8.1二分法与求方程近似解 作业
一、单选题
1．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有根的和为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在区间（-1,1）上存在零点，则
A． B． C． D．
3．下列函数图像与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是函数的一个零点，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在下列区间中，方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，，的零点依次为，则
A． B． C． D．
7．设函数若存在实数使得方程有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若有三个互不相同的零点，且，若对任意成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知正实数，满足，则使方程有解的实数可以为（ ）
A． B．2 C． D．1
10．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，以下说法正确的有（ ）
A．当时，
B．
C．存在，使得
D．函数的零点个数为10
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，为偶函数；
B．存在实数a，使得为奇函数；
C．当时，取得最小值；
D．方程可能有三个实数根．
12．下列说法正确的是（ ）
A．若函数定义域为，则函数的定义域为.
B．若函数值域为，则函数的值域为.
C．用二分法求方程在内近似解的过程中，设，计算知，，，则下次应计算的函数值为.
D．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为.
三、填空题
13．已知函数，若有4个零点分别为，，，，且满足，则的取值范围为 ．
14．若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围．
15．函数的定义域为R，在上大致图像如图所示，则函数的零点个数为 ．
16．已知函数若方程有3个互不相等的实数根，，，则的范围为 ．
四、解答题
17．指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间上的平均变化率随t的增大而增大．
已知实数a，b，满足．
(1)比较和的大小；
(2)当时，比较和的大小；
(3)当时，判断的符号．
18．设a是大于1的常数，，已知函数是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若对任意的实数x，关于x的不等式均成立，求实数k的取值范围；
(3)证明：关于x的方程有且仅有一个实数解；设此实数解为，试比较与的大小．
19．已知函数.
(1)求的定义域及单调区间；
(2)若存在：，使得函数在区间上的值域为，求m的取值范围.
20．求证：函数有零点.
21．已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若有两个零点，且都大于2，求实数的取值范围．
22．作出下列函数的图像，并回答问题．（不用列表，不用叙述作图过程，但要标明必要的点或线）
（1）
（2）
（Ⅰ）写出函数的单调区间及其单调性 ．
（Ⅱ）若方程有两个不同实数解，则的取值范围是 ．
参考答案：
1．C
【分析】由时，，利用函数是定义在上的奇函数，求得函数的解析式，然后根据与的图象关于直线对称，在同一坐标系中，作出两函数图象，利用数形结合法求解.
【详解】设，则，
所以，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以且当时，，
所以，
又与的图象关于直线对称，
在同一坐标系中，作出两函数图象，如图所示：
由图象知：与的图象有3个交点，其中一个根为1，另外两个根关于对称，
所以方程的所有根的和为3
故选：C
【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
2．C
【详解】试题分析：由题意可知，解不等式得
考点：函数零点存在性定理
3．A
【分析】利用二分法求函数零点近似值的特点，即先观察图像有零点，再根据零点左右两侧函数值符号不同，依次分析选项，可得到答案.
【详解】函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，
即图像穿过轴时，能用二分法求函数零点近似值，据此分析选项，由图知，
A选项中，零点的左右两侧的函数值符号相同，函数不能用二分法求零点近似值；
B选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值；
C选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值；
D选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值.
故选:A
4．B
【分析】由已知得出，分析出函数的单调性，进而可判断出、的符号.
【详解】由于函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，，，.
故选：B.
5．C
【分析】令，根据零点存在性定理判断各选项区间端点值的符号，即可知零点所在的区间.
【详解】令且定义域上单调递增，
∴，，，，
∴，则.
故选：C
6．A
【详解】 令函数，可得，即，
令，则，即，
令，可知，即，显然，故选A.
7．D
【解析】首先画出函数的图象，并求两个分段函数的最值，根据数形结合分析，求实数的取值范围.
【详解】，时，函数的最小值是，与轴的交点时，当时，，时，，函数的值域是， 由图象可知，若存在实数使得方程有3个不相等的实数解，则，解得：.
故选：D
【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.
