湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学试卷
考试时间：2023年11月23号14：30～16：30 时长：120分钟满分：150分
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线，F为其右焦点，过F点的直线与双曲线相交于A，B两点，若，则这样的直线l的条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
5．点P是椭圆C：上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
6．若实数x、y满足条件，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆C：，AB是圆C上的一条动弦，且，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的2分，有选错的得0分．）
9．下列说法中正确的有（ ）
A．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
B．直线的一个方向向量为
C．若点和点关于直线对称，则
D．过点的直线l分别交x，y的正半轴于A，B，则面积的最小值为8
10．甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件
B．事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件
C．事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件
D．事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件
11．如图所示，正方体的棱长为1，E、F、G分别为BC、、的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到距离为
C．直线与平面AEF平行 D．三棱锥的体积为
12．已知，是椭圆C：的左右焦点，点M在C上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积是 B．的内切圆的半径为
C．M的纵坐标为2 D．若点P是C上的一动点，则的最大值为6
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______．
14．已知空间向量，，，若，，共面，则实数______．
15．已知直线l：与x轴交于点M，圆O：，P为直线l上一动点，过P点引圆O的两条切线，切点分别为A，B，则点M到直线AB的距离最大值为______．
16．已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为______．
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题10分）已知直线l：，．
（1）证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标；
（2）直线l与坐标轴的分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程．
18．（本小题12分）已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程．
19．（本小题12分）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．
①现计划从第一组和第二组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自不同组的概率．
②若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差．
20．（本小题12分）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点；
①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围；
②若，求此时直线l的方程．
21．（本小题12分）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为，PC的中点．
（1）证明：；
（2）若PC与AB所成角的正切值为，求二面角的大小．
22．（本小题12分）已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过B作x轴的垂线交椭圆于点D．
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
②求面积的最大值．
湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学评分细则
1．A 【解析】由题可得：当直线平行时，，，当时，两直线重合，故：，选A．
2．A 【解析】上半部分电路畅通的概率为：，下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联，畅通的概率为：，故选A．
3．C【解析】当弦AB在双曲线同一支上时，通径最短为3，当弦AB在双曲线的两支上时，长轴最短为4，，在同一支上时有两条直线，在两支上时有一条直线，故C．
4．C 【解析】对于选项A，若，，则与可能会相交或平行，故选项A错误；
对于选项B，若，，，则m，n可能会平行、相交或异面，故选项B错误；
对于选项C，若，且，根据线面垂直可知，．故选项C正确；
对于选项D，若，，，则α与β可能会相交或平行，故选项D错误．
故选：B．
5．D 【解析】为左焦点，，故选D．
6．B【解析】，由斜率的几何意义和变化情况，选择B
7．A 【解析】设弦AB的中点为H，则，且，所以：，所以，点H在以C为圆心，1为半径的圆上，所以：故选A．
