3.2双曲线 练习
一、单选题
1．已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．下列结论正确的个数为（ ）
①已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则的重心的轨迹方程为
②若动点满足，则点的轨迹为双曲线；
③动点到直线的距离减去它到的距离之差是2，则点的轨迹是抛物线；
④点为椭圆的右焦点，点为椭圆上任意一点，点，则的最小值为5；
⑤斜率为2的直线与椭圆交于，两点，点为的中点，直线的斜率为（为坐标原点），则椭圆的离心率为．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知是双曲线的上 下焦点，直线且与双曲线交于两点，若是正三角形且点是的内心，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．
C． D．
4．双曲线上一点关于一条渐近线的对称点恰为左焦点，则该双曲线的标准方程为( )
A． B． C． D．
5．已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当双曲线C的离心率范围为时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线是离心率为，左焦点为，过点与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若的面积为20，其中是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知首项为正数的等比数列的公比为，曲线，则下列叙述正确的有（ ）
A．，为圆 B．，离心率为2
C．，为椭圆 D．，为共渐近线的双曲线
10．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．若是双曲线上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．渐近线方程为
C．的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是
12．双曲线具有如下光学性质：如图1，，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．点到的渐近线的距离为
C．当过点，光由所经过的路程为13
D．射线所在直线的斜率为，则
三、填空题
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与y轴的正半轴交于点B，连接，，分别交双曲线的渐近线于点E，F.若四边形OFBE为平行四边形，则该双曲线的离心率为 .
14．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为 ．
15．如图：双曲线的左右焦点分别为，，过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，其中P在右支上，且，则的面积为 .
16．双曲线的焦点坐标是 .
四、解答题
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)，，焦点在y轴上；
(3)，一个焦点为；
(4)，．
18．已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
19．已知双曲线的右顶点为，过右焦点的直线与交于，两点.当轴时，的面积为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于点（异于点），直线与直线分别交于点.若点四点共圆，求实数的值.
20．在平面直角坐标系xOy中，圆：，，P是圆上的一个动点，线段的垂直平分线l与直线交于点M．记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：为定值．
21．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，直线与椭圆交于，两点，且直线，的斜率都存在.
①求的取值范围.
②试问这直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22．过原点的直线l与双曲线相交于两点，求l的斜率的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.
【详解】由题意双曲线的焦点在轴上，则，，
又，则，故C的标准方程为.
故选：C
2．D
【分析】设，由重心坐标公式可得，代入椭圆方程化简即可判断①，根据两点间的距离公式及双曲线的定义可判断②，由抛物线的定义判断③，根据椭圆的定义转化为动点到两定点间距离差的最大值，数形结合求解即可判断④，由点差法建立关系，求出离心率判断⑤.
【详解】设椭圆的动点坐标，的重心，则，
所以，，代入椭圆方程可得，故①正确；
动点满足，即动点到定点与的距离之差为定值且小于两定点间的距离，所以动点轨迹为双曲线一支，故②错误；
动点到直线的距离减去它到的距离之差是2，即动点到直线的距离与P到的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，故③正确；
由M在椭圆内，如图，
当且仅当共线时，取得最小值，即最小值为5成立，故④正确；
设，可得两式相减可得，由题意可得，且，，所以则故⑤正确.
所以正确的结论有4个，
故选：D
3．A
【分析】利用正三角形求出直线，与双曲线联立求出点A,B的坐标，解直角三角形得到离心率e的方程，进而解出答案.
【详解】如图，
因为是正三角形且是的内心，所以也是的重心.
设直线AB与y轴的交点为H，所以，即，
又因为，所以，即直线，将直线代入双曲线C解得：
，在直角中,，
所以，则，
而e>1，所以.
故选：A.
4．C
【分析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程，代入点，即可求解.
【详解】因为双曲线一条渐近线为，所以可设双曲线的方程为，因为在双曲线上，将代入得 ，可得双曲线方程为.
故选：C.
5．B
【分析】结合双曲线的定义和正弦定理可得：，然后利用两角和的正弦公式和辅助角公式可得，然后结合离心率的取值范围即可求解.
【详解】在中，由
．因为，所以，所以，所以的取值范围为．
故选：.
6．C
【分析】根据双曲线方程求出，即可得出答案.
【详解】解：∵，，∴，∴，故右焦点坐标为.
故选：C.
7．A
【分析】根据P在以为直径的圆上，得到，设，，得到，由双曲线定义得到，求出，由勾股定理求出，从而求出离心率.
【详解】不妨设，，
因为P在以为直径的圆上，所以，即，则．
因为Q在C的左支上，所以，
即，解得，则．
因为，所以，即，
故，
故．
故选：A
8．A
【分析】先由双曲线离心率求得的比值，进而求得渐近线的方程，从而得到的坐标，再利用三角形面积公式即可求得，由此可求得该双曲线的标准方程.
【详解】依题意得，如图，
因为，故，
所以，即，故，则，
故双曲线的渐近线方程为，
因为直线过左焦点且与轴垂直，即直线的方程为，
联立，解得，故不妨设，，
所以，即，
故，即，故，
所以双曲线的方程为．
故选：A．
9．AD
【分析】根据曲线的方程，结合圆、椭圆、双曲线的标准方程逐项判断即可得出答案.
【详解】解：对于A，当时，，曲线，
又因为，
所以曲线表示圆，故正确；
对于B，当时，，曲线，
所以曲线表示焦点在轴或轴()上的等轴双曲线，
所以离心率为，故错误；
对于C，当时，由A可知曲线表示圆，故错误；
对于D，当时，，
当为奇数时，，
曲线表示焦点在轴上的双曲线，
其渐近线方程为，
当为偶数时，，
曲线表示焦点在轴上的双曲线，
其渐近线方程为，故正确.
