高三一轮中期调研考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语 函数与导数 不等式 三角函数与解三角形 平面向量 复数 数列 立体几何 解析几何.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B.
C. D.
3.已知单位向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，则（ ）
A.18 B.54 C.128 D.192
5.已知为坐标原点，分别是椭圆的左顶点 上顶点和右焦点点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.1 C. D.
6.设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
7.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过，至少要经过（ ）（取：）
A. B. C. D.
8.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，在三棱台中，上底面是边长为的等边三角形，下底面是边长为的等边三角形，侧棱长都为1，则（ ）
A.
B.
C.直线与平面所成角的余弦值为
D.三棱台的高为
10.若函数在上的零点从小到大排列后构成等差数列，则的取值可以为（ ）
A.0 B.1 C. D.
11.已知函数的定义域为，且，则（ ）
A. B.
C.是奇函数 D.没有极值
12.如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ）
A.圆的圆心都在直线上
B.圆的方程为
C.若圆与轴有交点，则
D.设直线与圆在第二象限的交点为，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到__________.
14.已知函数则满足的的取值范围是__________.
15.已知抛物线与直线交于两点，点在抛物线上，且为直角三角形，则面积的最小值为__________.
16.如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由两个完全相同的正六棱柱垂直贯穿构成，若该正六棱柱的底面边长为2，高为8，则该几何体的体积为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，为上一点，，且.
（1）若，求；
（2）若，求.
18.（12分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，.
（1）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.
（2）求平面与平面的夹角的大小.
19.（12分）
在数列中，.
（1）证明：数列为常数列.
（2）若，求数列的前项和.
20.（12分）
已知函数，曲线在点处的切线斜率为.
（1）求的值；
（2）当时，的值域为，求的值.
21.（12分）
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程.
（2）已知双曲线的左 右顶点分别为，直线与双曲线的左 右支分别交于点（异于点）.设直线的斜率分别为，若点）在双曲线上，证明为定值，并求出该定值.
22.（12分）
已知函数.
（1）当时，证明：只有一个零点.
（2）若，求的取值范围.
高三一轮中期调研考试
数学参考答案
1.A 【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.
2.D 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.
3.C 【解析】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.
4.D 【解析】本题考查等比数列，考查数学运算的核心素养.
设等比数列的公比为，则，解得.
.
5.D 【解析】本题考查椭圆，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.
易知.
因为，所以，则，即，
所以.
6.B 【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.因为，所以，所以，则.
7.C 【解析】本题考查函数的应用，考查数学建模的核心素养.
的物块经过后的温度的物块经过后的温度.要使得这两块物体的温度之差不超过，则，解得.
8.A 【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.
设函数，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，当且仅当时，等号成立.令，
则.设函数，所以在上单调递增，在上单
调递减，则，所以，即，所以.故.
9.ABD 【解析】本题考查棱台，考查直观想象的核心素养.
延长交于点，设的中点分别为，连接，并交于点，连接.在中，，所以，可得.同理可得，所以三棱锥为正三棱锥.又，所以，即正确.易得平面，所以，B正确.因为平面，所以为直线与平面所成的角.易知错误.
因为为的中点，所以三棱台的高为，D正确.
10.ABD 【解析】本题考查三角函数及等差数列，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.
因为函数有零点，所以.
画出函数与的图象，如图所示.
当或1时，经验证，符合题意.
当时，由题意可得.因为，所以.
11.ACD 【解析】本题考查抽象函数，考查逻辑推理的核心素养.
令，则，A正确.当且时，由，得.令函数，则，所以，所以为常函数.令，则，所以是奇函数，C正确.没有极值，D正确.当时，，B错误.
12.ABD 【解析】本题考查直线和圆的方程，考查直观想象 逻辑推理及数学运算的核心素养.
圆的圆心都在直线上，A正确.由题意可得的方程为，故圆的方程为，B正确.
若圆与轴有交点，则，解得.因为，所以9，C错误.
由，令，可得的较大根为，故，D正确.
13. 【解析】本题考查三角函数，考查数学运算的核心素养.
因为，所以函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到.
14. 【解析】本题考查分段函数，考查逻辑推理的核心素养.
画出的图象（图略），数形结合可得解得.
15.1 【解析】本题考查抛物线，考查数学运算的核心素养.
设，则.因为为直角三角形，所以，即.因为，所以..
16. 【解析】本题考查几何体的体积，考查直观想象及数学运算的核心素养.
过直线和直线分别作平面，平面（图略），平面和平面都平行于坚直的正六棱柱的底面，则该坚直的正六棱柱夹在平面和平面之间的部分的体积为.如图将多面体分成三部分，，三棱柱的体积为，所以多面体的体积为.
两个正六棱柱重合部分的体积为.
一个正六棱柱的体积为.
故该几何体的体积为.
17.解：（1）在Rt中，.
在中，，解得.
（2）在中，，所以.
在中，，所以.
故.
18.解：（1）当为的中点时，平面.理由如下：
设为的中点，连接.
在中，.
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，所以平面.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立
如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
.
设平面的法向量为，
则即
令，则.
设为的中点，连接（图略），易证得平面，所以是平面的一个法向量.
又，所以.
设平面与平面的夹角为，
，
所以，即平面与平面的夹角的大小为.
19.（1）证明：令，可得.
因为①，所以②.
①-②得，即.
因为，所以数列为常数列.
（2）解：由（1）可得，所以是公差为1的等差数列，
所以.
因为，所以③，
④.
③-④得
，
所以.
20.解：（1）.
，解得.
（2）.
令函数.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以当时，，即；当时，，
即.
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，在上的最小值为，解得，舍去.
当时，在上的最小值为，解得，
此时，符合题意.
综上，的值为2.
21.解：（1）因为渐近线方程为，所以，即.
.
故的方程为.
（2）因为点在双曲线上，所以，即.
联立得.
.
.
.
.
因为，所以，所以.
.
故为定值，定值为.
22.（1）证明：当时，，
所以是减函数.
因为，所以只有一个零点.
（2）解：，
即.
令函数，
.
，要使得，则存在，使得在上单调递增，即当，时，.
令函数，
.
，要使得，则存在，使得在上单调递增，即当，时，.
令函数，
.
.
当，即时，.
令函数.
令函数.
因为在上恒成立，所以函数在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，
所以在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上单调递增，
，符合题意.
当，即时，存在，使得当时，，即在上单调递减.
因为，所以当时，，即，所以在上单调递减.
因为，所以当时，，即，所以在上单调递减.
因为，所以当时，，与题意不符.
综上，的取值范围为.
