广东省雷州市第二中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、下列命题正确的个数是( )
（1）向量就是有向线段;
（2）零向量是没有方向的向量;
（3）零向量的方向是任意的;
（4）零向量的长度为0.
A.1 B.2 C.3 D.4
2、已知AD,BE分别是的边BC,AC上的中线,且,则( )
A. B. C. D.
3、在中,边长,,,则边长( )
A. B. C. D.
4、如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱柱 D.平行六面体
5、如图,在三棱锥中,平面ABC,,则图中直角三角形的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6、一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6 D.62.8,3.6
7、100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速在的汽车大约有( )
A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆
8、甲 乙 丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、下列四个命题中,是真命题的是( )
A.若事件A,B是互斥事件,则A,B是对立事件
B.若事件A,B是对立事件,则A,B是互斥事件
C.若事件A是必然事件,则
D.若事件A,B是互斥事件,则
10、若a,,且,则( )
A. B. C. D.
11、下图是某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,则下列说法正确的是( )
A.该市14天空气质量指数的平均值大于100
B.该市14天空气质量指数的中位数为78.5
C.该市14天空气质量指数的30百分位数为55
D.计算连续3天空气质量指数的方差,其中6日到8日的方差最大
12、如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )
A.两条异面直线和所成的角为
B.直线BC与平面所成的角等于
C.点D到面的距离为
D.三棱柱外接球半径为
三、填空题
13、某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72,120,160,为了解该医院医生的出诊情况,按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本,已知抽取青年医生的人数为20,则抽取老年医生的人数为__________.
14、以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分）78,70,72,85,88,79,80,81,94,81,56,98,83,90,91.则这15人成绩的第80百分位数是_____________.
15、若平面,直线,直线,则点M与l的位置关系为____________.
16、如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进2千米后到达D处,又测得山顶B的仰角为75°,则山的高度BC为______________千米.
四、解答题
17、已知平面向量,.
(1)求的值;
(2)若向量与夹角为,求实数的值.
18、某数学兴趣小组共有5名学生,其中有3名男生、、,2 名女生、,现从中随机抽取2名学生参加比赛.
(1)问共有多少个基本事件（列举说明）？
(2)抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？
19、如图,该几何体是由圆柱和三棱锥组合而成的,四边形为轴截面,BC是圆O的直径,平面ABC,,,,.
(1)求证：AC垂直B,D,E所确定的平面.
(2)求该几何体的表面积.
参考答案
1、答案：B
解析：（1）向量可以用有向线段表示,但不能把两者等同,故错误;
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的,是任意的,故错误;
（3）根据对零向量的规定,零向量的方向是任意的,故正确;
（4）根据对零向量的规定,零向量的大小为0,所以零向量的长度为0,故正确.
故选：B.
2、答案：B
解析：由题意可知,而,即①;又②,①+②可得：.
3、答案：C
解析：在中,边长,,,
由正弦定理得,
所以.
故选：C.
4、答案：B
解析：由展开图可知,该几何体有四个三角形面与一个四边形面,故该几何体为四棱锥;
故选：B.
5、答案：A
解析：因为平面ABC,AC,AB,平面ABC,
所以,,
故,都是直角三角形,
又,,AC,平面PAC,
所以平面PAC,
又平面PAC,所以,
故,都是直角三角形,
所以图中直角三角形的个数为个.
故选：A.
6、答案：D
解析：平均数是,根据方差公式可知方差不变.
7、答案：B
解析：由表可得,时速在的汽车的频率为,故时速在的汽车大约有辆.
故选：B.
8、答案：C
解析：用事件A,B,C分别表示甲 乙 丙三人能破译出密码,则,,,且.
此密码能被译出的概率为.
故选：C.
9、答案：BC
解析：对于A,互斥事件不一定是对立事件,故A选项不符合题意,
对于B,对立事件一定是互斥事件,故B选项符合题意,
对于C,因为事件是必然事件,所以,故C选项符合题意,
对于D,若事件是互斥事件,则只有当事件是对立事件时才有,故D选项不符合题意.
故选：BC.
10、答案：AD
解析：因为,
所以.
故选：AD.
11、答案：BCD
解析：对于A,,
该市14天空气质量指数的平均值小于100,故A错;
对于B,将14天的空气质量指数由小到大排列为：33,38,52,53,55,65,76,81,102,102,116,122,158,163,所以该市14天空气质量指数的中位数为：,故B正确.
对于C,因为,所以该市14天空气质量指数的30百分位数为,故C正确.
对于D,因为连续3天空气质量指数,5日到7日的波动最大,也即方差最大,故D正确.
故选：BCD.
12、答案：BCD
解析：连接AC、
且,则四边形为平行四边形,
异面直线和所成的角为
,则为正三角形,即
A不正确;
连接
在正方形中,
平面,平面
,则平面
直线BC与平面所成的角为
B正确;
根据等体积转换可知：
即,则
C正确;
三棱柱的外接球即为正方体的外接球
则外接球的半径即为正方体体对角线的一半,即
D正确;
故选：BCD.
13、答案：
解析：由题意可得：抽样比为,
所以抽取老年医生的人数为,
故答案为：.
14、答案：
解析：把成绩按从小到大的顺序排列为：56,70,72,78,79,80,81,81,83,85,88,90,91,94,98,
因为,所以这15人成绩的第80百分位是.
故答案为：.
15、答案：
解析：因为,
所以直线a,直线b,
因为直线,直线,
所以平面,平面,
又平面,
所以.
故答案为：.
16、答案：2
解析：作,垂足为E,如图所示：
由题意得,,,
所以,,,且,
在中,由正弦定理得,即,
,解得,
所以,
故答案为：2.
17、答案：(1)
(2)或
解析：（1）因为,,
所以,
所以;
（2）,
所以,,
又向量与夹角为,
所以,
即,
即,解得或.
18、答案：(1)答案见解析
(2)
解析：（1）列举出所有情况,如下：
,
共10个基本事件;
（2）记事件“抽取的学生恰有一男生一女生”为A,
则A包含基本事件共6个,
因此.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）四边形为轴截面,AD垂直上底面圆O,即平面ABC,
又平面ABC,由过一点作平面的垂线有且只有一条,
得E,A,D三点共线.平面BDE.
BC为圆C的直径,,即,
又平面ABC,,又,
平面BDE.
（2）由（1）知,又,,,
,
,
,
该几何体的表面积.
