高2023级高一上期期中考试
数 学 试 题
（考试时间：120分钟；总分150分 ）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（非选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“，”的否定是：，.
故选：C
2. 设集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算，再计算交集得到答案.
【详解】，，.
故选：A
3. 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依次判断各选项中的函数是否满足定义域和值域要求即可.
【详解】对于A，函数在处有意义，不满足定义域为，A错误；
对于B，函数的定义域为，值域为，满足题意，B正确；
对于C，函数在处有意义，不满足定义域为，C错误；
对于D，函数在处有意义，不满足定义域为，D错误.
故选：B.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过求出两不等式的解，即可得出结论.
【详解】由题意，
在中，或，
在中，或，
∴“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
解得，或.
故选：A．
6. 已知且，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】变换，利用均值不等式计算最值即可.
【详解】，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：C.
7. 若函数满足对任意的实数都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，需要保证每段函数在对应区间为增函数，且在分割点处需要满足函数值对应的关系即可，列出不等式求解，则问题得解.
【详解】因为函数满足：
对任意的实数，都有成立，
所以函数在（-∞，+∞）上是增函数，
所以在（-∞，1），（1，+∞）上均单调递增，
且-12+2a×1≤（2a-1）×1-3a+6，
故有，
解得1≤a≤2．
所以实数a取值范围是[1，2]．
故选：B．
【点睛】本题考查根据函数单调性求参数范围的问题，属基础题.
8. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数是上的减函数，且为偶函数，考虑和两种情况，根据函数的单调性和奇偶性解不等式得到答案.
【详解】对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数，，不妨设，
都有，所以有，
所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，有
所以有，所以为偶函数，
所以在上单调递增.
①当，即时，有，由，
得，所以，解得，此时无解；
②当，即时，由，得，
所以，解得或.
综上所述：不等式的解集为.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合，则下列表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先求得集合，集合元素与集合的关系，集合与集合的关系，即可求解.
【详解】由方程，解得或，所以集合可表示为，所以C正确，
根据元素与集合的关系，可得，，所以A正确，B不正确，D不正确.
故选：AC.
10. 某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（ ）
A. 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B. 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C. 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D. 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
【答案】BC
【解析】
【分析】由图（1）可设关于的函数为，，，分析出为票价，为固定成本，根据图（2）和图（3）图像的变化，即可分析出正确答案．
【详解】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价，
当时，，则为固定成本；
由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确；
由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误；
故选：BC．
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则；
B. 若正数a、b满足，则；
C. 若，则的最大值是；
D. 若，，，则的最小值是8；
【答案】BD
【解析】
【分析】举反例得到A错误，根据函数的单调性计算最值得到C错误，利用均值不等式计算最值得到BD正确，得到答案.
【详解】对选项A：取，，，则，，错误；
对选项B：，则，
，
当且仅当，即时等号成立，正确；
对选项C：在上单调递减，故函数的最大值为，错误；
对选项D：，，，故，，
，
当且仅当，即，时等号成立，正确；
故选：BD
12. 已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 满足不等式的的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】令求出值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明单调性可判断B；由以及可判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：令，得，所以，故选项A正确；
对于B：令，得，所以，
任取，，且，则，
因为，所以，所以，所以在上单调递增，故选项B正确；
对于C：
，故选项C不正确；
对于D：因为，由可得，所以，
所以不等式等价于即，
因为在上单调递增，所以 解得：，
所以原不等式的解集为，故选项D正确；
故选：ABD．
【点睛】利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求得，再由单调性确定最终结论．
【详解】由题意，解得或，时，在上递减，时，在上递增，所以．
故答案为：3.
14. 不等式的解集是，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解集可得求a、b，即可确定目标式的结果.
【详解】由题设，，可得，
∴.
故答案为：
15. 已知函数，且，则、的大小关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】，两边平方，化简得到答案.
【详解】，故，即，
故，即，
即.
故答案为：.
16. 设定义域为R的函数，且，则x的值所组成的集合为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先换元，令求出的范围，从而对进行分类讨论求方程的根即可.
【详解】令，
当时，有单调递增，
所以此时，
当时，有，
当时，有单调递增，
所以此时，
综上所述，
将方程转化成，
由以上分析可知当且仅当，或时，，
即当且仅当或，
由以上分析可知：
当时， 有，此时方程无解，
当时，有，此时存在使得恒有解，即此时的解集为，
当时，有，所以，
又，所以.
