广东省东莞市第四高级中学2023-2024学年高一上册数学10月期中试卷
一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）
1．集合（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．在下列图像中，表示函数图象的可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020高一上·太和月考）若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2019高一下·哈尔滨期中）已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．若不计空气阻力，则以初速度竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中.现有一名同学以初速度竖直向上抛一个排球，则该排球在距离抛出点以上的位置停留的时间约为（ ）
A． B． C． D．
8．函数是上的增函数，点，是其图象上的两点，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共4小题，每题5分，共20分；每小题至少有两个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有一个错误选项得0分）
9．（2021高一上·盐城期中）给出下列四个对应，其中构成函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高三上·潮安）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
11．（2020高一上·苏州期中）已知函数 的图象由如图所示的两条线段组成，则（ ）
A．
B．
C． ，
D． ，不等式 的解集为
12．关于x的不等式的解集可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．不等式的解集为 ．
14．（2020高一上·太原月考）若 ，则 的最小值是 .
15．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 .
16．（2023高一上·东莞期末）某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为 元．
四、解答题（共6小题，第17题10分，其他题每题12分，合计70分）
17．已知全集，集合，.
（1）求，；
（2）求，并写出它的所有真子集.
18．设集合，
（1）若时，求，
（2）若，求的取值范围
19．给定函数.
（1）在同一直角坐标系中画出函数的图像；
（2）表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值.
20．已知函数，．
（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；
（2）若，求实数m的取值范围．
21．已知不等式的解集为或．
（1）求的值；
（2）解不等式．
22．已知是一元二次函数，满足且
（1）求函数的解析式．
（2）函数在数学史上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，，设若使成立的实数a，b，c有且仅有三个且互不相等．求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：解不等式，可得，x为整数，所以集合.
故答案为：.
【分析】解不等式得，结合即可得解.
2．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定是.
故答案为：A.
【分析】根据全称命题的否定，可得答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，任意垂直于x轴的直线与函数图像至多有一个交点，只有D正确．
故答案为：D.
【分析】根据函数的定义逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】因为 ，且 ，
所以 ， ．
因为 ， ，
所以 ，
所以B不成立；
因为 ， ，
所以 一定成立，C符合题意；
当 时，A、D不成立．
故答案为：C
【分析】 根据题意即可得出 ， ，从而可判断选项B不成立，选项C成立，而当b=0时，选项A，D都不成立，从而可得出正确的选项.
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当异号且复数绝对值大时，有，当，有，因此
“”是“”的必要而不充分条件.
故答案为：C.
【分析】根据充分必要条件的定义及不等式的运算性质即可得解.
6．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】
，即
故答案为：
【分析】通过作差得到 ，根据判别式 和开口方向可知 ，从而得到结果.
7．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意可知：，，则，即，解得，因为，所以，所以停留的时间约.
故答案为：A.
【分析】将初始值代入求得解析式，转化为解不等式，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为函数是的增函数，点，再图象上，所以，又因为，所以，即，解得.
故答案为：B.
【分析】由于函数在上为增函数，可得，，根据函数的单调性转化为，求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】A项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，A符合题意；
B项：自变量没有对应的数字，不能构成函数，B不符合题意；
C项：自变量同时对应了两个数字，不能构成函数，C不符合题意；
D项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，D符合题意，
故答案为：AD.
【分析】根据函的定义逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数与定义域，对应关系和值域都相同，故函数为同一函数，故A正确；
B、函数与的定义域为，但对应关系不同，所以两函数不是同一函数，故B错误；
C、函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以两函数不是同一函数，故C错误；
D、函数与的定义域为，由与函数的定义域和对应关系一致，所以两函数为同一函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域，再判断两函数的定义域、对应关系和值域是否一致即可判断两函数是否为同一函数.
11．【答案】A,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】A. 因为 ， ，所以 ，正确；
B. ， ，所以 ，错误；
C. 由图得，当 时，设解析式为 ，图象经过 ，所以 ，解得 ，所以 ；
时，设解析式为 ，图象经过 ，所以 ，解得 ，所以解析式为 ；即 ， ，正确；
D. 由C得 ， ，如图：
所以不存在大于零的 ，使得不等式 的解集为 ，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用分段函数的图象求出函数值、比较出函数值的大小关系、用待定系数法结合已知条件求出分段函数的解析式、由图像求出满足要求的不等式 的解集 。
12．【答案】B,C,D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，原不等式转化为，解得，即不等式的解集为；，
当时，，解得，即不等式的解集为；
当时，不等式为；
当时，不等式为，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
故答案为：BCD.
【分析】当时，先解不等式，再先因式分解，分、讨论不等式的解集即可.
13．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：先化不等式为标准式，即，解得 ，故不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】先化不等式为标准式，再分解因式求解即可.
14．【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ， ，
所以
当且仅当 即 时，取等号，
所以 的最小值是8。
故答案为：8。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
15．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
16．【答案】1440
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设 长为 ， 则 ，
即
，
所以
.
