绝密★考试结束前
浙江省S9联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则实数m的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
4．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
7．已知正方体的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．5
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知，两点到直线l：的距离相等，则实数a的值可能为（ ）
A． B．3 C． D．1
10．某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．得分在之间的共有40人
B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在之间的概率为0.5
C．估计得分的众数为55
D．这100名参赛者得分的中位数为65
11．已知，且，则下列式子中正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．在正方体中，，E，F，G分别为，，CD的中点，O，P分别为BE，上的动点，作平面截正方体的截面为，则下列说法中正确的是（ ）
A．不可能是六边形
B．存在点P，使得BE⊥FP
C．当经过点F，P时，点D到平面的距离的最大值为
D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面与平面垂直，平面与平面的法向量分别为，，则t值是 ．
14．在三棱柱中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱底面ABC，点D在棱上，且，则AD与平面所成的角的正弦值为 ．
15．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合内取值的点中任取一个点，此点正好在直线上的概率为 ．
16．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
已知，，．
（1）求直线AB和AC的斜率；
（2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
18．（本题满分12分）
如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
（1）用向量，，表示；
（2）求．
19．（本题满分12分）
在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线垂直；
②过点；
③与直线平行．
问题：已知直线l过点，且 ．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）已知，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得最大．
20．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，点D是线段BC的中点，
（1）求证：
（2）求D点到平面的距离；
21．（本题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是一个矩形，EF∥AC，，，，．
（1）求证：AE∥平面BFD．
（2）若平面EAB⊥平面ABCD，求平面EAB与平面FCD的夹角的余弦值．
22．（本题满分12分）
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，
（1）求角B的大小；
（2）若，求的取值范围．
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数学学科参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
DCBB ABBA
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．AC 10．ABC 11．BC 12．BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．5 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
解析：
（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，
直线AC的斜率，
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3．
（2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由增大到，图略
所以直线AD的斜率的变化范围是
18．（本题满分12分）
解析：
（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
所以．
（2）因为四面体OABC是正四面体，则，
，
，
所以．
19．（本题满分12分）
解析：
（1）选择①与直线垂直，
则直线l的斜率，解得，又其过点，
则直线l的方程为：，整理得：；
选择②过点，又直线l过点
则直线l的斜率，
则直线l的方程为：，整理得：；
选择③与直线平行，
则直线l的斜率，又其过点，
则直线l的方程为：，整理得：；
综上所述，不论选择哪个条件，直线l的方程均为：．
（2）根据（1）中所求，可得直线l的方程为：，又，
设点O关于直线l的对称点为，
则，且，解得；
显然，图略
当且仅当Q，N，M三点共线时取得等号；
又直线QM的斜率，故其方程为：，即
联立，可得点N的坐标为时，使得最大
20．（本题满分12分）
解析：（1）△ABC中，，，，所以AB⊥AC，
在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以，
又因为，平面，平面，
所以AB⊥平面，平面，所以．
（2）由（1）知，平面ABC，平面ABC，平面ABC，
所以，，又AB⊥AC，如图建立空间直角坐标系A-xyz，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，解得，令，则，
设D到平面的距离为d，得．
21．（本题满分12分）
解析：
（1）证明：设，连接OF，如图．
由于EF∥AO，，
所以四边形EFOA是平行四边形，
所以AE∥OF．由于平面BFD，平面BFD，
所以AE∥平面BFD．
（2）依题意，平面EAB⊥平面ABCD，，
以A为原点，以AB，AD所在直线分别为x，y轴，过点A且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
设平面EAB的法向量为，，，，
，，．
设平面FCD的一个法向量为，
则，故．
设平面EAB与平面FCD的夹角为，则．
22．（本题满分12分）
解析：
（1）因为，则，
所以，
则，
所以△ABC为直角三角形，所以．
（2），
所以，
而，所以设，，，
所以，
令，，
又因为，
所以，所以，，
令，，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以，
所以的取值范围为．
修改反馈：（1）选择题11题，C,D选项已用公式编辑过.
立体几何20题第1小题包含了线面垂直的证明，填空题14题改成了求线面角
