芜湖市2023-2024学年高二上学期期中联考
数学
（答案写在答题卡上）
（满分150分，时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，已知，则的模为（ ）
A．1 B． C． D．3
2．如图，空间四边形中，，点在线段上，且，点为中点，则（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（ ）
A． B．6 C．4 D．10
5．已知圆关于直线对称，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
8．已知椭圆为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．若直线，则
C．点到直线的距离是1
D．过点与直线平行的直线方程是
10．已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆心为 B．半径为2
C．圆与直线相离 D．圆被直线所截弦长为
11．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点到右焦点的距离的最大值为9 B．焦距为10
C．若，则的面积为9 D．的周长为20
12．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
第12题图
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
第П卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线的斜截式方程为______．
14．两圆与的公切线有______条．
15．如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
第15题图
16．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，和为正三角形，为的中点．
第17题图
（1）证明：平面．
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（14分）．如图，在直三棱柱中，．
第18题图
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
19．（10分）已知的三个顶点分别为．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
20．（16分）已知圆和定点，直线．
（1）当时，求直线被圆所截得的弦长；
（2）若直线上存在点，过点作圆的切线，切点为，满足，求的取值范围．
21．（16分）若椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（均与不重合），证明：直线的斜率之和为定值．
芜湖市2023-2024学年高二上学期期中联考
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A B D C B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 ACD BD AC ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．3 15． 16．
四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明：连接，交于点，连接．
因为为菱形，所以为的中点．
因为为的中点，所以为的中位线，所以．
因为平面平面，所以平面．
（2）在正中，连接，则．
因为，所以，所以．因为平面，所以平面．因为平面，所以平面平面，平面平面，过点作于点平面，则平面．，所以，又，则．
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
．
设平面的法向量为，因为，
，所以
令，得．
设平面的法向量为，
因为，
所以令，得．
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．（1）如图建立直角坐标系，其中为坐标原点．
依题意得，
因为，所以．
（2）设是平面的法向量，
由得
所以，令，则，
因为，所以到平面的距离为．
19．（1）由题意得，且，所以．
则边上的高所在直线的方程为，
化简得：．
（2）由题知的中点，所以，
则边上的中线所在直线的方程为，
化简得：．
20．（1）圆，圆心，半径，
当时，直线的方程为，
所以圆心到直线的距离，
故弦长为．
（2）设，则，
由，得．
化简得：，所以点的轨迹是以为圆心，8为半径的圆．又因为点在直线上，所以与圆有公共点，所以，解得，所以的取值范围是．
21．（1）由题意得离心率为，点在椭圆上，
所以解得，
所以椭圆方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，为椭圆的上下顶点，即为，则．
当直线的斜率存在时，设的方程为，联立消去并整理得，，
则，得，
设，则，
所以
综上可得，直线的斜率之和为3．