当且仅当 ，
即 时， 等号成立，
所以当 时， 取最小值为1440 .
故答案为：1440.
【分析】利用已知条件结合矩形的面积和求和的方法建立函数的模型，再结合均值不等式求最值的方法得出绿化花园总造价S的最小值。
17．【答案】（1）解：由题设，，，
所以，.
（2）解：由（1）知：，则
对应真子集有，
【知识点】子集与真子集；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）由题意可得集合，再根据集合的交、并运算求解即可；
（2）由（1）可知，利用集合的交并补运算求得，再根据真子集的概念写其真子集即可.
18．【答案】（1）解：∵，，
∴当时，则，所以，
或，又，
所以或.
（2）解：∵， ∴，
∴当时，则有，即，满足题意；
当时，则有，即，
可得，解得：.
综上所述，的范围为或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）当时，集合，再根据集合的交、并补运算计算即可；
（2）由可得，分和列不等式求解即可得得取值范围.
19．【答案】（1）解：对于，过作一条直线即可得到的图象，
对于是对称轴为，开口向上的抛物线，
过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示，
（2）解：由，得或，结合图象，
可得的解析式为，
结合图象可知，当时，.
【知识点】函数的图象
【解析】【分析】（1）取特殊点，描点、连线画出即可；
（2）根据题意，结合（1）的图象即可得函数的解析式，根据图象求其最小值即可.
20．【答案】（1）解：函数在上单调递增.
证明如下：，，
任取，可知，
因为，所以，，，
所以，即，故在上单调递增；
（2）解：由（1）知：在上单调递增，
由，可得，解得
故实数m的范围是．
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明即可；
（2）由（1）知函数在上单调递增，再由可得不等式组，求解即可.
21．【答案】（1）解：因为不等式的解集为或
所以的根为.
时，；
所以，即，所以，所以.
（2）解：由（1）知，，即，
即，
当时，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
综上，时，不等式的解集为，时，，不等式的解集为，时，不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据不等式的解集为或，转化为方程的根为，代入即可求得的值；
（2）由（1）可知不等式为，分解因式可得，再分，，三种情况解不等式即可.
22．【答案】（1）解：由题可设
所以得，
∴，，；
（2）解：当时，，所以，
当时，，所以，
不妨设，由题可得函数的大致图象，
由（1）可知函数的对称轴，，可得根据对称性知，
又由，可得，由，可得，
由图可知，
所以，
故.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意设函数的解析式，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）根据已知条件求得函数的解析式并画出函数图象，设，数形结合再利用（1）即可求得的取值范围.
广东省东莞市第四高级中学2023-2024学年高一上册数学10月期中试卷
一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）
1．集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：解不等式，可得，x为整数，所以集合.
故答案为：.
【分析】解不等式得，结合即可得解.
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定是.
故答案为：A.
【分析】根据全称命题的否定，可得答案.
3．在下列图像中，表示函数图象的可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，任意垂直于x轴的直线与函数图像至多有一个交点，只有D正确．
故答案为：D.
【分析】根据函数的定义逐项判断即可.
4．（2020高一上·太和月考）若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】因为 ，且 ，
所以 ， ．
因为 ， ，
所以 ，
所以B不成立；
因为 ， ，
所以 一定成立，C符合题意；
当 时，A、D不成立．
故答案为：C
【分析】 根据题意即可得出 ， ，从而可判断选项B不成立，选项C成立，而当b=0时，选项A，D都不成立，从而可得出正确的选项.
5．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当异号且复数绝对值大时，有，当，有，因此
“”是“”的必要而不充分条件.
故答案为：C.
【分析】根据充分必要条件的定义及不等式的运算性质即可得解.
6．（2019高一下·哈尔滨期中）已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】
，即
故答案为：
【分析】通过作差得到 ，根据判别式 和开口方向可知 ，从而得到结果.
7．若不计空气阻力，则以初速度竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中.现有一名同学以初速度竖直向上抛一个排球，则该排球在距离抛出点以上的位置停留的时间约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意可知：，，则，即，解得，因为，所以，所以停留的时间约.
故答案为：A.
【分析】将初始值代入求得解析式，转化为解不等式，即可求解.
8．函数是上的增函数，点，是其图象上的两点，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为函数是的增函数，点，再图象上，所以，又因为，所以，即，解得.
故答案为：B.
【分析】由于函数在上为增函数，可得，，根据函数的单调性转化为，求解即可.
二、多选题（共4小题，每题5分，共20分；每小题至少有两个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有一个错误选项得0分）
9．（2021高一上·盐城期中）给出下列四个对应，其中构成函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】A项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，A符合题意；
B项：自变量没有对应的数字，不能构成函数，B不符合题意；
C项：自变量同时对应了两个数字，不能构成函数，C不符合题意；
D项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，D符合题意，
故答案为：AD.
【分析】根据函的定义逐项进行判断，可得答案.