8．A 【解析】如图．设，，则
，在中有勾股定理：
，解得：，
在中有勾股定理：
解得：，所以，故选A．
9．BC 【解析】A选项中的直线不能表示截距为0的直线，故A选项错误．
B选项中的直线的一个方向向量为，与年行．故B选项确．
C选项中AB被已知直线垂直平分，满足，即，故C选项正确．
D选项中直线l方程可设为：，过，所以：，
故：，∴．，故D选项错误．
10．AC 【解析】显然，A选项正确，B选项错误，C选项正确．
D选项中至少一人投6点的事件为M，则，甲投6点且乙没投得6点事件为N，
则为，，，故D选项错误．
11．ACD 【解析】在棱长为1的正方体中，建立D以为原点，
以DA，DC，所在的直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，
如图所示，E、F、G分别为BC、、，的中点，
则、、、，
A选项，，，，
，故A正确
B选项，、，∴，，
，点到AF距离为，故B错误，
C选项，连接、，∵，∴A、、E、F四点共面，
∵、，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面AEF，平面AEF，∴平面AEF，故C正确，
D选项，因为平面AEF，∴，故D正确
12．ABD 【解析】如图所示，令
A选项，中的直线不能表示截距为，
故A选项正确．
B选项，由，可得：，故B选项正确．
C选项，由，可得：，故C选项错误．
D选项，，故D选项正确．
13．【解析】当双曲线为时，，．
当双曲线为时，，．综上：或
14．【解析】由题可得：，故：，，，解得．
15．【解析】设，则过P点作圆的两条切线，切点AB弦的直线方程为，又因为：
P在直线l上，故：，故：切点弦AB的直线恒过定点，点到直线AB的最
大距离为．
16．【解析】，，，有仿射变换，椭圆方程变换为：，
变换为，如图所示：
所以：
而：，所以：，即的最大面积为1．
17．【解析】（1），变形为：
所以：解得，，所以直线l恒过定点．
（2）解法1：当截距为0时，即直线l过原点，设直线l方程为：，所以，，
此时直线l方程为：．
当截距不为0时，设直线l方程为：，直线过点，
故：，∴，此时直线l的方程为：．
综上：满足条件的直线l的方程为：或．
解法2：由题意可得，且，令，得令，得，
由题意得，∴，或
当时，直线l的方程为；
当时，直线l的方程为
18．【解析】（1）解法1：设，，由中点坐标公式可得：
解得：
由于点P在圆O：上，所以：，
代入可得：
化简可得点Q的轨迹方程为：．
解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ∵Q为的中点，∴，
∴点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为：
．
（2）当k不存在时，直线l的方程为．此时圆心Q到直线l的距离为
所以：满足条件．
当k存在时，直线l的方程为，设圆心Q到直线l的距离为d
则，所以：
而Q到直线l的距离为，解得：
此时直线l方程为：．
综上：满足条件的直线l的方程为：或，
19．【解析】（1）由题意可知：，解得，
可知每组的频率依次为，，，，，
所以平均数等于，
因为，
设第25百分位数为，则，解得，
第25百分位数为63．
（2）①根据分层抽样，和的频率比为，
故在和中分别选取1人和5人，分别编号为A和1，2，3，4，5，
则在这6人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：
，，，，A5，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，
共15个，即，
记事件B“两人来自不同组”，则B包含的样本点有，，，，共5个，
即，所以
②设第二组、第四组的平均数与方差分别为，，，，且两组频率之比为，
成绩在第二组、第四组的平均数
成绩在第二组、第四组的方差
，
故估计成绩在第二组、第四组的方差是．
20．【解析】（1）双曲线的渐近线为，
可设双曲线的方程为：
又点在双曲线上，所以：
双曲线的方程为：
（2）①当k不存在时，直线l交双曲线于左支上两点，不符合题意．
当k存在时，直线l的方程可设为：，设，
联立双曲线方程：，
由题：∴．
②由，可得：
当直线l与x轴重合时，，，此时，不满足条件；
直线l的方程设为：，
联立方程可得：，
，
由，可得：代入上式可得：，
，解得：，故：．
此时直线l的方程为：或．
21．【解析】（1）因为，面面ABCD
面ABCD，所以：面PAD
面PAD，所以：．
（2）因为，，所以
又面面ABCD，面面ABCD
所以面ABCD，面ABCD故：
又：，，故：四边形DEBC为平行四边形，故：
以E原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，设
∴，，，∴，
设异面直线AB与PC所成的角为α，由题：，则
，∴
因为面ABCD，故：面ABE的法向量为
设：面FBE的法向最为，，，
，取，则，
设面BEF与面ABCD所成的锐二面角为θ，则，
所以：，即：面BEF与面ABCD所成的二面角的大小为．
补充评分标准：1．第一问定理条件不完备扣1分：2．直接建系未证明扣2分，证明了但不完整扣1分：3．
a的值错误得分不超过6分；4．法向量算错得分不超过9分，5结论错误写为扣1分．
22．【解析】（1）由题：的周长∴，又，∴，故：椭圆的方程为．
（2）①由题可设直线AD的方程为，设，，
联立方程可得：，化简可得：
，
，
因为：A，B，共线，则有：，化简可得：
即：，化简可得：恒成立．
∴，即：直线AD的方程为恒过定点．
②设直线AD恒过定点记为，由上题：
，可得：
，·
令，，则
当且仅当，即时，取等号．
∴面积的最大值为．
第22题按参考答案的解法给分，但第二问的第1小问解法很多，除了参考答案的解法，请参照给分，常见解法有：1．可设AB的方程，再写AD的方程，令，可得；2．对称性知定点G在x轴上，可设AB的方程，令GA，GB斜率之和等于零得结论：3．可以结合对称性先猜后证．等等．
