2023-2024学年江苏省南通市海安市十三校九年级（上）阶段性测试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.已知点、点关于原点对称，则的值为( )
A. B. C. D.
3.用配方法解方程，下列配方正确的是
( )
A. B. C. D.
4.在某次聚会上每两个人都握了一次手，所有人共握手次，设有人参加这次聚会，则列出方程正确的是：
( )
A. B. C. D.
5.二次函数图象如图所示，那么下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，等边的边在轴上，点坐标为，以点为旋转中心，把逆时针转，则旋转后点的对应点的坐标是
( )
A. B. C. D.
7.若二次函数的图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.把一个足球垂直于水平地面上踢，该足球距离地面的高度米与所经过的时间秒之间的关系为若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为米，则可能是
( )
A. B. C. D.
9.二次函数的自变量与函数的对应值如下表：
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大
C. 二次函数的最小值是 D. 抛物线的对称轴是直线
10.如图，在矩形中，，点同时从点出发、终点都是点速度都是，点的运动路径是，点的运动路径是设线段与左侧矩形的边围成的阴影部分面积为，则面积与运动时间之间的函数图象为
( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.抛物线的顶点坐标是__________．
12.已知点，在抛物线上，则的值为__．
13.若、是方程的解，则的值是_______．
14.某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格单位：元与之间的函数关系式为______．
15.二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程的两个实数根异号，则的取值范围是_______________．
16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，与轴交于点，则当时，的取值范围是______________
17.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，、分别是、的中点，若，，则线段的长为__．
18.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为二倍点．若二次函数为常数在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是_______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
解下列方程：
；
．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若为非负整数，且该方程的根都是整数，求的值．
21.本小题分
某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场如图所示．
若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
22.本小题分
如图，是正方形中边上任意一点，
以点为中心，把顺时针旋转到，画出旋转后的图形．
作的角平分线交于点，连接，则与、有什么数量关系？说明理由．
连接分别交、于点、，若，，求的长．
23.本小题分
年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售，每日可售出件．从月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价元，日销售量就会增加件．
设定价为元，日销售量为件．试用含的式子表示，__________________；
当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达元？
请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？
24.本小题分
如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．
求此抛物线的解析式；
直线在、之间交抛物线于点，交直线于，用表示线段的长．
若点是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
25.本小题分
二次函数．
求该二次函数图象的对称轴；
若图象过点，且，求的取值范围；
若点在该二次函数图象上，且，求的取值范围．
26.本小题分
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．
例如，点是函数的图象的“等值点”．
判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
求函数的图象的“等值点”坐标；
若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，请直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”逐一进行判断即可．
【详解】既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此项不符合题意；
B.不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此项不符合题；
C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此项不符合题；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此项符合题；
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出、的值即可．
【详解】点、点关于原点对称，
，，
．
故选B．
【点睛】关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
3.【答案】
【解析】【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：
，
，
．
故选A．
【点睛】题目主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
4.【答案】
【解析】【分析】如果有人参加了聚会，则每个人需要握手次，人共需握手次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手次”，据此可列出关于的方程．
【详解】解：设人参加这次聚会，则每个人需握手：次，
根据题意得：．
