宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高二上学期11月月考
数学试卷 参考答案
单选题：1.B 2.C 3.C 4.C 5. D 6. A 7.B 8.A
多选题 9.ABC 10.BCD 11.ACD 12.ACD
三、填空题：13.-2 14. 15. 16.[90,165]
四、解答题：
17. 解：由题意知，， ……………………………（1分）
，， ……………………………（2分）
边所在直线的方程为， ……………………………（3分）
即． ……………………………（4分）
由题意知，． …………………………….（5分）
菱形的对角线互相垂直，， ……………………………（6分）
， ……………………………（7分）
而的中点也是的中点， ……………………………（8分）
对角线所在直线的方程为， ……………………………（9分）
即． ……………………………（10分）
18.解：）， ……………………………(1分）
甲组名同学成绩的第百分位数为． ……………………………（3分）
由频率分布直方图可知：乙组名同学成绩的平均数为：
．……（7分）
甲组名同学的成绩不低于分的有个，记作、
乙组名同学的成绩不低于分的有个，记作、、．……（8分）
记事件为“取出的个成绩不是同一组”，任意选出个成绩的所有样本点为：，，，，，，，，，，共个，………………（10分）
其中两个成绩不是同一组的样本点是：，，，，，，共个， ……………………………（11分）
． ……………………………（12分）
19证明：因为平面，平面，所以，
因为为正方形，所以， ……………………………（1分）
又因为，、平面，所以平面，……………………………（2分）
又因为平面，所以，
因为，点为线段的中点，所以， ……………………………（3分）
又因为，、平面，所以平面， ……………………………(4分）
又因为平面，所以平面平面． ……………………………（5分）
因为平面，、平面，所以，，
又，所以、、两两垂直．
以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．………………………（6分）
设正方形的边长为，则，，，，，，所以，，，
设点的坐标为，则，…………（7分）
设平面的法向量为，
由，得令，则， ……………………………（8分）
设平面的法向量为，
由，得令，则， ……………………………（9分）
因为平面与平面所成的锐二面角为，
所以， ……………………………（10分）
解得， ……………………………（11分）
故当点为中点时，平面与平面所成的锐二面角为．…………………………（12分）
20.解：因为圆心在直线：上，且在轴上，则圆心，………………（1分）
又圆的半径为，故圆的方程为， ……………………………（2分）
依题意，可知点在圆外，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； …………………………… （3分）
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
则有，解得， ……………………………（4分）
故切线方程为，即． ……………………………（5分）
综上所述，切线方程为或； ……………………………（6分）
因为圆心在直线：上，设圆心，
则圆：， ……………………………（7分）
设，因为，
则， ……………………………（8分）
化简整理可得， ……………………………（9分）
所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆，由题意可知，圆和圆有公共点，……（10分）
故，即， ……………………………（11分）
即，解得，
所以圆心的横坐标的取值范围为． ……………………………（12分）
21.解：设事件为“第三局结束乙获胜”．由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为．
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有种情况：胜，不胜，胜，不胜，胜，胜．
故． ……………………………（4分）
设事件为“甲获胜”．
若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率．……………………………（5分）
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有种情况：胜，不胜，胜，不胜，胜，胜．
此时的概率． ……………………………（7分）
若第四局结束甲以积分分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为胜平或胜平负，
总共有种情况：胜，平，平，胜，平，胜，平，胜，平，平，胜，胜，胜，平，负，胜，胜，负，平，胜，平，胜，负，胜，负，胜，平，胜，平，负，胜，胜，负，平，胜，胜．
此时的概率． ……………………………（9分）
若第四局结束甲以积分分获胜，则乙的积分为分，总共有种情况：胜，平，平，平，平，胜，平，平，平，平，胜，平，平，平，平，胜．
此时的概率． ……………………………（11分）
故． ……………………………（12分）
22. 解：由题意可得：， ……………………………（1分）
所以， ……………………………（2分）
故点的轨迹是以、为焦点的椭圆， ……………………………（3分）
则，，，故点的轨迹的方程为 …………（4分）
由题意，设直线的方程为，
联立，整理可得：，，
设，，则，， ……………………………（5分）
因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，
所以，由，，
则， ……………………………（6分）
将，，代入上式并整理得：
，
则， ……………………………（7分）
化简可得，解得：或， ……………………………（8分）
因为直线不过点，所以，故，所以直线恒过点．………（9分）
故
……… （10分）
设，
则在上单调递增， ……………………………（11分）
当时，，
所以的面积的最大值为． ……………………………（12分）宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高二上学期11月月考
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A.0 B.2 C. D.
3.在某次演讲比赛大赛上，七位评委为某位选手打出的分数分别为，，，，，，，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.从甲袋内摸出个红球的概率是，从乙袋内摸出个红球的概率是，从两袋内各摸出个球，则等于( )
A. 个球不都是红球的概率 B. 个球都是红球的概率
C. 至少有个红球的概率 D. 个球中恰好有个红球的概率
5.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点， 则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.若椭圆的中心为坐标原点、焦点在轴上，顺次连接的两个焦点、一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接的四个顶点构成四边形的面积为，则的方程为( )
A. B. C. D.
7.若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，下列运算结果，正确的有( )
A. B. C. D.
10.已知圆：，过点直线与圆交于，两点．下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为4
C. 的最大值为 D. 线段中点的轨迹为圆
11.已知椭圆的左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点，的面积为，设的离心率为，，则( )
A. B.
C. D.
12.如图，棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段上存在点，使平面平面
C. 当时，直线与所成角的余弦值为
D. 三棱锥的外接球半径的最大值为
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 直线与直线平行，则_________.
14. 圆关于直线对称的圆的方程是_______________．
15.如图，在平行六面体中，，，，，，点为棱的中点，则线段的长为 ．
过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为 .
解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知菱形中，，，边所在直线过点求：
边所在直线的方程
对角线所在直线的方程．
18.（12分）
某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛满分分，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力。现抽取了甲组名同学的成绩记录如下：甲：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，抽取了乙组名同学的成绩，将成绩分成，，，，五组，并画出了其频率分布直方图．
根据以上记录数据求甲组名同学成绩的第百分位数；
估计乙组名同学成绩的平均分同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替；
现从甲乙两组同学的不低于分的成绩中任意取出个人的成绩，求取出的个人的成绩不在同一组的概率．
19.(12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点为线段的中点，点为线段上的动点．
求证：平面平面．
试确定点的位置，使平面与平面所成的锐二面角为．
20.(12分）
已知点，直线：，又圆的半径为，圆心在直线上．
若圆心又在轴上，过点作圆的切线，求切线方程；
若在圆上存在点，满足，求圆心的横坐标的取值范围．
21.(12分）
甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜局得分，负局或平局都不得分，积分先达到分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
求第三局结束时乙获胜的概率；
求甲获胜的概率．
22.（12分）
已知定点，圆，为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点．
求点的轨迹的方程；
直线与曲线相交于，两点，且以线段为直径的圆经过点，求面积的最大值．
