13.3 空间图形的表面积和体积 练习
一、单选题
1．某几何体的三视图如图所示，其正视图为边长为2的正方形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．4 D．
2．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论错误的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积不相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
3．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．某组合体的三视图如图所示（俯视图中的三角形为直角三角形），则该组合体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．把一个铁制的底面半径为，高为的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆柱的高为3，且其侧面积是18π，则该圆柱的体积为（ ）
A．9π B．18π C．27π D．54π
8．今年从6月2日至7月18日6时，中央气象台连续40余天发布暴雨预警，成为自2007年开展暴雨预警业务以来历时最长的一次.通常说的小雨、中雨、大雨、暴雨等，一般以日降雨量衡量，降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少.其中小雨指日降雨量在10毫米以下；中雨日降雨量为10~24.9毫米；大雨降雨量为25～49.9毫米；暴雨降雨量为50~99.9毫米；大暴雨降雨量为100~250毫米；特大暴雨降雨量在250毫米以上.我国古代很早就有关于降雨量的记载，古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是几寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸，1寸厘米），设该次测得的降雨量为日降雨量，则按照现在的标准，这次降雨的级别为（ ）
A．中雨 B．大雨 C．暴雨 D．大暴雨
二、多选题
9．如图，正方体的棱长为1，点M是侧面上的一个动点，点P是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积与点M的位置有关
B．若．则点M在侧面上运动路径的长度为
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
10．已知在正三棱锥中，底面的边长为4，为的中点，，，下列结论正确的为（ ）
A．正三棱锥的体积为
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．
D．与所成角的正切值为
11．如图与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则（ ）
A．圆台的母线与底面所成的角的正切值为
B．圆台的全面积为
C．圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为
D．从点经过圆台的侧面到点的最短距离为
12．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的侧面积是
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．的最小值为
三、填空题
13．直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积为 ．
14．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为 .
15．如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则
16．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一球面上，则此球的体积为 .
四、解答题
17．如图，四边形为菱形，，平面.
(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
18．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，侧面是矩形，， ，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离.
19．如图，在三棱推中，高（底面），．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求三棱锥外接球的表面积．
20．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，，，，．.
(1)已知点为的中点，求证：平面；
(2)求多面体的体积．
21．在直三棱柱中，，，，D是AB的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面；
22．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）.
(1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
参考答案：
1．B
【分析】由三视图和直观图得出几何体的底面和棱的长度以及位置关系，再结合体积公式即可求解.
【详解】解：由三视图和直观图知，该几何体为四棱锥且底面为边长为2的正方形，有一条侧棱垂直于底面，且该侧棱长为2，
所以由四棱锥的体积公式得：
该几何体的体积为.
故选：B.
2．C
【分析】分析出圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，
对于A选项，圆柱的侧面积为，A对；
对于B选项，圆锥的母线长为，
所以，圆锥的侧面积为，B对；
对于C选项，球的表面积为，所以，圆柱的侧面积与球的表面积相等，C错；
对于D选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为，
球的体积为，
因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D对.
故选：C.
3．C
【分析】由几何关系先求出一个正四面体的高，再结合锥体体积公式即可求解正八面体的体积.
【详解】如图，设底面中心为，连接，由几何关系知，
，则正八面体体积为
.
故选：C
4．C
【分析】根据给定的几何体的三视图，得到几何体的直观图，结合棱锥的体积公式，即可求解.
【详解】根据三视图还原几何体的直观图，并将其放入棱长为4的正方体中，如图所示，
该几何体为三棱锥，其中为所在棱的中点，
故该几何体的体积.
故选：C.
5．C
【分析】根据三视图可知组合体为一个三棱锥和一个半球，分别算出它们的体积再相加即可.
【详解】根据三视图，组合体为一个三棱锥和一个半球，三棱锥的体积，
易知，半球的直径为，则其体积.
所以组合体的体积为.
故选：C.
6．D
【解析】根据锥体的体积公式以及球的体积公式即可求解.
【详解】设铁球的半径为，
由题意可得，
解得.
故选：D
7．C
【分析】本题先求，再求圆柱的体积即可.
