第二章 等式与不等式 练习
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设正实数x，y，z，w满足则名的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．对于实数a，b，c给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则，；④若，则．其中错误的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①③
8．不等式的解集（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．设，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，则的取值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．若，，则的取值范围是 （用区间表示）
14．已知、为正实数且，若恒成立，则范围是 .
15．已知，，且，则的最小值为 ．
16．不等式的解集是 .
四、解答题
17．设集合，.若，求实数的取值范围.
18．毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人读，周易五人读一本，要分每样几多书（选自《算法统宗》）？
19．（1）若实数，求的最小值，并求此时的值；
（2）若，求的最大值，并求此时的值.
20．（1）当，若关于的不等式的解集不空，求实数a的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集.
21．已知关于的不等式．
(1)若，，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集为，求，的值．
22．（1）若关于x的不等式的解集为或，求t与m的值；
（2）若集合是有限集，证明：集合至少有2个元素.
参考答案：
1．C
【分析】由不等式的基本性质结合作差比较大小逐一判断即可.
【详解】对于A选项：令，但，故A选项错误，
对于B选项：令，不妨取，但此时不成立，故B选项错误，
对于C选项：若，则，所以，故C选项正确，
对于D选项：令，但，故D选项错误.
故选：C.
2．C
【分析】由得：，代入，解得：.再代入，解得：.
【详解】由得：，代入，
化简得：，解得：.
再代入解得：.
故选：C
【点睛】本题主要考查二元一次方程组，属于简单题.
3．B
【分析】化简已知不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得的取值范围.
【详解】依题意，不等式对任意实数x均成立，
即不等式恒成立，
当时，不等式可化为恒成立，
当时，
，解得，
综上所述，的取值范围是.
故选：B
4．C
【分析】先利用一元二次不等式，绝对值不等式的解法化简集合A，B，再利用集合的交集定义求解.
【详解】因为，，
所以
故选：C
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式，绝对值不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．D
【分析】消元后根据基本不等式可求名的最小值.
【详解】考虑消元，由于
根据均值不等式，．
从而，基本解得，
等号当时取得．因此所求的最小值为．
故选：D
6．D
【解析】先移项，再结合十字相乘法即可求解
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题
7．D
【分析】根据不等式性质可判断①②；利用作差法结合条件可判断③④.
【详解】对于①，若，当时，则，故①错误；
对于②，若，根据不等式性质知则，正确；
对于③，若，，则，
故，则③错误；
对于④，若，则，
则，即，④正确，
故选：D
8．D
【分析】直接求解一元二次不等式即可.
【详解】或.
故选：D.
9．AD
【分析】利用特殊值及不等式的性质计算可得；
【详解】解：根据，取，，则可排除．
所以，且，即
所以，所以
故选：AD
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
10．ABD
【分析】根据不等式的性质一一判断各选项，即可得答案.
【详解】因为，故，则，A正确；
由，不等式两边同时除以b,可得，B正确；
因为，故,故，C错误；
由可得，故，D正确，
故选：ABD
11．BCD
【分析】利用拼凑法变形，再利用基本不等式求出最小值，即可得出答案.
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以观察选项，知的取值可以是，即BCD正确，A错误.
故选：BCD.
12．CD
【分析】利用特殊值判断AB；利用作差法判断C；利用单调性判断D.
【详解】A项，若时，成立，显然不成立，错误；
B项，满足，但 ，错误；
C项，若，则，
可得，所以，正确；
D项，为单调增函数，若，则，正确；
故选：CD．
13．
【分析】利用不等式同向可加性求解.
【详解】由，得，
又，
故，
故答案为：.
14．
【解析】利用基本不等式可求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解出即可.
【详解】已知、为正实数且，，当且仅当时，等号成立，
所以，的最小值为，
，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数的取值范围，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.
15．9
【分析】变形给定等式，再利用均值不等式求解作答.
【详解】由，，得，当且仅当时取等号，
因此，解得，即，
由，而，解得，
所以当时，取得最小值9.
故答案为：9
16．
【分析】直接解一元二次不等式即可.
【详解】.
故答案为：
17．
【分析】将集合中一元二次不等式化简后因式分解，求得其对应一元二次方程的两个根.解一元二次不等式求得集合，根据以及一元二次不等式解集的知识列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】∵，∴，对应的两个根为和.而，解得，要使，需，解得.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查已知集合包含关系求参数的取值范围.
18．《毛诗》册，《春秋》册，《周易》册.
【解析】设《毛诗》册，《春秋》册，《周易》册，根据题意列出关于、、的三元一次方程组，求出方程组的解集，即可得解.
【详解】设《毛诗》册，《春秋》册，《周易》册，根据题意，得，
可得，，代入得，解得，则，.
所以方程组的解集为.
所以《毛诗》册，《春秋》册，《周易》册.
【点睛】本题考查三元一次方程组的实际应用，根据题意列出三元一次方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
19．(1)的最小值是3，此时；(2)的最大值是-4，此时.
【分析】(1)根据给定条件进行配凑，再借助均值不等式求解即得；
(2)根据给定条件利用均值不等式求出的最小值即可.
【详解】(1)因实数，则，当且仅当时取“=”，
由且解得：，
所以的最小值是3，此时；
(2)因，则，当且仅当时取“=”，
由且解得：，
所以的最大值是-4，此时.
20．（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可；
（2）根据实数a的正负性，结合一元二次方程根之间的大小关系分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）因为，关于的不等式的解集不空，
所以一元二次方程的判别式大于零，
即，而，所以；
（2）
当，不等式为，不等式的解集为；
当时，不等式化为，不等式的解集为
当时，方程的两个根分别为：.
当时，两根相等，故不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为；
综上：
当时，不等式的解集为
当，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；.
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据实数a的正负性、一元二次方程根之间的大小关系进行分类讨论.
21．(1)
(2)，.
【分析】（1）直接将代入解不等式即可；
（2）根据二次不等式的解集和对应二次方程的根的关系，利用韦达定理来求解.
【详解】（1）当，时，原不等式为
即，解得，
所以不等式的解集为；
（2）若不等式的解集为，则，是方程的根，
所以，解得，.
22．（1），；（2）证明见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式解集与方程根的关系，由韦达定理即可求得），；
（2）对二次项系数进行分类讨论，易知当时可得为无限集，当时M为无限集，当时，可知一定包含元素2，3.
【详解】（1）因为不等式的解集是或，可得；且方程的两个实数根为，1，
由韦达定理可知，
解得，.
（2）不等式等价于.
当时，由，解得，即；
此时M为无限集，不合题意，舍去.
当时，不等式转化为，
此时M为无限集，不合题意，舍去.
当时，不等式转化为，
因为，
所以，即
此时，集合为有限集，且一定包含元素2，3，
所以集合至少有2个元素.