8．C
【详解】试题分析：由题设可得
∴方程有两个相异的实根，故，解得：（舍去）或，，所以，
若，则，而，不合题意．
若，对任意的，有，则，所以在上的最小值为0，
于是对任意的恒成立的充要条件是，解得；综上，m的取值范围是，选C．
考点：利用导数探究函数的性质
9．ABC
【分析】根据题意，化简为，设，且，根据单调性，得到在时单调递增，故，得到，代入，得到，设，，，得到，再根据单调性，可得到的范围.
【详解】，，，，
设，，明显地，单调递增
，，，，
，
令，，，，设，则有解，等价于与有交点，
明显地，单调递减，且，故，
故选：ABC
【点睛】思路点睛：
通过化简得到，设，利用的单调性，得到与的关系，进而化简得到，进而利用与有交点，得到的取值范围.
10．AD
【分析】A：根据分段函数，求出的解析式即可；
B：举反例，取一个特殊值验证选项的正误；
C：作出函数的图象，发现函数的值域为，，不可能存在；
D：数形结合的思想，将函数的零点问题转化为方程的根，进而转化为两个函数的交点个数问题，再结合图象即可得解．
【详解】对于选项A，当时，，所以，
所以，故A正确：
对于选项B，当时，与矛盾，故B错误；
对于选项C，由为偶函数，可作出正半轴的图象，
观察图象，的值域为，故C错误：
对于选项D，由的零点个数即为根的个数，
即与的的交点个数，观察图象，在时，有5个交点，
根据对称性可得时，也有5个交点，共计10个交点，故D正确.
故选：AD．
【点睛】方法点睛：判断方程 零点个数 的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数 零点个数就是方程 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法： 一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
11．AC
【分析】考虑a是否等于零，即可研究奇偶性判断A和B；将函数写成分段函数，结合二次函数研究单调性即可求其最小值、研究根的情况，判断C和D，即可解答．
【详解】函数，定义域为，
当时，，为偶函数，故A正确；
当时，由，则，函数不可能为奇函数，故B错误；
当时，时，函数单调递增，所以最小值为，时，函数单调递减，所以，
所以函数的最小值为，故C正确；
若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，
若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，
若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，
所以方程不可能有三个实数根，D错误．
故选：AC．
12．AC
【分析】利用抽象函数的定义域与值域判断AB；利用二分法的计算方法判断C；利用函数奇偶性求解析式判断D，从而得解.
【详解】对于A，因为定义域为，
所以对于，有，解得，
所以的定义域为，故A正确；
对于B，因为函数的定义域为，值域为，
所以的定义域也为，故其值域也为，故B错误；
对于C，因为，，，则，
故下次计算应是，即，故C正确；
对于D，因为当时，，
所以当时，，所以，
又是定义在上的奇函数，
所以，故D错误.
故选：AC.
13．
【分析】根据对数函数可计算规则可计算出时两个零点的乘积，根据韦达定理可以解出时两个零点的乘积，根据零点个数可确定m与a的关系，最后根据即可求出的取值范围.
【详解】不妨假设
时，；
当时，，因为有4个零点，所以，此时，，且根据韦达定理可知
，故
综上所述：的取值范围为.
故答案为：
14．
【分析】先考虑时，不成立；再考虑时，有，从而解不等式即可.
【详解】当时，，显然不成立；
当时，函数在内有零点，需，
即，即，解得或，
故实数a的取值范围是.
故答案为：
15．7/7个
【分析】先根据图像确定在上的零点个数，再根据对称性得到当时的零点个数，相加即可得答案.
【详解】由图知函数在上的零点个数为4，
又，故函数是定义在R上的偶函数，
又当时，，有4个零点，
根据对称性，当时，函数，有3个零点，
故函数的零点个数为7.
故答案为：7.
16．
【分析】由题可得，又因方程有3个互不相等的实数根，则.
注意到总有两根，，后结合图像可得答案.
【详解】由题可得，又因方程有3个互不相等的实数根，则.
由，可得，，则.
则问题等价于当方程在时有唯一实根时，实根的范围.
即求直线与函数有唯一交点时，横坐标的范围.
