广东省部分学校2023-2024学年高三上学期11月大联考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则
A． B． C． D．
2．
A． B． C． D．
3．已知单位向量，满足，则
A． B． C． D．
4．某柚子种植户挑选了100个柚子称重（单位：斤），将100个称重数据分成，，，这6组，并整理得到如图所示的频率分布直方图，则质量在区间内的柚子数量是
A．15 B．20 C．25 D．30
5．已知为坐标原点，，，分别是椭圆的左顶点、上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为
A． B．1 C． D．
6．设，，且，则
A． B． C． D．
7．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过，至少要经过（取：）
A． B． C． D．
8．已知，，，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图，在三棱台中，上底面是边长为的等边三角形，下底面是边长为的等边三角形，侧棱长都为1，则
A．
B．
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．三棱台的高为
10．若函数在上的零点从小到大排列后构成等差数列，则的取值可以为
A．0 B．1 C． D．
11．已知函数的定义域为，且，则
A． B． C．是奇函数 D．没有极值
12．如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是
A．圆的圆心都在直线上
B．圆的方程为
C．若圆与轴有交点，则
D．设直线与圆在第二象限的交点为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．在的展开式中，项的系数为_________．
14．已知函数则满足的的取值范围是_________．
15．已知抛物线与直线交于，两点，点在抛物线上，且为直角三角形，则面积的最小值为_________．
16．如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由两个完全相同的正六棱柱垂直贯穿构成，若该正六棱柱的底面边长为2，高为8，则该几何体的体积为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在中，为上一点，，，且．
（1）若，求；
（2）若，求．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，．
（1）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
（2）求平面与平面的夹角的大小．
19．（12分）
在数列中，，．
（1）证明：数列为常数列．
（2）若，求数列的前项和．
20．（12分）
已知函数，曲线在点处的切线斜率为．
（1）求的值；
（2）当时，的值域为，求的值．
21．（12分）
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程．
（2）已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与双曲线的左、右支分别交于点，（异于点，）．设直线，的斜率分别为，，若点在双曲线上，证明为定值，并求出该定值．
22．（12分）
卡塔尔世界杯小组赛阶段，每个小组4支球队循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分．每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛．若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛．假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若，，三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）．已知某小组内的，，，四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立．
（1）若球队在小组赛的3场比赛中胜1场，负2场，求其最终出线的概率．
（2）已知该小组的前三场比赛结果如下：与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜．
设小组赛阶段，球队的积分之和为，求的分布列及期望．
高三数学参考答案
1．A【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养．
因为，所以．
2．D【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养．
3．D【解析】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算的核心素养．
因为，所以．
4．C【解析】本题考查用样本估计总体，考查数据分析的核心素养．
由频率分布直方图可得，质量在区间内的柚子数量是．
5．D【解析】本题考查椭圆，考查逻辑推理及数学运算的核心素养．
易知，，，，．
因为，所以，则，即，，
所以．
6．B【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．
因为，所以．因为，，所以，，所以，则．
7．C【解析】本题考查函数的应用，考查数学建模的核心素养．
的物块经过后的温度，的物块经过后的温度．要使得这两块物体的温度之差不超过，则，解得．
8．A【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理及数学运算的核心素养．
