阳泉市第一中学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学 考试时间： 120 分钟 分值： 150 分
客观题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知过点 P (0,-1）的直线的方向向量 =(-1,1)，则的方程为
2．在长方体中，则 =
3．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ）
A. －3 B. －4 C. 3 D. 4
4.圆心为，且过原点的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A.
B.
C.
D.
6.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 任何直线方程都能表示为一般式
B. 两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等
C. 直线与直线的交点坐标是
D. 直线方程可化为截距式为
10．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相离
11．已知曲线 ,则（）
A ．
B ．
C ．
D ．当0<<3时,C是焦点在轴上的椭圆
12．已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作C的准线的垂线，垂足分别为、，则（ ）
A．若A的纵坐标为，则
B．
C．准线方程为
D．以为直径的圆与直线相切于F
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.直线过点，且斜率是倾斜角为的直线斜率的二倍，则直线的方程为_______
14.写出与圆和圆都相切的一条直线方程
如图，在正方体中，、分别
是、的中点，则异面直线与所成角的
大小是____________．
16. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为__________.
主观题
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程．
（1）在轴、轴上的截距互为相反数；
（2）与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，平面平面，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若与所成的角为，求平面和平面夹角的余弦值．
19．（12分）
已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求此切线的方程．
20．（12分）
已知椭圆，直线，
（1）为何值时，直线与椭圆有公共点；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.
21．（12分）
如图，已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知.
(1)求证:平面;
(2)求到平面的距离.
22．（12分）
已知双曲线的离心率，，分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
客观题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B A A A B D C AC AC AC CD
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
【答案】B
【答案】B
3.【答案】A
【解析】
【分析】根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求出，得到答案.
【详解】∵，
∴，
故存在实数，使得，
即，故，解得，
∴.
故选：A
4.【答案】A
【解析】
【分析】计算，得到圆方程.
【详解】根据题意，故圆方程为.
故选：.
5.【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
6.【答案】B
7.【答案】D
【解析】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，
由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，
则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
于是，，
又为的中点，则，，,，
设平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D
8.【答案】C
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，，
因为，则四边形为矩形，所以，
则，．
．．即，
则，
因为，则，
可得，即，
所以，
即双曲线离心率的取值范围是，故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.【答案】AC
【解析】
【分析】根据具体条件对相应选项作出判断即可.
【详解】对A：直线的一般是方程为：，
当时，方程表示水平线，垂直轴；
当时，方程表示铅锤线，垂直轴；
当时，方程表示任意一条不垂直于轴和轴的直线；故A正确.
对B：两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等且不重合，故B错.
对C：联立，解得，故C正确.
对D：若或时，式子显然无意义，故D错.
故选：AC.
10.【答案】AC
【解析】对于A中，由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为，所以A正确；
对于B中，由直线，可化为，
令，解得，所以直线恒过点，所以B不正确；
对于C中，由圆心坐标为和定点，可得，
根据圆的性质，当直线与垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短，
则最短弦长为，所以C正确；
对于D中，由直线恒过定点，且，即点在圆内，
所以直线与圆相交，所以D不正确.故选：AC.
【答案】AC
12.【答案】CD
【解析】由抛物线，可得抛物线的焦点，准线，所以C正确；
对于A中，由的纵坐标为，可得横坐标为，
根据抛物线的定义，可得，所以A错误；
对于B中，设直线的方程为，且，，
则，，联立方程，整理得，
则，，
因为，，
可得，所以与不互垂直，所以B错误；
对于D中，因为，，可得，
则，
所以的中点到直线的距离，
又因为，
故以为直径的圆与直线相切于，所以D正确.故选：CD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.【答案】
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率的关系，结合点斜式方程，可得答案.
【详解】倾斜角为的直线的斜率，则直线的斜率，
由点斜式方程可得，整理可得：.
故答案为：.
【答案】，答案写一个即可
15.【答案】
【解析】
【详解】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，
，即异面直线A1M与DN所成角的大小是
考点：异面直线所成的角
16.【答案】
【解析】【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来，得到PM，PN的和为定值，从而知当M、N、P三点共线时，MN的值最大，然后通过几何关系求出，结合余弦定理即可求出三角形的面积.
【详解】根据椭圆的方程可知，，连接PM，PN，
则，所以当M、N、P三点共线时，|MN|的值最大
此时
又因，可得
在中，由余弦定理可得，，
即，解得，
故答案为：.
主观题
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【解析】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，
此时直线的方程为，............................................................2分
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，，，即．
综上所述直线的方程为或.......................................................5分
（2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，
故设直线方程为，............................................................6分
将代入可得，
故，故，
当且仅当，即时等号成立，............................................................9分
故此时面积最小为,
故直线方程为，即............................................................10分
18．（12分）
【解析】（1）由为的中点，
则，，............................................................1分
又，，
易知：四边形为正方形，即，
由，则，
又面面，面，面面.............................3分
所以面，面，则，
又，面，则平面；...........................................5分
（2）由（1）易知：两两垂直，可建如下空间直角坐标系，
所以，............................................................6分
设且，则，
故，............................................................7分
又与所成的角为，
所以，............................................................8分
则，即，，
若为面的一个法向量，
则，令，故，...........................10分
又是面的一个法向量，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值为...........................................................12分
19．（12分）
【解析】（1）由题意，圆心在直线上，故设圆心，....................1分
由于圆与轴相切，∴半径，
则圆的方程为：，....................................................3分
又∵圆过点，
∴，解得：，
∴圆的标准方程为．............................................................5分
（2）当切线斜率不存在时，因为圆心到直线的距离为，
所以是圆的切线方程．............................................................7分
当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，
即，............................................................9分
由直线与圆相切得，解得：，.........................................11分
因此过点与圆相切的切线方程为，即，
综上知，过点圆的切线方程为或．........................12分
20．（12分）
【解析】（1）由消去并化简得，........................1分
若直线与椭圆有公共点，则，..............................3分
即，解得，
所以时，直线与椭圆有公共点. .......................................................5分
（2）由（1）得，当时，直线与椭圆有两个公共点，
设，则，............................................7分
，............................................................8分
由于，所以
，解得，.................................................11分
所以直线的方程为..............................................................................................12分
21.（12分）
【详解】
（1）证明：∵在底面上的射影为的中点，∴平面平面，....1分
∵，且平面平面，平面，
∴平面，................................................................................................................3分
∵平面，∴，.....................................................................................5分
∵，且，平面，∴平面．....................6分
(2）解：取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
∵平面，平面，∴，∴四边形是菱形，.........7分
∵是的中点，∴，∴，，，，
∴，，.........9分
设平面的法向量，则，，取，
，到平面的距离．
，平面，平面
平面，..............................................................................................................11分
到平面的距离等于到平面的距离...............................12分
22.（12分）
【解析】（1）由离心率，得，所以，......................1分
则双曲线的渐近线方程为，
因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，
不妨设，，
由于，则点为的中点，所以，...............................3分
又点在双曲线上，
所以，整理得：............................................................4分
因为的面积为8，
所以，则，
故双曲线的方程为；............................................................5分
（2）由（1）可得，所以为
当直线的斜率存在时，设方程为：，，
则，所以，则
恒成立，
所以，............................................................7分
假设在轴上是否存在定点，设，
则
............................................................9分
要使得为常数，则，解得，
定点，；............................................................10分
又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
代入双曲线可得，
不妨取，
若，则，符合上述结论；
综上，在轴上存在定点，使为常数，且......................12分