10．（2023高三上·潮安）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数与定义域，对应关系和值域都相同，故函数为同一函数，故A正确；
B、函数与的定义域为，但对应关系不同，所以两函数不是同一函数，故B错误；
C、函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以两函数不是同一函数，故C错误；
D、函数与的定义域为，由与函数的定义域和对应关系一致，所以两函数为同一函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域，再判断两函数的定义域、对应关系和值域是否一致即可判断两函数是否为同一函数.
11．（2020高一上·苏州期中）已知函数 的图象由如图所示的两条线段组成，则（ ）
A．
B．
C． ，
D． ，不等式 的解集为
【答案】A,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】A. 因为 ， ，所以 ，正确；
B. ， ，所以 ，错误；
C. 由图得，当 时，设解析式为 ，图象经过 ，所以 ，解得 ，所以 ；
时，设解析式为 ，图象经过 ，所以 ，解得 ，所以解析式为 ；即 ， ，正确；
D. 由C得 ， ，如图：
所以不存在大于零的 ，使得不等式 的解集为 ，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用分段函数的图象求出函数值、比较出函数值的大小关系、用待定系数法结合已知条件求出分段函数的解析式、由图像求出满足要求的不等式 的解集 。
12．关于x的不等式的解集可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，原不等式转化为，解得，即不等式的解集为；，
当时，，解得，即不等式的解集为；
当时，不等式为；
当时，不等式为，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
故答案为：BCD.
【分析】当时，先解不等式，再先因式分解，分、讨论不等式的解集即可.
三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：先化不等式为标准式，即，解得 ，故不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】先化不等式为标准式，再分解因式求解即可.
14．（2020高一上·太原月考）若 ，则 的最小值是 .
【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ， ，
所以
当且仅当 即 时，取等号，
所以 的最小值是8。
故答案为：8。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
15．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
16．（2023高一上·东莞期末）某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为 元．
【答案】1440
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设 长为 ， 则 ，
即
，
所以
.
当且仅当 ，
即 时， 等号成立，
所以当 时， 取最小值为1440 .
故答案为：1440.
【分析】利用已知条件结合矩形的面积和求和的方法建立函数的模型，再结合均值不等式求最值的方法得出绿化花园总造价S的最小值。
四、解答题（共6小题，第17题10分，其他题每题12分，合计70分）
17．已知全集，集合，.
（1）求，；
（2）求，并写出它的所有真子集.
【答案】（1）解：由题设，，，
所以，.
（2）解：由（1）知：，则
对应真子集有，
【知识点】子集与真子集；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）由题意可得集合，再根据集合的交、并运算求解即可；
（2）由（1）可知，利用集合的交并补运算求得，再根据真子集的概念写其真子集即可.
18．设集合，
（1）若时，求，
（2）若，求的取值范围
【答案】（1）解：∵，，
∴当时，则，所以，
或，又，
所以或.
（2）解：∵， ∴，
∴当时，则有，即，满足题意；
当时，则有，即，
可得，解得：.
综上所述，的范围为或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）当时，集合，再根据集合的交、并补运算计算即可；
（2）由可得，分和列不等式求解即可得得取值范围.
19．给定函数.
（1）在同一直角坐标系中画出函数的图像；
（2）表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值.
【答案】（1）解：对于，过作一条直线即可得到的图象，
对于是对称轴为，开口向上的抛物线，
过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示，
（2）解：由，得或，结合图象，
可得的解析式为，
结合图象可知，当时，.
【知识点】函数的图象
【解析】【分析】（1）取特殊点，描点、连线画出即可；
（2）根据题意，结合（1）的图象即可得函数的解析式，根据图象求其最小值即可.
20．已知函数，．
（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：函数在上单调递增.
证明如下：，，
任取，可知，
因为，所以，，，
所以，即，故在上单调递增；
（2）解：由（1）知：在上单调递增，
由，可得，解得
故实数m的范围是．
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明即可；
（2）由（1）知函数在上单调递增，再由可得不等式组，求解即可.
21．已知不等式的解集为或．
（1）求的值；
（2）解不等式．
【答案】（1）解：因为不等式的解集为或
所以的根为.
时，；
所以，即，所以，所以.
（2）解：由（1）知，，即，
即，
当时，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
综上，时，不等式的解集为，时，，不等式的解集为，时，不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据不等式的解集为或，转化为方程的根为，代入即可求得的值；
（2）由（1）可知不等式为，分解因式可得，再分，，三种情况解不等式即可.
22．已知是一元二次函数，满足且
（1）求函数的解析式．
（2）函数在数学史上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，，设若使成立的实数a，b，c有且仅有三个且互不相等．求的取值范围．
【答案】（1）解：由题可设
所以得，
∴，，；
（2）解：当时，，所以，
当时，，所以，
不妨设，由题可得函数的大致图象，
由（1）可知函数的对称轴，，可得根据对称性知，
又由，可得，由，可得，
由图可知，
所以，
故.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意设函数的解析式，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）根据已知条件求得函数的解析式并画出函数图象，设，数形结合再利用（1）即可求得的取值范围.
