宜宾市2024届高三上学期11月一诊模拟考试（1）
数学（理工类）
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，，则
A． B．
C． D．
2．设，则
A．0 B．1 C． D．3
3．几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为
A．729 B．428 C．356 D．243
4．已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．函数的图像大致为
A． B．
C． D．
6．如图，四棱柱中，分别是、的中点，下列结论中，正确的是
A． B．平面
C．平面 D．平面
7．若函数在具有单调性，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
8．已知函数的部分图象如
图所示，则
A． B．
C． D．
9．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是
A． B． C． D．
10．平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为
A． B． C． D．
11．已知函数的最小正周期为,若在上单调递增,在上单调递减,则实数的取值范围是
A． B． C． D．
12．若都有成立，则的最大值为
A． B．1 C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，其终边经过点， ．
14．若，则 ．
15．已知是球O的球面上的三点，，若三棱锥的体积最大值
为1，则球的表面积为 .
16．设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。
17．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、.已知.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
18．（12分）已知函数（且）的两个相邻的对称中心的距离为．
(1)求在R上的单调递增区间；
(2)将图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，若，，求的值．
19．（12分）已知函数在处取得极值.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
20．（12分）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：
(1)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(2)求锐二面角的余弦值的取值范围．
21．（12分）已知函数.
（1）当时,讨论函数的单调性；
（2）当时,若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求的值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数，．
（1）解不等式；
（2）若对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围．宜宾市2024届高三上学期11月一诊模拟考试（1）
数学（理工类）参考答案
1．B 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．C 8．C 9．D 10．C 11．B12．B
13． 14． 15． 16．
17．（1）由已知得，
即有，因为，.
由，且，得.
（2）由（1）可知，由余弦定理，
有.
因为，，
有，又，
18．（1）
，
由题意知，的最小正周期为，所以，解得，
∴，
令，，解得，
所以在R上的单调递增区间为
（2），，得，
∵，∴，
∴，
∴
19．（1）函数，求导得，
由在处取得极值，得，解得，
此时，当时，，当时，，
即函数在处取得极值，所以.
（2）由（1）知，，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，而，即，
所以函数在上的值域为.
20．（1）连接，依题意可知平面，
由于平面，所以，
由于三角形是等边三角形，所以，，又，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
又，故，，
则，，
设平面的法向量为，则，故可设，
又，所以点到平面的距离为.
（2）设，，
则，
设平面的法向量为，则，故可设，
设锐二面角为，
则，令，
所以，
设， 则，
二次函数的开口向上，对称轴为，
所以当时，该二次函数单调递增，
所以当时，该二次函数有最小值，
当时，该二次函数有最大值，
所以，即.
所以锐二面角的余弦值的取值范围.
21．解：（1）由题意，知.
当，时，有.
当时，；当时，.
函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题意，当时，不等式恒成立.
即恒成立，即恒成立.
设.则.
设，则.
当时，有.
在上单调递增，且，.
函数有唯一的零点，且.
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
即为在定义域内的最小值.
.
，得，.
令，.
方程等价于，.
而在上恒大于零，在上单调递增.
故等价于，.
设函数，.易知单调递增.
又，，是函数的唯一零点.
即，.
故的最小值.实数b的取值范围为.
22．（1）由，消去参数可得普通方程为，
，
由，得曲线的直角坐标方程为；
（2）由（1）得曲线，由，
可得其极坐标方程为
由题意设，，
则.
，，
，.
23．（1）因为
故由得：或或
解得原不等式解集为：.
（2）由（1）可知的值域为，显然的值域为.
依题意得：
∴解得所以实数的取值范围为.
