2023-2024学年江苏省苏州市吴中区吴中区碧波中学九年级上学期10月月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.方程的解是( )
A. B.
C. ， D. ，
2.下列方程中，没有实数根的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，则( )
A. B. C. D.
4.已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是
( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
5.一花户，有长的篱笆，要围成一边靠住房墙墙长的面积为的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个的门，设垂直于住房墙的其中一边长为，则可列方程为
( )
A. B. C. D.
6.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
( )
A. B. C. D. 且
7.如图，是的直径，直线切于点，、是上的点，且弦，，则的度数为
( )
A. B. C. D.
8.若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的直径为
( )
A. B. C. 或 D. 无法确定
9.如图，在中，以为直径的，交的延长线于点，交于点连接，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图，矩形的宽为，长为，是矩形内的动点，，则最小值为
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.若方程的两个实数根为，，则_____．
12.已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是_____．
13.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量为辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程为_____．
14.如图，在平面直角坐标系中，点，，点是的外接圆的圆心，则点的坐标为．
15.如图，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为_______ ．
16.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，如图所示，则这个小圆孔的宽口的长度为___．
17.如图，点是的内心．若，，则的度数是_______．
18.如图，点为外一点，连接，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，连接，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，已知，，则的长为_____．
19.已知：、是方程的两根，则_____．
20.如图，在扇形中，点，在弧上，将弧沿弦折叠后恰好与，相切于点，已知，，则折痕的长为__．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21.本小题分
解方程：
；
；
；
．
22.本小题分
关于的一元二次方程．
求证：无论取何值．原方程总有两个不相等的实数根；
若是原方程的两根，且，求的值．
23.本小题分
如图，在中，，，以为直径作交于点，点在边上，且满足．
求的度数；
求证：直线与相切．
24.本小题分
如图，点、、是上的三点，．
求证：平分．
过点作于点，交于点若，，求的长．
25.本小题分
如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
求证：点为的中点；
若，，求的长；
若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
26.本小题分
定义：有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”例如：凸四边形中，若，则称四边形为准平行四边形．
如图，，，，是上的四个点，延长到，使求证：四边形是准平行四边形；
如图，准平行四边形内接于，，，若的半径为，，求的长；
如图，在中，，，，若四边形是准平行四边形，且，请直接写出长的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可．
【详解】解：直接开平方得：，
方程的解为：，，
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
2.【答案】
【解析】【分析】根据根的判别式依次判断即可．
【详解】、，，有实数根，故 A选项错误；
B、，，有实数根，故 B选项错误；
C、，，没有实数根，故 C选项正确；
D、，，由实数根，故 D选项错误；
故选C．
【点睛】本题是对一元二次方程根的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案．
【详解】解：，
．
故选：．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦的关系，关键是掌握：在同圆或等圆中，圆心角，弧，弦的关系．
4.【答案】
【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系的判断方法求解即可得到答案．
【详解】解：的半径为，点到直线的距离为，
，
直线与的位置关系是相离，
故选：．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边的长为，
根据题意得：．
故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于的一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到，列得，即可求出答案．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
故选：．
【点睛】此题考查利用一元二次方程根的判别式求参数：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】如图，连接，由弦切角定理知，由是的直径得，接着求出；再根据圆内接四边形的对角互补可以求出，而由得到，由此求出，求出．
【详解】解：如图，连接，
直线切于点，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查弦切角定理，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，等边对等角等知识点．掌握弦切角定理和圆内接四边形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】由于点与的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：设的直径为，
当点在圆外时，；
当点在内时，．
故选C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
9.【答案】
【解析】【分析】连接，根据圆周角定理求出，根据圆周角定理求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可．
【详解】解：连接，
，
，
是的直径，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角；直角三角形两锐角互余；熟记定理并应用是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】由知点在以为直径的半上，连接交于点，当点位于点位置时，线段取得最小值，利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，
，
点在以为直径的半上，
连接交于点，
当点位于点位置时，线段取得最小值，
，
，
，
，
则，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据知点在以为直径的半上是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：方程的两个实数根为，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握、是一元二次方程的两个根，则，是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】若半径为，点到圆心的距离为，根据当时，点在圆外即可求解．
