∴AC-BC=500-1 000≈520(米),
∴甲组同学比乙组同学大约多走520米的路程.
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