长郡湘府中学2023-2024学年高二上学期11月阶段考试
数学
一 单选题
1.经过直线与直线的交点，且平行于直线的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（ ）
A. B. C. D.
3.已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点与不重合，则面积的最大值是（ ）
A. B.5 C. D.
5.已知，则下列直线的方程不可能是的是（ ）
A. B.
C. D.
6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B.5 C. D.
7.若满足，则的最小值是（ ）
A.5 B. C. D.无法确定
8.已知圆，圆，点分别是圆 圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（ ）
A. B.9 C.7 D.
二 多选题
9.下列说法中，正确的有（ ）
A.点斜式可以表示任何直线
B.直线在轴上的截距为-2
C.直线关于对称的直线方程是
D.点到直线的的最大距离为
10.对于直线.以下说法正确的有（ ）
A.的充要条件是
B.当时，
C.直线一定经过点
D.点到直线的距离的最大值为5
11.下列结论错误的是（ ）
A.过点的直线的倾斜角为
B.直线与直线之间的距离为
C.已知点，点在轴上，则的最小值为
D.已知两点，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是
12.若直线将圆平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题
13.若直线不能构成三角形，则的取值集合是__________.
14.已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为__________.
15.已知点是轴上的任意一点，，则的最小值为__________.
16.已知两直线和的交点为，则过两点，的直线方程为__________.
17.若，则的最小值为__________.
18.圆与轴交于两点，其圆心为，若，则__________.
19.已知圆的方程为，直线恒过定点.若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值为__________.
四 解答题
20.已知两直线与，直线经过点，直线过点，且.
（1）若与距离为4，求两直线的方程；
（2）若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程.
21.已知的顶点边上的中线所在直线的方程为边上的高所在直线的方程为.
（1）求点的坐标；
（2）求的面积.
22.已知圆.
（1）写出圆的圆心坐标及半径长；
（2）设直线.
①求证：直线与圆恒相交；
②若直线与圆交于两点，弦的中点为，求点的轨迹方程，并说明它是什么曲线？
参考答案：
1.B
解：由，解得，即两直线的交点坐标为，
设所求直线的方程为，
则有，解得，
所以所求直线方程为，即.
2.B
解：设对称点为，
由题意可得，解得，即对称点为，
3.C
解：直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
4.D
解：由题意直线过定点，
直线可变为，所以该直线过定点，
所以，
又，
所以直线与直线互相垂直，
所以，
所以即，
当且仅当时取等号，
所以，，即面积的最大值是.
5.B
解：，
直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，
故正确，当时，，故不正确，当时，或，由图象知AC正确.
6.A
解：如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点，连接，则.由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为.
7.C
解：由，可得，
表示以为圆心，以为半径的圆，
设原点，
则为圆上的点与原点距离的平方的最小值是
.
8.B
解：圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为3.
，
又，
.
点关于轴的对称点为，
，
所以，，
9.BD
解：对于A选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误；
对于选项，令得，所以直线在轴上的截距为-2，正确；
对于C选项，由于点关于直线对称的点为，所以直线关于
对称的直线方程是，故错误；
对于D选项，由于直线，即直线过定点，所以点到直线的的最大距离为，故正确.
10.BD
解：当时，解得或，
当时，两直线为，符合题意；
当时，两直线为，符合题意，故A错误；
当时，两直线为，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线
垂直时，到直线的距离最大，最大值为，
故D正确，
11.ABD
解：对于，因为，所以，因为直线的倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为，故选项错误；
对于，由可得，与平行，则两条平行直线间的距离为，故选项B错误，
对于，点关于轴的对称点为，则，所以
的最小值为，故选项C正确，
对于，又因为直线与线段没有公共点，所以，
故选项D错误，
12.CD
解：由可得，所以圆心，半径为3，若直线将
圆平分，则直线过圆心，
若横纵截距都等于0，则直线过原点，此时直线斜率为-2，
直线方程为即，
若截距不等于0，设方程为，则，可得，
所以即，
综上所述直线的方程为或，
13.
解：由，解得，即直线与的交点为，
因为直线不能构成三角形，
所以过点或或，
若过点，则，即，
若，则，即，
若，则，即，
综上，的取值集合为.
14.
解：设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，如图所示，连接交于点，交轴于点，
由对称性可知，
所以，，
当且仅当四点共线时，等号成立，
因为点与关于直线对称，
所以，解得，所以.
因为与关于轴对称，所以，
所以的周长的最小值为.
15.
解：如图，过点作倾斜角为的一条直线，过点作于，则，即，
所以到直线的距离，
因此的最小值为.
16.
解：因为两直线和的交点为，
所以且，
所以在直线上，
所以过两点的直线方程为
17.
解：将配方得：
，
根据两点间的距离公式可知，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
其中是轴上的动点，是轴上的动点，是定点，
所以，
如图，作关于轴的对称点关于轴的对称点，
所以要求的最小值，
则需求的最小值，
可知当四点共线时，取得最小值，
即，
所以的最小值为.
18.-11
解：过作轴的垂线，垂足为，如下图：
由圆可化为：，
故圆心的坐标为，半径，从而，
由垂径定理可知，，
从而，解得.
19.6
解：取，得，得，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即
由图知，当四点共线时取“=”号.
20.解：（1）①若的斜率都存在，设其斜率为，
由斜截式得的方程，即，
由点斜式得的方程，即，
在直线上取点，则点到直线的距离为，
化简得，解得，
.
②若的斜率都不存在，
则的方程为的方程为，它们之间的距离为4，满足条件，
综上所述，两条直线的方程为
或.
（2）当直线均与两点的连线垂直时，与的距离最大，
两点连线的直线的斜率为直线与的斜率均为，
此时，最大距离为，
.
21.解：（1）设点，因为在直线上，所以，①
又A，的中点为，且点在的中线上，
所以，②
联立①②，得，即点.由题意，得，所以，
所以所在直线的方程为，即，③
因为点在边上的中线上，所以点的坐标满足直线方程，④
联立③④，得，即.
（2）由（1）得，
到直线的距离为，所以，
故的面积为7.
22.解：（1）由圆的标准方程可知，圆的圆心坐标为，半径长为2
（2）①直线恒过点
因为，所以在圆内部，即直线与圆恒相交；
②设，因为
所以，即
故点的轨迹方程为，它表示以为圆心，半径为的圆（去除与轴的交点）.
