荆州市2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则( )
A． B． C． D．
2.已知命题，则( )
A. B.
C. D.时，为真命题
3. ( )
A. B. C. D.
4．函数 的图象大致为（ ）
A B C D
5.若，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7．“”是“满足对任意都有成立”的( )
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于
点对称，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.对任意实数，都有
D.若二次函数，实数，则
10.已知函数，则( )
A.在上单调递增
B.的值域为
C.不等式的解集为
D.若在上单调递减，则实数的取值范围为
11．已知min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值，设函数，则下列说法
正确的是（ ）
A． B．函数为偶函数
C．函数的最小值为0 D．当时，，则a的取值范围为
12．已知不等式对恒成立，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则的值为 .
14．已知幂函数在上单调递减,若，则a的取值范围为 .
15.已知函数在上的最大值为，则实数的值为_____.
16．已知图象连续不断的函数是定义域为的偶函数，若对任意的,，当时，
总有，则满足不等式的a的取值范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10分)
已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）设，，求实数a的取值范围.
18.(12分)
若关于的不等式的解集是.
（1）求实数的值；
（2）当时，求的最小值.
19．(12分)
已知函数是增函数，且.
（1）若,，求的最小值；
（2）是否存在实数，使得当时，函数的最小值恰为，而最大值恰
为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
20．(12分)
已知函数的图象过点和.
（1）求证：是奇函数，并判断的单调性（不需要证明）；
（2）若，使得不等式都成立，求实数的取值范围.
21. (12分)
先看下面的阅读材料：
已知三次函数（）, 称相应的二次函数为的
“导函数”，研究发现，若导函数在区间上恒成立，则在区间上单调递增；若导函数在区间上恒成立，则在区间上单调递减.
例如：函数，其导函数
，由，得， 由，得或，
所以三次函数在区间上单调递增，在区间和上单调递减.
结合阅读材料解答下面的问题：
（1）求三次函数的单调区间；
（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分），
形状为直角梯形（线段和为两条底边，），已知，，，其中曲线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．
①设，求出梯形的面积与的解析式；
②求该公园的最大面积．
22．(12分)
已知函数,.
（1）当时，求的单调区间；
（2）如果关于的方程有三个不相等的非零实数解，，，求的取值范围.荆州市2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试题 参考答案
1.D 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D
9.BCD 10.ACD 11.BC 12.ABC
13.【答案】34 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】
17. 【解】.
（1）当时,,
. ………………………5分
（2） ，,又，，，，
实数a的取值范围为. ………………………10分
18.【解】（1）不等式的解集是，
和是方程的两个根， ,. ……………6分
（2）当时，即时，
，
当且仅当，即时取等号，故. ………………12分
19. 【解】，，，或，
又函数是增函数，，，.
………………3分
（1）由，得，，又，
，
当且仅当，即，时取等号，故的最小值为. …………7分
（2） 为增函数，当时，函数的最小值为，
最大值为，由，得 ，，
，是方程的两个根，，，，
存在， 满足要求. ………………12分
20.【解】函数的图象过点和.
，，，，，或，但，
，于是. ………………3分
（1）, 为奇函数.
为增函数，为减函数， 为增函数. ………………7分
（2）是奇函数， 不等式即
，又为增函数，，即，，
设，，且，有，
，，，，故在上单调递减，
，，实数的取值范围为. （没有证明的单调性扣2分）
………………12分
21.【解】（1）的导函数为,
由，得， 由，得或，
所以三次函数在区间上单调递增，在区间和上单调递减.
………………4分
（2）①以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设曲线所在抛物线的方程为（），
抛物线过，，得，所在抛物线的方程为，
又，，则所在直线为，（），
则，，
公园的面积（），
………………9分
②由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值．
故该公园的最大面积为．………………12分
22.【解】（1）当时，，
如图，据二次函数的性质可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （区间非无穷端开闭均可）
………………4分
（2），
当时，当时，方程的判别式，
可知方程无解，所以此时不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，方程有个不相等的实数根，且在上递增，
所以时，有个根，且时，有个根，
所以只需满足，解得，综上：取值范围是.
………………7分
不妨设，则，
所以
，
因为，则，可得，
所以.
故的取值范围为.
………………12分
