常德市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
数 学
（ 时量：120分钟 满分：150分 ）
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1．直线的一个方向向量是
A． B． C． D．
2．设，，与垂直，则等于
A．6 B．14 C． D．
3．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
4．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则
A． B． C． D．
5．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为
A． B．5 C． D．10
6．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为
A． B． C． D．
7．正方体ABCD﹣A 'B 'C 'D '的棱长为3，点M是侧面BCC 'B '内的动点，满足AM⊥BD '，
设AM与平面BCC 'B '所成角为θ，则tanθ的最大值为
A． B． C． D．
8．已知实数满足：，则的最小值为
A． B． C． D．
二、多项选择题（每小题5分，共20分，多选错选不得分，少选得2分）
9．已知点，，直线l的方程为，且与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值可以为
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．已知点和，若某直线上存在点 P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是
A．x-2y+6=0 B．x-y=0 C．2x-y+1=0 D．x+y-3=0
11．已知圆，直线，则下列结论正确的是
A．当时，直线与圆相交
B．，为圆上的点，则的最大值为9
C．若圆上有且仅有两个不同的点到直线的距离为1，则的取值范围是
D．若直线上存在一点，圆上存在两点、，使，则的取值范围是，
12．正三棱柱，，P点满足（，），则
A．当时，△的面积是定值 B．当时，△的周长是定值
C．当时，△的面积是定值 D．当时，三棱锥的体积为定值
三、填空题（每题5分，共20分）
13．写出一个截距相等且不过第一象限的直线方程________．
14．已知圆上一定点，为圆上的动点，则线段中点的轨迹方程为___________.
15．直线与曲线有两个交点，则实数m的取值范围是________．
16．已知、分别为（）椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则 ，椭圆的离心率为 .
四、解答题（共6个大题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17．已知三角形的三个顶点A( 5，0)，B(3， 3)，C(0，2).
（1）求BC边的中垂线所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
18．如图所示，已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，，为的中点，为的中点。
（1）证明：直线平面；
（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．
19．已知圆C经过点A（﹣1，3），B（3，3）两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）求经过圆上一点A（﹣1，3）的切线方程．
20．双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点.把△ADE沿AE翻折，使得平面ADE⊥平面ABCE.
（1）求证：AD⊥BE；
（2）求BD所在直线与平面DEC所成角的正弦值．
22．已知椭圆：（）的离心率为，且其长轴长与焦距之和为，直线，与椭圆分别交于点，，，，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的最大值．数学参考答案
一、单选题： 1-4 ACBC 5-8 BABD
二、多选题： 9. CD 10. BC 11. AD 12. ACD
三、填空题：
13. 答案不唯一，如等 14.
15. 16. ，
四、解答题：
17.解：(1)∵ B(3， 3)，C(0，2)，∴ ，BC中点坐标
∴ BC边的中垂线所在直线的方程：，即………....5分
（2）A( 5，0)，∴点A到直线BC的距离为：
∵ B(3， 3)，C(0，2)，∴
∴ ……………………..10分
18.解：(1)证明：由题意可知，三棱柱为直三棱柱，则四边形为矩形，
连接交于点，连、，则为和的中点，
又∵为的中点，∴， 2分
又∵为的中点， ∴，∴，
∴四边形为平行四边形，∴， 4分
又∵平面，平面，∴平面； 5分
(2)∵三角形为正三角形，∴，又底面，∴底面，
以为原点，、、为、、轴建立直角坐标系，如图建系， 6分
则，，，，，， 7分
设平面的法向量为，又，，
则，得，
则， 9分
又可知平面的法向量为， 10分
设平面与平面的夹角的平面角为，
则，
∴平面和平面所成的锐二面角的余弦值。 12分
19.解：(1)设圆心的坐标为（a，b），圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则有a﹣b+1＝0，
圆C经过点A（﹣1，3），B（3，3）两点，则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1，
则有，解可得b＝2；则圆心的坐标为（1，2），半径r2＝|AC|2＝4+1＝5，
则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5；
（2）根据题意，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，有A（﹣1，3）在圆C上，则有KAC，
则切线的斜率k＝2，则切线的方程为y﹣3＝2（x+1），变形可得2x﹣y+5＝0．
20.解：(1)设双曲线的方程为，则，故，
故双曲线的方程是.
（2）由，得，由，且，且，设，因为以为直径的圆过原点，所以，
所以，又，
所以，所以解得.
21.解：(1)证明：因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，
,所以，则
又因为BE⊥AE，又 平面ABCE，所以BE⊥平面DAE，
因为AD 平面DAE，所以BE⊥AD，故AD⊥BE. ……………………..4分
（2）取的中点，则,取的中点，由,则,
又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，
又平面ADE，所以平面ABCE，
以过点作直线的平行线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系E(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),，
则 ,
……………………..8分
设平面DEC的法向量为
，令 , ……………………..10分
设BD所在直线与平面DEC所成角为，则
所以BD所在直线与平面DEC所成角的正弦值为. ……………………..12分
22.解：(1)由题意可得：，，解得：，，
所以，所以椭圆的标准方程为………………………..3分
（2）由题意知直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，，，
把与联立，整理得，
由，得，
且，．所以…………………………………………..5分，
所以，整理得：．
………………………………………..7分
设为坐标原点，易知四边形的面积
………………..9分
，当且仅当，即时取等号．
将与联立， ……………..11分
可得或均满足．所以四边形面积的最大值为.
……………..12分