【详解】解：设该圆柱的底面圆的半径为，
由题意得：，
解得：，
故该圆柱的体积为.
故选：C.
【点睛】本题考查圆柱的侧面积公式、圆柱的体积公式，是基础题.
8．D
【解析】求出盆中水的体积，得降雨量后可得结论．
【详解】由题意盆底半径为寸，盆口半径为14寸，水面半径为寸，水深9寸，
水体积为，盆口面积为，
所以降雨量为厘米＝100毫米．为大暴雨．
故选：D．
【点睛】本题考查数学文化，考查圆台的体积公式，掌握圆台体积公式是解题关键．
9．BC
【分析】由，的面积是定值，得出点M到面的距离，即可判断A；由题意可得，得出的长度，找到点在侧面内的运动轨迹是圆弧，再求解弧长，可判断B选项；过点作，则点是的中点，平面， 从而得到，从而得到点点的轨迹是线段，再求出的最值，即可判断C、D.
【详解】对于选项A：如图1，三棱锥的体积，
因为点P为的中点，所以的面积是定值，
又因为点M到面的距离是正方体的棱长，
所以三棱锥的体积是定值，故A错误；
对于选项B：如图2，过点P作，垂足为点Q，连接，
则由正方体的性质得平面，平面，所以，
又因为，正方体的棱长为1，所以，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，
所以点在侧面上运动路径的长度为，故正确；
对于选项C，D：如图3，过点作，垂足点，则点是的中点，连接QC，
取BC的中点，连接，，，则，，
因为，所以，
因为平面，且平面，所以，
，平面，
所以平面，平面，所以，
所以点的轨迹是线段，
在中，，，
可得，所以的最大值为，故C正确；
在中，，
可知为锐角，则，
所以点到的距离为，
所以的最小值为，故D错误．
故选：BC.
10．ABC
【分析】由题意画出图形，证明正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，再求出侧棱长，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】解：如图，
正三棱锥中，，，且，
平面，而、平面，
，，
又三棱锥是正三棱锥，可得三条侧棱两两相互垂直，
设，，得，即正三棱锥的侧棱长为．
则正三棱锥的体积，故正确；
把正三棱锥补形为正方体，则正方体的对角线长为，
可得外接球的半径为，三棱锥的外接球的表面积为，故正确；
由，，，可得平面，而平面，，故正确；
在△中，由，，，
可得，
，即，则，
，故错误．
故选：．
11．ABD
【分析】取圆台的轴截面，利用线面角的定义可判断A选项；利用圆台的表面积公式可判断B选项；利用正弦定理求出等腰梯形的外接圆半径，即为圆台的外接球半径，可判断C选项；将圆台沿着轴截面切开，将圆台的侧面的一半展开，结合余弦定理可判断D选项.
【详解】取圆台的轴截面，设、的中点分别为、，连接，
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
由题意可知，与圆台的底面垂直，易知四边形为等腰梯形，
且，，，
在和中，，，，
所以，，所以，，
因为，，，则四边形为矩形，且，
同理可证四边形为矩形，则，且，
所以，与圆台的底面垂直，则圆台的母线与底面所成的角为，
所以，，则，
所以，，A对；
对于B选项，圆台的全面积为，B对；
对于C选项，易知圆台的外接球球心在梯形内，且，
由勾股定理可得，且，
所以，圆台的外接球直径为，则，B错；
对于C选项，将圆台沿着轴截面切开，将圆台的侧面的一半展开如下图所示：
延长、交于点，在圆台的轴截面等腰梯形中，且，
易知、分别为、的中点，所以，，
设，则，则，
在中，，，，
由余弦定理可得，
因此，从点经过圆台的侧面到点的最短距离为，D对.
故选：ABD.
