山西省朔州市第九中学高中部2023-2024学年
高三上学期期中数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号和班级填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1、已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
2、赵爽弦图是中国古代数学的重要发现,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).已知小正方形的面积为1,直角三角形中较小的锐角为,且,则大正方形的面积为( )
A.4 B.5 C.16 D.25
3、设数列是以d为公差的等差数列,是其前n项和,,且,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.的最大值为或
4、已知函数,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5、已知函数（且）是偶函数,则关于x的不等式的解集是( )
A. B. C. D.以上答案都不对
6、已知不等式对任意正数x恒成立,则实数a的最大值是( )
A. B.1 C. D.
7、已知，是方程的两根，且，，则的值为( )
A. B. C.或 D.或
8、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
9、若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
10、已知点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
11、某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
12、过抛物线的焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若，则（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
二、填空题（共22分）
13、设样本数据,,L,的平均数为,方差为,若数据,,L,的平均数比方差大4,则的最大值是________.
14、各项均为正数的等比数列的前n项和为,若,,则的最小值为________.
15、设函数在区间内有零点,无极值点,则的取值范围是__________．
16、设数列为等差数列，其前n项和为，已知，，若对任意都有成立，则k的值为________.
17、设，是函数（）的两个极值点，若，则a的最小值为________.
三、解答题（本题共5小题，每题16分，共80分）
18、如图,在四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD为正方形,,E,F,分别是PB,CD的中点,M是PD上一点.
（1）证明:平面PAD.
（2）若,求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值.
19、已知椭圆,离心率为,直线恒过E的一个焦点F.
（1）求E的标准方程;
（2）设O为坐标原点,四边形ABCD的顶点均在E上,AC,BD交于F,且,,若直线AC的倾斜角的余弦值为,求直线MN与x轴交点的坐标.
20、已知函数,（,e是自然对数的底数）．
（1）讨论的单调性;
（2）当时,,求a的取值范围．
21、如图，平行四边形的对角线和交于点M，E在上，且，直线与的延长线交于点F，记，．
(1)试用表示、；
(2)试用表示．
22、规定，其中，，且，这是组合数，且的一种推广.
（1）求的值.
（2）组合数具有两个性质：①；②.这两个性质是否都能推广到(，) 若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由.
参考答案
1、A
2、D
3、D
4、B
5、B
6、B
7、B
8、D
9、A
10、D
11、D
12、A
13、
14、8
15、
16、20
17、
18、（1）证明:取PA的中点N,连接EN,DN.因为E是PB的中点,所以,.
又底面ABCD为正方形,F是CD的中点,所以,,所以四边形ENDF为平行四边形,所以.
因为平面PAD,平面PAD,所以平面PAD.
（2）以为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,令,则,,,.
设,得,则,.
因为,所以,解得,
从而,,.
设平面的法向量为,则,令,得.
设平面EMF的法向量为,则,令,得,
.
故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为.
19、（1）设椭圆的半焦距为,可化为,
所以直线恒过点,所以点,可得.
因为离心率为,所以,解得,由得,
所以E的标准方程为.
（2）因为,所以.
由,得M,N分别是AC,BD的中点.
设,.由直线AC的倾斜角的余弦值为,得直线AC的斜率为2,
所以,联立消去y,
得.显然,,且,,
所以,可得,同理可得,
所以,所以.令,得,所以直线MN与x轴交点的坐标为.
20、（1）,
当时,,函数在R上递减;
当时,由,解得,故函数在上单调递减,
由,解得,故函数在上单调递增．
综上所述,当时,在R上递减;当时,在上递减,在上递增.
（2）当时,,
即,故,
令
,
则,
若,则当时,,
函数在上单调递增,
当时,
,
当时,单调递增,
则,符合题意;
若,则,
,
由得,
故,
存在,使得,
且当时,,
在上单调递减,
当时,,不合题意,
综上,实数a的取值范围为．
21、(1)平行四边形的对角线和交于点M，
直线与的延长线交于点F，
记，．
，
；
(2)在上，且，，
，，
，，
．
22、（1）由题意得.
（2）性质①不能推广，如当时，有意义，但无意义.
性质②能推广，它的推广形式是，
证明如下：当时，有；
当时，有
.
综上，性质②的推广得证。