故选：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，关键是理清题意，找对等量关系，需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
5.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可．
【详解】解：由图可知：抛物线开口向下，
，
故A错误，不符合题意；
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
故C错误，不符合题意；
对称轴为直线，
，
即，
故D正确，符合题意；
，，
，
故B错误，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】如图，过点作于，过点作轴于利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，过点作于，过点作轴于．
，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
≌，
，，
，
故选：．
【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】【分析】先根据二次函数的图象经过，求出对称轴，再根据函数图象判断即可．
【详解】解：二次函数的图象经过，，
二次函数对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
，
，，的大小关系为，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，能够找出对称轴是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】根据题意可知，然后根据一元二次方程根的判别式及二次函数的性质可得的范围，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：，则方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
，
，对称轴为直线，
当时，则，
，
符合题意的只有选项；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意得到相应方程及将实际问题转化为方程问题．
9.【答案】
【解析】【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可．
【 详解】解：将点、、代入到二次函数中，
得：，解得：
二次函数的解析式为．
A. ，抛物线开口向上，不正确；
B. ，当时，随的增大而增大，不正确；
C. ，二次函数的最小值是，不正确；
D. ，抛物线的对称轴是， D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】分三种情形求得线段与左侧矩形的边围成的阴影部分面积为，利用与的关系式可以判断得出正确选项．
【详解】解：当时，点在上，点在上，此时阴影部分为，
由题意：，
．
此时的函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线的一部分；
当时，点在上，点在上，此时阴影部分为直角梯形，如图，
由题意：，
，
此时的函数图象为直线的一部分，是一条线段；
当时，点在上，点在上，此时阴影部分为五边形，如图，
由题意：，
，
此时的函数图象为抛物线的一部分，
综上，面积与运动时间之间的函数图象为：．
故选：．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，一次函数的图象，二次函数的图象，三角形、矩形，梯形的面积．利用分类讨论的思想分情形求得与的关系式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线的顶点式写出顶点坐标即可．
【详解】解：由得到顶点坐标是，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】将点坐标代入即可．
【详解】解：因为点在抛物线的图象上，
所以．
得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入后的正确计算是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则可变形为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：是方程的解，
，
，
，
、是方程的解，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握若，是一元二次方程的两根时，，．
14.【答案】
【解析】【分析】根据题意可得第一次降价后的价格为，第二次降价后价格为，进而可得与之间的关系式．
【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】可得，令，可得一元二次方程的两个实数根异号，就是抛物线与直线交点的横坐标异号，据此结合图象即可求解．
【详解】解：由得
，
令，
一元二次方程的两个实数根异号，
抛物线与直线交点的横坐标异号，
如图，
由图可得：
抛物线与直线交点在轴上方时，
交点的横坐标异号，
解得：；
故答案：．
【点睛】本题考查了二次函数中数形结合能力，利用二次函数图象根据方程根的情况确定参数的取值范围，掌握解法是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】根据题意和图像，函数与轴交于点，其关于对称轴的对称点为，即为图像上两点以下的部分，即可判断出的范围．
【详解】函数图像与轴交点为，对称轴为，
交点关于对称轴的对称点坐标为，
当时，在函数图像上处于、两点以下，如图，
此区间的范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像，关键在于灵活利用函数图像对称的性质和从图像获得变量的范围．
17.【答案】
【解析】【分析】连接，，可求，从而可求，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，，，
，
由旋转得：，
、分别是、 的 中点，
，
是的对应点，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的特征，作出辅助线，掌握性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】由点的纵坐标是横坐标的倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立方程，
当时，抛物线与直线有两个交点，
即，
解得，
此时，直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入得，
把代入得，
解得，
满足题意．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
19.【答案】
【解析】【分析】因式分解法解方程即可；
配方法解方程即可．
【小问详解】
解：，
，
，
解得：；
【 小问详解】
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