综上所述：满足题意的x的值所组成的集合为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是换元，令求出的范围，从而分类讨论即可顺利求解.
四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，第18－22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合，，．
（1），求；
（2）若，求实数的取值集合．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定得到或，再计算交集得到答案.
（2）根据得到，解得答案.
【小问1详解】
当时，，故或，
又，故；
【小问2详解】
，所以需满足，解得，故的取值集合为.
18. 已知函数，且.
（1）判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）函数在上是单调递增，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；
（2）根据单调性即可得出函数在上的值域.
【小问1详解】
单调递增，由题意证明如下，
函数，且，有，解得，
所以的解析式为：.
设，且，有.
由，得，则，即.
所以在区间上单调递增.
【小问2详解】
由（1）知在上是增函数，
所以在区间上的最小值为，最大值为，
所以在上的值域为.
19. 已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．
（1）分别求函数和的解析式；
（2）设，，求的最小值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）通过构造方程组的方法求得，设，根据已知条件可得的解析式；
（2）求出，分、、讨论可得答案.
【小问1详解】
定义在上的函数满足①，
可得②，
由①②可得；
设二次函数，
因为的最小值为，且，
所以，解得，
可得；
【小问2详解】
，
当时，在上单调递增，
所以，
当时，在上单调递减，
所以，
当时，所以，
所以．
20. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
【答案】（1）
（2）公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【小问1详解】
根据题意得，
当时，，
当时，，
故
【小问2详解】
当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减，
此时．
当时，，当且仅当时，等号成立．
因为，故当时，取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片．
21. 已知函数.
（1）若不等式解集是空集，求m的取值范围；
（2）当时，解不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）对二次项系数分类讨论，与，当时， ，求解不等式组即可得解；
（2）分，和三种情况解不等式.
【小问1详解】
①，即时，解集不是空集，舍去，
②时，即时，，
即，∴，
解得，
∴的取值范围是；
【小问2详解】
∵化简得：，
①时，即时，解集为，
②时，即时，，
，解集为或，
③时，即时，解集为，
∵，∴，
∴，
∴解集为.
综上，时，解集为或；
时，解集为；
时，解集为
22. 设，函数.
（1）若，在直角坐标系中作出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间.
（2）若函数的图象关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的范围.
【答案】（1）图象见解析，单调递减区间为，；单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）确定函数的解析式，根据解析式画出函数图像，根据图像得到单调区间；
（2）确定函数为奇函数，计算，变换，构造，根据函数的单调性计算最值得到范围.
【小问1详解】
，的图象如下：
由图知：在，上递减，在上递增，
故单调递减区间为，；单调递增区间为.
【小问2详解】
的图象关于点对称，即关于原点对称，
所以奇函数，则，
所以，即在上恒成立，
所以，故，则，
故，
所以，则恒成立，即，
由，
令，构造函数.
任取，且，
因为，所以，函数在上递增.
所以，故，
综上所述：，即.高2023级高一上期期中考试
数 学 试 题
（考试时间：120分钟；总分150分 ）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（非选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 设集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
3. 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D.
6. 已知且，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
7. 若函数满足对任意实数都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合，则下列表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（ ）
A. 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B. 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C. 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D. 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
11. 下列命题正确的是（ ）
A 若，，则；
B. 若正数a、b满足，则；
C. 若，则的最大值是；
D. 若，，，则的最小值是8；
12. 已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A
B. 函数在上单调递增
C.
D. 满足不等式的的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是______．
14. 不等式的解集是，则______．
15. 已知函数，且，则、的大小关系是________．
16. 设定义域为R的函数，且，则x的值所组成的集合为______.
四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，第18－22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合，，．
（1），求；
（2）若，求实数的取值集合．
18. 已知函数，且.
（1）判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明；
（2）求在上的值域.
19. 已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．
（1）分别求函数和的解析式；
（2）设，，求的最小值．
20. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
21. 已知函数.
（1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围；
（2）当时，解不等式.
22. 设，函数.
（1）若，在直角坐标系中作出函数图像，并根据图像写出函数的单调区间.
（2）若函数的图象关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的范围.
