第五章 圆
6 直线和圆的位置关系
第4课时 三角形的内切圆
基础闯关
知识点一：三角形内切圆及相关概念
1.[一题多辨](1)如图,⊙O 是△ABC 的内切圆,则点O 是△ABC 的( )
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点 D.三条高的交点
(2)如图，△ABC 是一块三条边长均不相等的薄板，要在△ABC 薄板中裁剪出一个面积
最大的圆形薄板，则圆形薄板的圆心应是△ABC 的( )
A.三条高的交点 B.三条中线的交点
C.三边垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
知识点二：利用三角形内切圆的性质进行相关计算
命题角度1：利用三角形内切圆的性质求角的度数
2.如图,⊙O 内切于△ABC,切点分别为 D,E,F,连接OE,OF,DE,DF.已知∠A=80°,则∠EDF 等于( )
A.40° B.45° C.50° D.80°
3.如图,⊙O 是△ABC 的内切圆,切点为 D,E,F.若∠A=100°,∠C=30°,则∠DFE 的度数是___________.
命题角度2：利用三角形内切圆的性质求三角形的面积
4.如图,P 是△ABC 的内心,连接PA,PB,PC,△PAB,△PBC,△PAC 的面积分别为 则 (填“＞”“＜”或“=”)
命题角度3：利用三角形内切圆的性质解决实际问题
5.如图，要在一块直角三角形的铁皮上裁剪下一块圆形铁皮，已知 80cm，为了充分利用这块铁皮，使剪下来的圆形铁皮的直径尽量大些，应该怎样裁剪 这个圆的最大直径是多少
能力提升
6.如图，等边三角形ABC 的边长为 8,以 BC 上的一点O 为圆心的圆分别与边AB,AC 相切,则⊙O 的半径为( )
B.3 C.4
7.如图, 中, 点P 由点C 出发以每秒2cm的速度沿线段 CA 向点 A 运动(不运动至点A),⊙O的圆心在BP上,且⊙O分别与AB,AC 相切,当点 P 运动2秒时,⊙O 的半径是( )
D.2cm
8.如图，中,50°,⊙O 截 的三条边所得弦长相等，则
素养提升
【圆中的最值问题】
9.[空间观念]如图,矩形ABCO 的顶点A,C 分别在x轴、y轴上,点 B 的坐标为(4,3),⊙M是 的内切圆,点 N、点 P 分别是⊙M,x 轴上 的 动 点,则. 的最小 值是____________.
10.[几何直观]如图,在矩形 ABCD 中, 8, 点E,F 分别是AD,BC 的中点,点P在线段 EF 上, 内切圆半径的最大值是_____________.
11.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,BC 为⊙O的直径,点 E 为△ABC 的内心,连接AE 并延长交⊙O 于 D 点,连接 BD 并延长至F点,使得 BD=DF,连接CF,BE.
(1)求证:DB=DE.
(2)求证:直线CF 为⊙O 的切线.
培优创新
12.[推理能力]如图,点 I 是△ABC 的内心,BI的延长线与△ABC 的外接圆交于点D，与AC 交于点 E,延长 CD,BA 相交于点 F,∠ADF 的平分线交AF 于点G.
(1)求证:DG∥CA.
(2)求证:AD=ID.
(3)若 DE=4,BE=5,求 BI 的长.
参考答案
1.(1)B (2)D 2. C 3. 65° 4.＜
5.解：剪下的部分应是这个三角形的内切圆.如图，设点O为内切圆的圆心，连接OA，OB，OC，设其内切圆半径为rcm.∵AB=60cm,BC=80cm,∴AC=√AB +BC ∴这个圆的最大直径是 40 cm.
6. A 7. A
8. B [解析]如图,过点O作( 于点M, 于点N,OQ⊥AC 于点Q,连接OK,OD,OF,OE,由垂径定理得： FG=HK,∴DM=KQ=FN.∵OD=OK=OF,∴由勾股定理得： ，即点O到三角形ABC三边的距离相等，∴O 是 的内心，
9.4 [解析]如图，作点 B 关于x轴的对称点 连接 交⊙M 于点N,交x轴于点P,过点 M 作 轴,交x轴于点E，过点. 作 ∵点 B 与点 关于x轴对称， 当 N,P, 在同一直线上且经过点 M 时取最小值.由题可知 AC=5，∵⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M 的半径为 解得r=1,∴ME=MN=1,∴QB′=4-1=3,QM=3+1=4,∴MB′=5,∴PB′+PN=5-1=4,即 BP+PN 的最小值为 4.
[解析]∵点 E,F 分别是AD,BC 的中点,四边形ABCD是矩形,∴EF∥AB.∵P在EF 上,AB=8,BC=设△PAB 内切圆半径是r.最小时,r有最大值.如图,∵F 是BC的中点,∴点 B关于EF的对称点是C点，连接CA 与EF 交于点P'.∵AP+BP=AP+CP≥CA,∴CA 即为AP+BP 的最小值.∵AB的最小值为 10, 解得 即△PAB 内切圆半径的最大值是
11.证明:(1)∵点 E 是△ABC的内心,∴∠BAE=∠CAE,∠EBA=∠EBC.∵∠BED=∠BAE+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠DBC,∠DBC =∠EAC,∴∠DBE =∠DEB,∴DB=DE.
(2)连接CD.∵AD平分∠BAC,∴∠DAB=∠DAC,∴BD=CD,∴BD=CD.∵BC 是⊙O 的直径,∴∠BDC=∠CDF =90°,∴∠BCD=∠CBD=45°.∵BD=DF,∴CD=DF,∴∠DCF=∠F=45°,∴∠BCF=∠BCD+∠DCF=45°+45°=90°,∴BC⊥CF,∴直线CF 为⊙O 的切线.
12.(1)证明:如图,∵点 I 是△ABC 的内心,∴∠2=∠7=平分 ∵∠ADF=∠ABC,∴∠1=∠2.∵∠3=∠2,∴∠1=∠3,∴DG∥CA.
(2)证明:∵点 I 是△ABC 的内心,∴∠5=∠6.∵∠2=∠3,∠2=∠7,∴∠3=∠7,∴∠4=
∠7+∠5 =∠3+∠6,即∠4=∠DAI,∴AD=ID.
(3)解:∵∠3 =∠7,∠ADE =∠BDA,∴△DAE∽△DBA,∴AD :DB = DE : DA,即 AD : 9 =4:AD,∴AD=6,∴DI=6,∴BI=BD-DI=9-6=3.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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