【详解】解：的半径为，点在外，
点到圆心的距离的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判断．解题的关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】根据第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量为辆列方程即可．
【详解】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，
根据题意可得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系列方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】根据网格特点找出和的垂直平分线即可找出点的位置即可．
【详解】解：分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心，如图，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线的性质，正方形的性质，利用外心的定义找出点的位置是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】根据圆外一点引出圆的两条切线相等即可求得三角形的是的两倍．
【详解】因为为圆外一点，和为圆的切线，所以，
同理，，，
所以，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】本题关键在于要了解圆外一点引出的圆的两条切线，这两条切线的长度相等
16.【答案】
【解析】【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口的长度的一半，最后乘以即为所求．
【详解】连接，过点作于点，
则，
钢珠的直径是，
钢珠的半径是．
钢珠顶端离零件表面的距离为，
．
在中，，
故答案为
【点睛】本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键．
17.【答案】
【解析】【分析】根据三角形内心的性质求出和的度数，再由三角形的内角和求出的度数，即可得出结论．
【详解】点是的内心，，，
，
，
，
故答案是
【点睛】本题主要考查了三角形的内心的性质和三角形的内角和，正确掌握三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】连接，利用基本作图得到垂直平分，则，根据等边对等角和三角形内角和定理可得到，再根据勾股定理可得答案．
【详解】解：连接，
由作图可得：垂直平分，
，
以点为圆心，长为半径画弧交于点，且，，
，
，，，
在中，，
，即，
，
，
的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理和三角形内角和定理．
19.【答案】
【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，即，，再把化简为用和的一次式表示得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：、是方程的两根，
，且，，
，
，
，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键，也考查一元二次方程的解的定义，运用了整体代入和恒等变换的思想．
20.【答案】
【解析】【分析】根据对称性作关于的对称点，则，连接交于，则点都在以为圆心，半径为的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．
【详解】作关于的对称点，则
连接交于
将沿弦折叠
点都在以为圆心，半径为的圆上
将沿弦折叠后恰好与，相切于点．
四边形中
即的度数为；
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】，
，
，
，
【解析】【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
利用配方法求解即可；
整理后利用公式法或因式分解法求解即可；
利用公式法求解即可．
【详解】解：，
，
即，
或，
，；
，
，
，
，
，；
，
整理得：，其中，，，
，
，
，；
法二：，
，
或，
；
，其中，，，
，
，
，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法、公式法、配方法及直接开方法是解题的关键．
22.【答案】见解析
，．
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案；
根据一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程即可求出答案．
【详解】证明：
无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
解：，
，
又
，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系．
23.【答案】；证明见解析．
【解析】【分析】根据，利用圆周角定理即可求得的度数；
连接，利用证明≌，根据全等三角形的性质可得，即可证明直线与相切．
【详解】解：，
；
证明：连接，
在和中，
，，，
≌，
得到，
直线与相切．
24.【答案】证明见解析；．
【解析】【分析】用平行线及角平分线的性质证明平分；解直角三角形即可．
【详解】，
．
，
．
，即平分．
，
．
又，，．
．
．
的长是．
考点：圆；平行线的性质；角平分线的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值．
25.【答案】见解析
【解析】【分析】利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点；
证明为的中位线得到，然后计算即可；
作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值．
【详解】是的直径，
，
，
，
，
，
即点为的中点；
解：，
，
而，
为的中位线，
，
；
解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点和点关于对称，
，
，
作于，如图，
则，
则，
在中，，
，
，
的最小值为．
【点睛】此题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路径问题、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相关的定理内容并灵活应用是解题的关键．
26.【答案】证明见解析
【解析】【分析】根据等边对等角可得，由圆的内接四边形的性质可得，可得结论；
如图，连接，由准平行四边形定义可知，可得是直径，由勾股定理可求，将绕点顺时针旋转得到，可得，，，，由勾股定理可求的长；
如图，作的外接圆，过点作于，于，由准平行四边形定义可求，可得，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求，，由勾股定理可求，由当点在的延长线时，的长有最大值，即可求解．
【详解】证明：，
，
，，，是上的四个点，即四边形是圆内接四边形，
，
，
四边形是准平行四边形；
解：如图，连接，
，，
，，
，
四边形是准平行四边形，
，
四边形是圆内接四边形，
，，
，
是的直径，
的半径为，，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，，，
，
，
，
、，三点共线，
，
，
，
或负值不符合题意，舍去，
的长为；
如图，作的外接圆，过点作于，于，
，，，
，，，
，
四边形是准平行四边形，且，
，
，且，，
，，
设，则，
，即，
或负值不符合题意，舍去，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
当点在的延长线时，的长有最大值，
长的最大值为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的基本性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边对等角，旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，理解准平行四边形的定义是解题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点．
第1页，共1页