设函数，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，当且仅当时，等号成立．令，则．设函数，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即，所以，．故．
9．ABD【解析】本题考查棱台，考查直观想象的核心素养．
延长，，交于点，设，的中点分别为，，连接，并交于点，连接．在中，，所以，可得，．同理可得，所以三棱锥为正三棱锥．又，所以，即，A正确．易得平面，所以，B正确．因为平面，所以为直线与平面所成的角．易知，，，，C错误．
因为为的中点，所以三棱台的高为，D正确．
10．ABD【解析】本题考查三角函数及等差数列，考查逻辑推理及数学运算的核心素养．
因为函数有零点，所以．
画出函数与的图象，如图所示．
当或1时，经验证，符合题意．
当时，由题意可得．因为，，所以，，，．
11．ACD【解析】本题考查抽象函数，考查逻辑推理的核心素养．
令，则，A正确．当且时，由，得．令函数，则，所以，所以为常函数．令，则，所以是奇函数，C正确．没有极值，D正确．当时，，B错误．
12．ABD【解析】本题考查直线和圆的方程，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养．
圆的圆心都在直线上，A正确．由题意可得的方程为，故圆的方程为，B正确．
若圆与轨有交点，则，解得．因为，所以，C错误．
由，令，可得的较大根为，故，D正确．
13．9【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养．
．令，解得，则项的系数为．
14．【解析】本题考查分段函数，考查逻辑推理的核心素养．
画出的图象（图略），数形结合可得解得．
15．1【解析】本题考查抛物线，考查数学运算的核心素养．
设，，，则，．因为为直角三角形，所以，即．因为，所以，．．
16．【解析】本题考查几何体的体积，考查直观想象及数学运算的核心素养．
过直线和直线分别作平面，平面（图略），平面和平面都平行于竖直的正六棱柱的底面，则该竖直的正六棱柱夹在平面和平面之间的部分的体积为．如图，将多面体分成三部分，，三棱柱的体积为，所以多面体的体积为．
两个正六棱柱重合部分的体积为．
一个正六棱柱的体积为．
故该几何体的体积为．
17．（1）在中，，．
在中，，解得．
（2）在中，，所以．
在中，，，所以．
故．
18．解：（1）当为的中点时，平面．理由如下：
设为的中点，连接，，．
在中，，．
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，所以平面．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设，
则，，，
，．
设平面的法向量为，
则即
令，则．
设为的中点，连接（图略），易证得平面，所以是平面的一个法向量．
又，，所以．
设平面与平面的夹角为，
，
所以，即平面与平面的夹角的大小为．
19．（1）证明：令，可得．
因为①，所以②．
①-②得，即．
因为，所以数列为常数列．
（2）解：由（1）可得，所以是公差为1的等差数列，
所以．
因为，所以③
④．
③-④得
，
所以．
20．解：（1）．
，解得．
（2），．
令函数，．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，，所以当时，，即；
当时，，即．
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，在上的最小值为，解得，舍去．
当时，在上的最小值为，解得，
此时，，，符合题意．
综上，的值为2．
21．解：（1）因为渐近线方程为，所以，即．
，，．
故的方程为．
（2）因为点在双曲线上，所以，即．
联立得．
设，．
．
，．
．
．
因为，所以，所以．
．
故为定值，定值为．
22．解：（1）不妨假设球队参与的3场比赛结果为与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜．此时，，，各积3分，积0分．
在剩下的三场比赛中：
若与比赛平局，则，积分各加1分，都高于的积分，淘汰．
若与比赛平局，与比赛的结果无论如何，都有两队的积分高于，淘汰．
若与比赛平局，同理可得一定会淘汰．
综上，若要出线，剩下的三场比赛不可能出现平局．
若与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜，则出线，，，争夺第二名，出线的概率为．
若与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜，则出线，，，争夺第二名，出线的概率为．
其他情况均淘汰．
故最终出线的概率为．
（2）前三场比赛中，球队的积分之和为6．
剩下的三场比赛为与比赛，与比赛，与比赛，其中与比赛的结果与，球队的积分之和无关．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为3，与比赛中，，球队得到的积分之和为3，则，其概率为．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为3，与比赛中，，球队得到的积分之和为1，则，其概率为．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为3，与比赛中，，球队得到的积分之和为0，则，其概率为．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为2，与比赛中，，球队得到的积分之和为3，则，其概率为．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为2，与比赛中，，球队得到的积分之和为1，则，其概率为．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为2，与比赛中，，球队得到的积分之和为0，则，其概率为．
的分布列为
8 9 10 11 12
．