如下图可知，当时满足题意，则.
故答案为：.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分析可得，，结合对数函数单调性分析运算，注意讨论和；
（2）方法一：利用反证法证明；方法二：构建函数，，结合单调性分析运算；方法三：构建，结合单调性分析运算；
（3）构建，结合单调性分析可得，再根据题意结论分析可得，即可得结果.
【详解】（1）由题意得：，，则，
所以，
当时，则在定义域内单调递减，解得，
所以；
当时，则在定义域内单调递增，解得，
所以；
综上所述：，
即，所以．
（2）当时，则，
（方法一）①假设，则，即，
由，且，所以，则，
所以，与已知矛盾，故假设不成立；
②假设，则，即，
由，且，所以，则，
同理可得，与已知矛盾，假设不成立；
③当，则，
可得，符合题意；
由①②③可得：．
（方法二）设，则b是的零点，
对，且，
∵，，在单调递增，则，
可得，
即，故在单调递增，
∴有唯一的零点b，
设，
对，且，
∵，都在单调递增，则，
可得，
即，故在单调递增，
且，
故函数零点存在性定理知在存在唯一的零点，
则满足，即，
可得，即，
故，即，
所以的零点即为的零点b，
所以，即．
（方法三）两边除以b可得：，变形得：，
构建，
对，且，
∵，都在单调递增，则，
可得，
即，故在上单调递增，且，
由（1）可知：当时，则，
所以，，所以．
（3）设，
对，且，
∵，都在单调递增，则，
可得，
即，故在单调递增，
∵，且，即，
∴，
由（2）得，则，故；
由指数函数在区间上的平均变化率，随t的增大而增大，
所以指数函数在区间上的平均变化率小于在区间上的平均变化率，即，
化简得，所以，解得或（舍去）；
所以，故．
【点睛】关键点点睛：在处理方程、不等式问题时，我们常常构建函数，利用函数单调性结合零点存在性定理分析运算.这是问题函数化的关键．
18．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由是奇函数可得，即可求出实数m的值；
（2）由函数的奇偶性化简抽象不等式，利用单调性可得对任意的实数x恒成立，即，解不等式即可得出答案.
（3）设，进而得唯一实数根，使得，即，故，再结合得得答案.
【详解】（1）已知函数是奇函数，
，解得：
所以.
（2）对任意的实数x，关于x的不等式均成立，
则，因为函数是奇函数，
所以，
因为，，所以在上单调递增，
所以对任意的实数x恒成立，
所以对任意的实数x恒成立，
所以，解得：.
实数k的取值范围为；
（3）设，
因为当时，，
所以在区间上无实数根，
当时，因为，，
所以，使得，
又在上单调递减，
所以存在唯一实数根；
所以方程有且仅有一个实数解.
因为，所以，
又，所以，
所以.
所以
19．(1)定义域：，函数在和上单调递增.
(2)
【分析】（1）定义域满足，解得定义域，根据复合函数的单调性得到单调区间.
（2）根据函数的单调性将题目转化为二次方程在上有两解，根据二次函数性质得到答案.
(1)
，定义域满足：，解得.
，在和上单调递增，在上单调递增，
故在和上单调递增.
(2)
函数在上单调递增，故，.
即是方程的两个根，，
化简得到，
设，
则，解得.
20．证明见解析
【分析】利用零点存在定理直接证明.
【详解】因为，，
且函数在区间上的图象是不间断的，
所以函数在区间上有零点，
从而函数有零点.
21．(1)或
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
（2）根据的两个零点都大于列不等式组，由此求得的取值范围.
(1)
∵，∴，
此不等式的解集为或.
(2)
依题意有两个大于的零点，
所以即
解得，即的取值范围是.
22． 图像见解析；，均为单调减区间；
【分析】根据指数函数与幂函数的图像，作出函数图像，然后利用函数图像即可得到结果．
【详解】解：图像如图，
（Ⅰ）函数的单调递减区间为；
（Ⅱ）若方程有两个不同实数解，则，解得，
所以，的取值范围是．