故选：AD.
10．BC
【分析】分别根据各项双曲线的方程，求出渐近线方程，即可得出答案.
【详解】对于A项，的渐近线方程为，故A项错误；
对于B项，的渐近线方程为，故B项正确；
对于C项，的渐近线方程为，故C项正确；
对于D项，的渐近线方程为，故D项错误.
故选：BC.
11．BCD
【分析】由双曲线的焦点坐标求出的值，可判断A选项的正误；求出双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；求出的最小值，可判断C选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由题意可得，故，A错；
对于B选项，对于双曲线，，，该双曲线的渐近线方程为，B对；
对于C选项，的最小值为，C对；
对于D选项，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，D对.
故选：BCD.
12．BD
【分析】由双曲线的定义及勾股定理可得，从而判定A项；
由双曲线的性质可得焦点到渐近线的距离为，从而判定B项；
由双曲线定义可得光由所经过的路程为，从而判定C项；
由双曲线的性质可知直线的斜率范围与双曲线的交点个数情况，从而判定D项.
【详解】对于A，设，由双曲线的定义及勾股定理可得,∴，A错误；
对于B，易知的渐近线为，∴，B正确；
对于C，当过点时，由双曲线定义可得光由所经过的路程为，C项错误；
对于D，由双曲线的性质可得当射线所在直线的斜率时，与右支无交点，D项正确.
综上，BD正确.
故选：BD
13．
【分析】由题可得，进而可得，即得.
【详解】设双曲线的焦距为，由题可得，则，
因为四边形OFBE为平行四边形，
所以，，
因为渐近线OF的方程为，所以，
所以离心率.
故答案为：.
14．
【分析】由题意可知，进而可得出，再结合可求得、的值，由此可得出双曲线的方程.
【详解】由于是边长为的等边三角形，则，
由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为.
故答案为：.
15．24
【分析】利用双曲线定义结合已知求出，，再利用双曲线的对称性计算作答.
【详解】依题意，，，又，解得，，
则有，即，连接，如图，
因过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，由双曲线的对称性知，P，Q关于原点O对称，
因此，四边形是平行四边形，，
所以的面积为24.
故答案为：24
16．，
【分析】根据双曲线方程，得到焦点在轴上，且，从而写出焦点坐标.
【详解】由题意得：焦点在轴上，且，解得：，
所以焦点坐标为与
故答案为：，
17．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】小问1：根据值与焦点位置，即可求解；
小问2：先求出值，结合焦点位置，即可求解；
小问3：根据关系求得值，结合焦点位置，即可求解；
小问4：先求出值，讨论焦点位置即可求解．
【详解】（1）因为，，焦点在x轴上，故双曲线方程为；
（2）因为，，焦点在y轴上，则，故双曲线方程为；
（3）因为，一个焦点为；则，得
故双曲线方程为；
（4）因为，，所以
当焦点在x轴上时，双曲线方程为；
当焦点在y轴上时，双曲线方程为．
18．(1)，；
(2)过，.
【分析】（1）根据两圆内切和外切的性质，结合双曲线的定义进行求解即可；
（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解判断即可.
【详解】（1）设圆E的圆心为，半径为r，
则，，所以．
由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，
所以动圆的圆心E的轨迹方程为，；
（2）设，，直线l的方程为．
由得，且，
故又，所以．
又，，
所以
，
即．又故或．
若，则直线l的方程为，
过点，与题意矛盾，所以，故，
所以直线l的方程为，过点．
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
19．(1)
(2)
【分析】（1）首先，其次利用双曲线标准化方程及其性质即可求解双曲线的方程；
（2）因为四点共圆，所以，联立直线与双曲线利用韦达定理，代入中化简，即可求得实数的值.
【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，
代入双曲线方程，可得，即，
由题意，可得.
解得，
双曲线的方程为：；
（2）设直线，
联立方程组，整理得，.
则，且
因为四点共圆，所以，
又，所以，
故
以，即，
所以
又直线，令，得，
同理，
故
，其中，
所以，解得，
所以实数的值为.
20．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据圆的性质结合垂直平分线性质即可得曲线的方程；
（2）设直线的方程为，，联立直线得交点坐标关系，即可得弦长，再由垂直平分线得点H的坐标，从而得，即可证得结论.
【详解】（1）如图所示，
连结，根据题意，，
则，
点的轨迹是以，为焦点的双曲线，
设双曲线方程为，
其中，，
，，，
故所求的方程为．
（2）证明：
设直线的方程为，
，，
所以，则，
所以中点为，
当时， ，，此时;
当时，则垂直平分线方程为，令得，即，
所以，
又，
于是得;
综上可得为定值．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．(1)
(2)①的取值范围是；②直线，的斜率之积不是定值，理由见解析.
【分析】（1）由于的焦点与的焦点相同，得，解得，进而可得椭圆的方程；
（2）①联立直线与椭圆的方程，由，解得，又直线，的斜率都存在，所以，进而可得答案；②设，，，，结合韦达定理可得，，计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：椭圆的焦点与双曲线的焦点相同
所以，所以，
则的方程为．
（2）解：①联立，得，
其中，解得．
又直线，的斜率都存在，所以，
故的取值范围是；
②直线，的斜率之积不是定值，理由如下：
设,，,，则，，
则，
故直线，的斜率之积不是定值．
22．
【分析】根据双曲线方程写出其渐近线方程，由双曲线的性质，要使过原点的直线与双曲线有两个交点，则该直线的斜率介于渐近线的斜率之间.
【详解】由题设，双曲线的渐近线为，
所以要使过原点的直线l与双曲线相交于两点，则l的斜率的取值范围为.
