2023--2024 学年度第二学期
北京 高三数学
期中考试试卷
一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 4分,共 40 分.
2
1. 已知集合 A x x 3x 2 0 ， B x x 1 ，则 A B=（ ）
A. , 2 B. 1，+ C. 1， D. 1，+
2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
1
A. y x 2 B. y= x3 C. y= sin x D. y= lg x
3. 已知向量 a=(x 1,2),b=( 1,x) . 若a 与b垂直，则 | b |=（ ）
A.1 B. 2 C.2 D.4
4. 已知直线m 平面 ，n表示直线， 表示平面，有以下四个结论：① m / / ；
②m / /n，n ；③n / / m n；④若 与 m相交，则 与 相交.其中正确
的结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5. ABC 中，“ A ”是“sin A 2 ”的（ ）条件
4 2
A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分且必要 D.既不充分也不必要
6.函数 y 2sin( x )在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）
y 2sin(x 3 ) x 7
A. 8 B． y 2sin( )
2 16
C． y 2sin(2x ) D． y 2sin(2x )
4 4
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7.若 an 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，把 an 的每一项都减去 2 后，得到一个新数
列 b *n ，设 bn 的前n项和为 Sn，对于任意的 n∈N ，下列结论正确的是 ( )
1 n 1
A．b nn＋1＝3bn，且 Sn＝ (3 －1) B．bn＋1＝3bn－2，且 Sn＝ (3 －1)
2 2
1 n 1b nC． n＋1＝3bn＋4，且 Sn＝ (3 －1)－2n D．bn＋1＝3bn－4，且 Sn＝ (3 －1)－2n
2 2
8.已知向量 a (sin , cos )，b (3, 4)，若 a∥b，则 tan 2 等于（ ）
24 6 24 24
A. B. C. D.
7 7 25 7
9.在直角梯形 ABCD中，已知 BC∥ AD， AB AD， AB 4， BC 2， AD 4，
若 P为CD的中点，则 PA PB的值为（ ）
A． 5 B． 4 C． 4 D．5
10.“开车不喝酒，喝酒不开车”。一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到
0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少，为了保障交通安
全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL，
那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车？(精确到 1 小时)
（参考数据： lg 2 0.3, lg3 0.5）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题：本大题共 5 小题,每小题 5分,共 25 分.
11. 记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4 0，a5 5，则 an __________.
12. 平面向量 a,b 满足a (a + b)=3，且 a = 2, b =1，则向量a 与b 的夹角为______.
13.从一个正方体中，如图那样截去 4 个三棱锥后，得到一个正三棱锥 A—BCD，
则它的体积与正方体体积的比为______；
它的表面积与正方体表面积的比为_______。
π π
14. 将函数 y 3sin(2x﹢ )的图象向右平移 个单位长度，则平移后的
4 6
图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 ．
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x2 3x, x 0,
15.已知函数 f x 以下结论正确的序号是_________. f x 3 , x 0,
① f x 在区间[7,9]上是增函数
② f 2 f 2022 2
6
③若函数 y f x b在 ,6 上有 6 个零点 xi i 1,2,3,4,5,6 ，则 6 个零点的和 xi 9
i 1
④若方程 f x kx 1 1 恰有 3 个实根，则 k 1,
3
三、解答题: 本大题共 6 小题,共 85 分.
16.（本小题 13 分） 在△ABC中，bsin A= acos(B- )．
6
（Ⅰ）求 B；
（Ⅱ）若 c= 5， ．求 a .
从① b
= 7， ②C= 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
4
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
17.（本小题 13 分） 已知等差数列{an}满足 a1 =1 a2 +a4 =10
(Ⅰ) 求{an}的通项公式；
(Ⅱ) 若等比数列 bn ，b1 a1 0, b2 a2 0，求 bn 的通项公式；
(Ⅲ) 若 cn = an +ba ，求数列{cn}的前 n项和.n
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18.（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形．且 PA 平
面 ABCD，M，N分别为PB,PD的中点．
（Ⅰ）求证：MN / /平面 ABCD；
（Ⅱ）求证：平面 PAD 平面 PCD ；
（Ⅲ）若 PA AB 2，求CN 与平面 PBD所成角的正弦值.
19.（本小题 15 分）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学
校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与
情况，在北京市中小学学校中随机抽取了 10 所学校，10 所学校的参与人数如下：
（Ⅰ）现从这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行调查. 求选出的 2 所学校参与越野滑轮
人数都超过 40 人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行指导，记 X 为教练
选中参加旱地冰壶人数在 30 人以上的学校个数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这 3 个动作进行
技术指导. 规定：这 3 个动作中至少有 2 个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导
前，该校甲同学 3 个动作中每个动作达到“优”的概率为 0.1.在指导后的考核中，甲同学
总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请
说明理由.
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20.（本小题 15 分）已知函数 f (x)= ln x ax+1,a R是常数．
（Ⅰ）求函数 y=f (x)的图象在点 P(1, f (1))处的切线 l的方程；
（Ⅱ）证明函数 y=f (x)(x 1)的图象在直线 l的下方；
（Ⅲ）讨论函数 y=f (x)零点的个数．
21．（本小题 15 分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，
我们把这样的操作称为该数列的一次“ Z 拓展”．如数列1，2第1次“ Z 拓展”后得到数
列1，3， 2，第 2次“ Z 拓展”后得到数列1， 4，3，5， 2．设数列 a，b， c经过
第 n次“Z 拓展”后所得数列的项数记为 Pn，所有项的和记为 Sn．
（Ⅰ）求 P1， P2；
（Ⅱ）若 Pn ≥ 2020，求 n的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数 a，b， c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求 a，b， c满足
的条件；若不存在，说明理由．
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