20.【答案】
【解析】【分析】由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；据此即可求解；
原方程化为，可得是整数的平方，可求取、、，进行逐一判断即可求解．
【小问详解】
解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故的取值范围：．
【小问详解】
解：原方程可化为，
方程的根都是整数，
是整数的平方，
为非负整数，
取、、，
当时，
，
当取、时，不符合条件，
故的值为．
【点睛】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的取值范围，一元二次方程根的定义，掌握根的判别式是解题的关键．
21.【答案】长为，宽为
想法不能实现
【解析】【分析】设，则可表示出长，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
设，则可表示出长，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符合题意，即可作出判断．
【小问详解】
解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意；当时，，符合题意；
答：鸡场的长和宽分别为与．
【小问详解】
解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【点睛】本题考查了一元二次方程与图形，正确列出方程是解题的关键．
22.【答案】见详解 ，理由见详解
【解析】【分析】按要求作图即可求解；
可证，再证，从而可得，即可求解．
在上截取，连接、，可证，可得，，，由即可求解．
【小问详解】
解：如图，
【小问详解】
解：，理由如下：
如图，
四边形是正方形，
，
由旋转得：，
，，
，
、、三点共线，
，
，
平分，
，
在和中
，
，
．
【小问详解】
解：如图，在 上截取，连接、，
四边形是正方形，
，，
由旋转得：，
在和中
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
23.【答案】
元
每件售价为元时
【解析】【分析】销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解；
每件所获利润日销售量元，据此即可求解；
设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解．
【小问详解】
解：
，
故答案：；
【小问详解】
解：由题意得
，
整理得：，
解得：，，
降价促销，
舍去
，
答：该吉祥物售价为元时，日销售利润达元．
【小问详解】
解：设日销售利润为元，由题意得
，
，
当时，元；
答：每件售价为元时，可使日销售利润最多．
【点睛】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键．
24.【答案】
当点时，有最大值．
【解析】【分析】抛物线经过两点，对称轴为直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为：，即可求解；
用分别表示出点、坐标，进而表示出长；
过点作轴的平行线交于点，由，即可求解．
【小问详解】
抛物线经过两点，对称轴为直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为：，
则抛物线的表达式为：，
又抛物线经过，所以，解得：，
抛物线的表达式为：；
【小问详解】
设直线的解析式为，
，，
直线为，
当时，点，则点，
则，
【小问详解】
过点作轴的平行线交于点，
直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
，有最大值，此时，
点．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，其中在坐标系中利用三角形面积等于水平宽铅直高的一半表示是常用方法．
25.【答案】
时，；时或
【解析】【分析】根据计算即可；
将代入二次函数解析式中得的表达式，从而得到的表达式，根据二次函数的图象得到的取值范围；
二次函数的图象分开口向上和开口向下两种情况，分别计算的取值范围即可．
【小问详解】
解：对称轴为直线；
【小问详解】
解：将代入二次函数解析式中得：
，
，
二次函数的二次项系数不等于，
，
，
；
，且，
当时，，
，
综上所述，；
【小问详解】
当时，即时，二次函数的 图象开口向上，对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
，
；
当时，即时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
，
或
综上所述，时，；时或．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质，体现了分类讨论和数形结合的数学思想，第问进行分类讨论是解题的关键．
26.【答案】不存在，理由见详解
，
或或
【解析】【分析】当时，可得，即可求解；
当时，可得，即可求解；
可求，由“等值点”定义可得：二次函数图象与直线图象的交点为对应的“等值点”，可得，从而可求，分类讨论当时，可求，两部分组成的图象只有个“等值点”，；当时，可求，两部分组成的图象有个“等值点”，，；当时，(ⅰ)当时，(ⅱ)当时，(ⅲ)当时，(ⅲ)当时，(ⅲ)当时；即可求解．
【小问详解】
解：不存在，理由如下：
当时，
，
，不成立，
不存在“等值点”．
【小问详解】
解：当时，
，
整理得：，
，，
“等值点”为，．
【小问详解】
解：将沿直线翻折后的图象记为，
可设，
由可得顶点，
，
，
，
由得一定有个“等值点”，，
，是，两部分组成的图象的“等值点”，
由“等值点”定义可得：二次函数图象与直线图象的交点为对应的“等值点”，
，
整理得：，
，
当时，
即：，
解得：，
此时方程无实根，
如图，此时二次函数图象与直线图象没有交点，
的图象没有“等值点”，
，两部分组成的图象只有个“等值点”，；
当时，
即：，
解得：，
此时方程有两个相等的实根，
如图，此时二次函数图象与直线图象有一个交点，
，
解得：，
的图象有一个“等值点”为，
，两部分组成的图象有个“等值点”，，；
当时，
即：，
解得：，
此时方程有两个不相等的实根，
如图，此时二次函数图象与直线图象有两个交点，
的图象有个“等值点”，
(ⅰ)当时，
如图，
的图象经过
，
解得：，，
的图象有个“等值点”，，
，两部分组成的图象个“等值点”，，；
(ⅱ)当时，
如图，
的图象经过时，
，
解得：，，
的图象有个“等值点”，，
，两部分组成的图象个“等值点”，，；
(ⅲ)当时，
如图，
的图象有个“等值点”，
，两部分组成的图象个“等值点”；
(ⅲ)当时，
如图，
的图象有个“等值点”，
，两部分组成的图象个“等值点”；
(ⅲ)当时，
如图，
的图象有个“等值点”，
，两部分组成的图象个“等值点”；
综上所述：当的值为或或，
【点睛】本题考查了二次函数在新定义中的应用，一元二次方程的应用，二次函数图象与一次函数图象交点个数判断方法，理解新定义，掌握判断方法是解题的关键．
第1页，共1页
