马街中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟考试
数学（理工类）参考答案
1．A 2．A 3．C 4．D 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．D 11．C 12．C
13． 14．1 15． 16．
17．解：（1），
图象的相邻两对称轴之间的距离为，
，即，得．
（2），，
，，得，
设，则，且，
18．解：（1）由正弦定理可得：，即，
所以，又,所以.
（2）在中，由正弦定理得，
因为，
所以.
在中，由余弦定理可得，所以.
19．解：（1）函数定义域为R，求导得：，
则有，而，
所以曲线在点处的切线方程是：.
（2）由(1)知：，当时，，，
而，当且仅当时取“=”，则当时，有最小值1，即当时，，
因此，函数在区间上单调递减，，，
所以函数在区间上的最大值和最小值分别为1和.
20．解：（1）因为，，O为BD的中点，所以，，.
因为是等边三角形，E为BC的中点，所以.
在中，，，，
所以，所以.
因为，平面BCD，平面BCD，
所以平面BCD.因为平面BCD，所以.
（2）由（1）知平面BCD，连接OC，可得，
因为是等边三角形，
所以，所以OA，OB，OC两两垂直，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，.
设平面ADC的法向量为，
则取，得.
设平面AOE的法向量为，
则则，取，得.
设平面AOE与平面ADC所成锐二面角为，则.
故平面AOE与平面ADC所成锐二面角的余弦值为.
21．（1）解：由题意，函数的定义域为，
且，
①当时，可得，在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
（2）解：因为函数
则，
由题设得，
又由，
所以
，
令，可得，
令，可得，
所以在上是增函数，所以，所以，
又因为，所以，
所以，即.
22．解：（1）曲线：，把代入得的普通方程：，
因点的极坐标为，则点的直角坐标是，而直线l的倾斜角为
所以直线l 的参数方程为：（t为参数）.
（2）把直线l 的参数方程代入曲线的普通方程得：
，整理得：，，即，
令点A，B所对参数分别为，则有，因点B为的中点，即有，于是得，
所以.
23．（1）解：根据题意，当时，，
所以，，设；
直线与交于点，与直线交于点，
且，
点到直线的距离，
所以，要求图形的面积；
（2）解：当时，，，即，解可得，此时有，
当时，，，即，解可得，
又由，则，此时有，
综合可得：不等式的解集为，
因为不等式的解集是
所以，，解可得；所以，.马街中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟考试
数学（理工类）
本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知（，，i为虚数单位），复数，则
A．2 B． C． D．
2．设集合，，是实数集，则
A． B． C． D．
3．溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是（参考数据：）
A． B． C． D．
4．若，，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
5．函数的图象为
A． B．
C． D．
6．在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
7．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上的一点，将角终边逆时针旋转得到角的终边，则
A． B． C． D．
8．已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则
A． B． C． D．
9．若函数在处取得极值，则
A．2 B．3 C．4 D．5
10．在三棱锥中，平面，，，，若三棱锥的体积为6，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
11．关于函数有下述四个结论：
①的图象关于轴对称；②在有3个零点；
③的最小值为；④在区间单调递减.
其中所有正确结论的编号是
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
12．已知函数，以下结论正确的个数为
①当时，函数的图象的对称中心为；
②当时，函数在上为单调递减函数；
③若函数在上不单调，则；
④当时，在上的最大值为15．
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在处的切线方程为 .
14．已知函数在R上单调递增，则m的最小值为 .
15．已知奇函数为上的减函数，若，则实数的取值范围是 ．
16．在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知函数，图像的相邻两对称轴之间的距离为．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
18．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且.
(1)求A的大小；
(2)过点C作，在梯形ABCD中，，，，求的长.
19．（12分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
20．（12分）如图，在三棱锥中，为正三角形，，O，E分别为BD，BC的中点，且.
(1)证明：；
(2)求平面AOE与平面ADC所成锐二面角的余弦值.
21．（12分）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对于,且,存在正实数,使得,试判断与的大小关系，并给出证明.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为，倾斜角为的直线l 过点，点的极坐标为.
(1)求曲线 的普通方程和直线l 的参数方程.
(2)若l与交于A，B两点，且点B为的中点，求
23．（选修4-5 不等式选讲）
设函数，其中.
(1)当时，求曲线与直线围成的三角形的面积；
(2)若，且不等式的解集是，求的值.
