深大附属实验中学2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息.
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第I卷（选择题）
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列各结论中，正确的是（ ）
A.是空集
B.是空集
C.与是不同的集合
D.方程的解集是
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.或
3.若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
8.若关于的不等式对恒成立，则的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
10.下列各组函数表示相同函数的有（ ）
A.
B.
C.
D.
11.下列结论中，所有正确的结论有（ ）
A.若，则
B.当时，的最小值为4
C.若，则的最小值为2
D.若，则
12.若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域是__________.
14.计算：__________.
15.已知函数满足且，则__________.
16.对任意，给定，记函数，则的最小值是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.已知函数.
（1）若的解集为，求的值；
（2）当时，解不等式.
19.函数，且
（1）求的值；
（2）证明：为奇函数；
（3）判断函数在上的单调性，并加以证明.
20.已知函数为幂函数，且为奇函数.
（1）求的值；
（2）求函数在的值域.
21.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.
（1）设的长为米，试用表示矩形的面积；
（2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.
22.函数对任意实数恒有，且当时，.
（1）判断的奇偶性；
（2）求证：是上的减函数；
（3）若，解关于的不等式.
参考答案：
1.B
【分析】按照集合的定义逐个判断即可.
【详解】是以0为元素的非空集合，故A错误；
的，无实数根，故B正确；
相同集合的元素顺序可以不同，故C错误；
同一集合不能有相同元素，故D错误.
故选：B.
2.D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结果.
【详解】命题“”是存在量词命题，
又，
所以其否定为全称量词命题，即为“或”.
故选：D.
3.D
【分析】根据不等式的性质逐项判断.
【详解】对于由得，则，即，故A成立；
对于B：由得，则根据不等式的性质有，即，故成立；
对于C：由得，则，进而，故C成立；
对于D：由可得，故D不成立.
故选：D.
4.B
【分析】举出反例得到充分性不成立，两边平方得到必要性成立.
【详解】若，满足，不能得到，充分性不成立，
因为，若，两边平方得，必要性成立.
则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5.B
【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解.
【详解】因为不等式在上有解，
所以不等式在上有解，
令，则，
所以，
所以实数的取值范围是
故选：B
6.A
【分析】作直线分别与曲线相交，结合函数的单调性即可判断.
【详解】因为函数为增函数，所以，
所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的值为，
由图可知，曲线相应值为.
故选：A
7.C
【分析】利用一次函数与二次函数的单调性，结合分段函数的性质得到关于的不等式组，从而得解.
【详解】因为函数是上的减函数，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故选：C.
8.D
【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得的取值集合.
【详解】当时，不等式化为对恒成立；
当，要使得不等式对恒成立，则，
解得
综上，的取值集合为.
故选：D.
9.AC
【分析】根据集合的运算逐个判断即可.
【详解】或，
对于A：易知，所以正确；
对于，所以错误；
对于，所以，所以正确；
对于或，所以，所以，所以错误，故选：AC.
10.ACD
【分析】根据同一函数的定义，分别判断即可.
【详解】对于，可知两个函数的定义域均为，且，故A正确；
对于的定义域为的定义域为，故B错误；
对于的定义域为的定义域为，且，
故C正确；
对于，可知两个函数的定义域均为，且，故正确.
故选：ACD.
11.AD
【分析】利用不等式的性质及基本不等式，结合对勾函数的性质即可求解.
【详解】对于，因为，所以，
因此在不等式两边同乘得，故A正确；
对于，当，即时，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为-4，故B不正确；
对于C 令.因为，所以，
而，
因此的最小值就是函数的最小值.
又因为由对勾函数的性质知：函数在是增函数，
当时，函数取得的最小值为，
即的最小值为，故C不正确；
对于，因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
因此，故D正确.
故选：AD.
12.BD
【分析】先根据题目条件得到为奇函数，且在定义域内为单调递减函数，选项，为偶函数，错误；选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且单调递减；选项，在定义域内不是单调递减，错误；选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且由二次函数的单调性得到单调递减，D正确.
【详解】由（1）可知，为奇函数，由（2）可知，在定义域内为单调递减函数，
对于定义域为，又，故为偶函数，故A错误；
对于定义域为，又，故为奇函数，又在上单调递减，满足要求，正确；
对于分别在区间和上单调递减，在定义域内不是单调递减，错误；
对于D：，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，
所以在上是减函数，所以是“理想函数”，正确.
故选：BD
13.
【分析】根据二次根式的性质，结合分母不为零 零指数幂的定义进行求解即可.
【详解】函数，
则，即，即定义域是.
故答案为：
14.44
【分析】利用分数指数幂运算法则计算出答案.
【详解】.
故答案是：44.
15.
【分析】用替换，再解方程组可得答案.
【详解】由①，
用替换，得②，
①-②，得，得.
故答案为：.
16.4
【分析】根据定义及一次函数 二次函数的单调性计算最小值即可.
【详解】由定义可知当时，
解之得，此时，
当时，则，解之得或，
此时，
综上，
易知在上单调递减，最小值为4，在取得；
在上单调递增，在上单调递减，所以，
综上的最小值是4.
故答案为：4.
17.（1）；
（2）.
【分析】（1）解绝对值不等式求集合，再由并集运算求；
（2）由题设有，讨论求参数范围即可.
【详解】（1）由题设，
所以.
（2）由，
当时，；
当时，；
综上，.
18.（1）；
（2）答案见解析.
【分析】（1）由题设1，4是方程的两根，结合根与系数关系求参数，注意验证；
（2）由题设可得，讨论求对应解集即可.
【详解】（1）由题设的解集为，则1，4是方程的两根，
所以，经验证满足题设，
所以.
（2）由题设且，
所以，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为.
19.（1）1
（2）证明见解析
（3）函数在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据直接带入求解；
（2）根据奇函数定义证明即可；
（3）根据函数单调性的定义判断和证明即可.
【详解】（1）因为函数，且，
所以，所以.
（2）由（1）知，，定义域关于原点对称，
又因为，即，
所以为上的奇函数.
（3）函数在上单调递减，证明如下：
任取，且，
因为，
则
，
因为，且，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减
20.（1）
（2）
【分析】（1）根据幂函数得到或，再验证奇偶性得到答案.
（2）确定，函数在上单调递增，计算最值得到值域.
【详解】（1）函数为幂函数，则，解得或；
当时，为奇函数，满足条件；
当时，为偶函数，不满足条件，舍去.
综上所述：.
（2），函数在上单调递增，
故，故值域为
21.（1）
（2）的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.
【分析】（1）设的长为米，则米，由得到，然后由求解；
（2）由，利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：设的长为米，则米，
，
；
（2）记矩形花坛的面积为，
则，
当且仅当，即时取等号，
故的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.
22.（1）奇函数
（2）证明见解析
（3）答案见解析
【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法 奇偶性的定义分析运算即可得解.
（2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证；
（3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法 分类讨论法运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有，
令得，解得：.
取，则由得，
，即，
函数是奇函数.
（2）证明：任取，且，则，
当时，，
由得，
，
，
是上的减函数.
（3）解：由得，
由得，
则，
不等式可化为，
是上的减函数，
，即……①
（i）当时，不等式①式即为，解得：，
即原不等式解集为；
（ii）当时，不等式①式化为，
即，
若，上式不等式即为，解得：，
即原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
（iii）当时，不等式（1）式化为，即，
此时原不等式解集为；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
【点睛】方法点睛：
1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.
2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用.