12．ABD
【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B；由棱锥底面积与高为定值判断C；将侧面展开即可求出最小值判断D．
【详解】在直三棱柱中，，，,
则，底面和是等腰三角形，侧面全是矩形，
所以其侧面积为1×2×2+，故A正确；
设底面外接圆半径为，即，即，
所以直棱柱的外接球半径，
直三棱柱的外接球表面积为，故B正确；
由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点，
三棱锥的高为定值，
××2＝，××＝，故C错误；
把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，
取最小值，，故D正确．
故选：ABD．
13．
【分析】先根据勾股定理判断出底面是等腰直角三角形，再判断出的中点为直三棱柱的外接球的球心，根据球的面积得出球的半径和棱柱的高，最后利用柱体的体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，因为，，所以，
取的中点，则的中点直三棱柱的外接球的球心，设球的半径为，
由球的表面积公式，得，解得，
所以，又由，
所以这个直三棱柱的体积为，
故答案为: .
【点睛】关键点睛:
本题的关键是求出外接球球心位置，结合勾股定理求出球的半径进而求出三棱柱的高.
14．
【分析】由曲侧面三棱柱的定义，其侧面为矩形，即可根据几何关系求侧面积.
【详解】由题意得为等边三角形，且边长为20，如图所示，
所以弧的长度为，
曲侧面三棱柱的三个侧面展开后，均是长为，宽为5的矩形，
所以曲侧面三棱柱的侧面积为.
故答案为：
15．
【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而求作出平面与平面的交线，进而得出平面分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果.
【详解】取的中点，连，因为平面，故平行于平面与面的交线，又分别为的中点，易知，即平面平面，故平面分正方体为两部分，
设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，，
故,
故答案为：.
16．/
【分析】将正四面体放入正方体中，得到正方体边长为，得到，解得体积.
【详解】如图所示：将正四面体放入正方体中，设正方体边长为，则，解得，
则，.
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明；
（2）由平面，利用求解.
【详解】（1）证明：四边形为菱形，
.
平面，平面，
.
，平面，平面，
平面.
（2）四边形为菱形，，，
，.
.
.
18．(1)证明见解析；
(2)2.
【分析】（1）根据为等腰直角斜边的中点和，得，再由侧面是矩形，得，从而得证.
（2）解法1：根据 得到平面的距离.
解法2: 在平面内过点作，可证平面，的长度即为所求.
【详解】（1）由为等腰直角斜边的中点，得.
在三棱柱中，，所以，
所以，即.
因为侧面是矩形，所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）解法1 ：
连接交于点，连接，则为的中点，
所以到平面的距离等于到平面的距离，设此距离为.
由（1）知平面，又，所以平面，
因为平面，所以，
所以.又，所以，
所以，所以，
又，平面，平面，
所以平面.
因为，所以，又，
所以，所以，
所以.
由，得，
所以，解得.
即到平面的距离为.
解法2 :
连接交于点，连接，
在平面内过点作，垂足为，则为的中点.
因为，所以.
由（1）知平面，又，所以平面，
因为平面，所以，所以，
所以.又，平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以，又，平面，
平面，所以平面.
又，由，
得，解得.
即到平面的距离为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求得答案；
（2）确定三棱锥外接球心的位置，进而求得外接球半径，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，底面，
故,
故；
（2）由，可得，
设的外接圆半径为r，则，
设的外接圆圆心为，过点作平面的垂线，
则，设的中点为D，过点D作的垂线交于O，
则四边形为矩形，
O即为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，
则,
故三棱锥外接球的表面积为.
20．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）先证平面平面，然后由面面平行的性质可证；
（2）将多面体分解为三棱锥和四棱锥求解即可.
【详解】（1）记的中点为H，连接，
则，，所以四边形和为平行四边形，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面.
（2）连接，因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又，所以平面，
易知，梯形的面积为，
所以多面体的体积.
21．(1)5
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用棱锥体积公式即得；
（2）设与相交于点，可得，根据线面平行的判定定理，即得；
【详解】（1）因为，，，
所以，即，又D是AB的中点，
所以；
（2）设与相交于点，连接，
在中，为的中点，为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
22．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）线段中点为，证明即可；
（2）利用等体积法求三棱锥的体积.
【详解】（1）在图2中取线段中点H，连接，如图所示：
由图1可知，四边形是矩形，且，
∴O是线段与的中点，∴且，
图1中且，而且.
所以在图2中，且，
∴且，
∴四边形是平行四边形，则，
由于平面，平面，
∴平面.
（2）∵，面，，∴面，
，
所以，
即三棱锥的体积为.
