海安市高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M，N满足，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
2．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设m为实数，已知直线，，若，则m的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．“”是“方程表示椭圆”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台，其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）．（）
A．3045.6g B．1565.1g C．972.9g D．296.1g
6．已知函数，则下列说法错误的是（ ）．
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图像可由的图象向右平移个单位长度得到
D．函数的对称轴方程为
7．已知各项为正数的等比数列，与的等比中项为8，则取最小值时，首项（ ）．
A．8 B．4 C．2 D．1
8．曲线与直线有两个不同交点，实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或错选不得分．
9．已知椭圆的离心率为，则m的值可能为（ ）
A． B． C．5 D．25
10．已知直线与圆，则（ ）
A．对，直线恒过一定点
B．，使直线与圆相切
C．对，直线与圆一定相交
D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为
11．已知数列的前n项和为，则以下命题正确的有（ ）．
A．若数列为等差数列，则为等比数列
B．若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列
C．若数列为等比数列，则恒成立
D．若数列为等差数列，，，则的最大值在n为8或9时取到
12．已知抛物线的焦点为F，准线为l，A、B是C上异于点O的两点（O为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）．
A．若A、F、B三点共线，则的最小值为2
B．若，则的面积为
C．若，则直线AB过定点
D．若，过AB的中点D作于点E，则的最小值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．正项等比数列中，，则的值是________．
14．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽6m，高0.5m，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为________．
15．圆心在直线上，且经过圆与的交点的圆的标准方程是________．
16．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，且，则此双曲线离心率的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知圆C：．
（1）直线l的方程为，直线l交圆C于A、B两点，求弦长的值；
（2）从圆C外一点引圆C的切线，求此切线方程．
18．已知等差数列，前项和为，又，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围．
20．设等差数列的前n项和为，且．
（1）若，求的公差；
（2）若，且是数列中最大的项，求所有可能的值．
21．已知椭圆C：上一点，右焦点为，直线AF交椭圆于B点，且满足，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆相交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．
22．对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆C：，它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．
（1）求椭圆C伴随双曲线的方程；
（2）如图，点E，F分别为的下顶点和上焦点，过F的直线l与上支交于A，B两点，设的面积为S，（其中O为坐标原点），若的面积为，求．
海安市高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A C D C D
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 BC ACD ACD ABD
12．【详解】对于A选项，易知抛物线C的焦点为，
当直线AB与y轴重合时，直线AB与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意，
设直线AB的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，则，
易知，，所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为2，A对；
对于B选项，设点，，可得，所以，，
则，所以，，B对；
对于C选项，易知AB的斜率存在，设直线AB的方程为，
设点、，由于直线AB不过原点，所以，，
联立可得，，
由韦达定理可得，所以，，
因为，则，解得，
所以，直线AB的方程为，故直线AB过定点，C错；
对于D选项，过点A作于点，过点B作于点，
设，，所以，
因为，
所以，则的最小值为1，当且仅当时，等号成立，D对．
故选：ABD．
三、填空题
13．【答案】20
14．
15．【答案】
16．【答案】
【详解】设、的内切圆圆心分别为、，
设圆切、、分别于点M、N、G，
过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，
由切线长定理可得，，，
所以，，则，所以点G的横坐标为．
故点的横坐标也为a，同理可知点的横坐标为a，故轴，
故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切．
在中，，，
∴，，所以，，
所以，，则，
所以，
即，所以，，可得，可得，则，因此，．
故答案为：．
四、解答题
17．【答案】（1）；（2）或．
【详解】（1）化圆C：为：，知圆心为半径为2，
故圆心到直线的距离，∴；
（2）当斜率不存在时，过的直线是，显然是圆的切线；
当斜率存在时，设直线方程为．由，解得．
此时切线方程为．
综上所述：切线方程为或．
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设等差数列的公差为d，首项为，因为，所以，
所以，由，解得，
又，所以；
（2）
设，的前n项和为，得，，得
当时，，即，所以，，
当时，得，所以，
则
综上所述：
19．【答案】（1）60°；（2）．
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理得，即，即，即，
由余弦定理得，∵，∴；
（2）∵，∴，即，又∵，
∴由正弦定理得，
∴，
∵为锐角三角形，∴，解得，
从而，∴．
20．【答案】（1）3；（2）18，19，20
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，解得．
（2）由（1）得，，
由于是数列中最大的项，，①，
所以，即，即
解得，由于是整数，所以的可能取值是18，19，20．
21．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）∵为椭圆C上一点，∴
又∵，可得，，即
所以椭圆C的标准方程是．
（2）由（1）知，，∴直线AF的方程为，
联立，整理得：，
解得：，，∴
设点，到直线的距离为和，
则，，
∵直线与椭圆相交于C，D两点，
联立，整理得：，
解得：，．
∴．
∴设四边形ACBD面积为S，
则．
设，则，
∴
当，即，即时，四边形ACBD面积有最大值．
22．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设椭圆C与其伴随双曲线的离心率分别为，，
依题意可得，，即，即，解得，
所以椭圆C：，则椭圆C伴随双曲线的方程为．
（2）由（1）可知，，设直线l的斜率为k，，，
则直线l的方程，与双曲线联立并消去y得，
则，所以，，则，
又，又，
所以，
解得或（舍去），
又，
所以，
因为，所以．
