6.1幂函数 练习
一、单选题
1．幂函数的图象经过点.则（ ）
A．8 B． C． D．
2．已知函数是在上单调递增的幂函数，则
A．0或4 B．0或2 C．0 D．2
3．已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知与都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，都不是常数函数，现有下列三个结论：①；②的图象关于直线对称；③与在上的单调性可能相同 其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知幂函数的图像过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域为 D．在单调递减
6．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，若，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
10．下列四个函数中过相同定点的函数有（ ）
A． B．
C． D．
11．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列叙述正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“，使得”
B．若存在，当时，有，则在上单调递增；
C．所有幂函数的图象都经过点和
D．若函数的图象经过点，则函数是偶函数
三、填空题
13．幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为 ．
14．已知函数（，且）在上的函数值总小于2，则实数的取值范围为 ．
15．已知幂函数在上是减函数，则实数值是 .
16．已知函数是幂函数，则实数 .
四、解答题
17．解关于a的不等式
18．函数y＝(m2－m－1)是幂函数，且在x∈上为减函数，求实数m的值．
19．分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
20．已知幂函数的图象经过点
(1)试求的值并写出该幂函数的解析式.
(2)试求满足的实数的取值范围.
21．已知为幂函数，且在上单调递增.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.
22．若，试求实数m的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】设出幂函数，代入点，求出，即可求出.
【详解】设幂函数，因为经过点，所以，解得，
则.
故选：B.
2．C
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合幂函数的单调性进行求解即可．
【详解】∵f（x）是幂函数，
∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m2﹣4m+2＞0，
则当m＝0时，2＞0成立，
当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，
故选C．
【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，根据幂函数的定义求出m的值是解决本题的关键，属于基础题．
3．D
【分析】设幂函数为，根据函数过点，代入求出，即可得到函数解析式，再根据幂函数的性质判断即可.
【详解】解：设幂函数为，由函数过点，
所以，即，所以，解得，
所以，则函数的定义域为，且，
故为偶函数，且函数在上单调递减，则函数在上单调递增，
故符合题意的为D；
故选：D
4．D
【分析】根据奇函数的性质及赋值法得到，从而判断①正确；根据偶函数的性质得到，从而判断②正确；取，判断两者的单调性，从而判断③正确.
【详解】对于①：由是奇函数，即，取得，则，正确；
对于②：由是偶函数，得，则的图象关于直线对称，正确；
对于③：取，则与在上都单调递增，正确
故选：D.
5．D
【解析】设出幂函数的解析式，将所过点坐标代入，即可求出该函数.再根据幂函数的性质的结论，选出正确选项.
【详解】设幂函数为，因为函数过点，
所以，则，
所以，
该函数定义域为，则其既不是奇函数也不是偶函数，
且由可知，该幂函数在单调递减.
故选：D.
6．B
【解析】利用幂函数和对数比较指数式与对数式大小即可.
【详解】根据幂函数性质，在上单调递增，，则，而，故.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数幂和对数式比较大小的方法，属于基础题.
7．B
【分析】确定函数在上单调递减，得到函数值的大小关系.
【详解】在上单调递减，，故，
故.
故选：B.
8．A
【分析】由复合函数的单调性的法则进行判断求解即可.
【详解】因为函数在上单调递减，
设，为增函数，在上单调递减，
则为减函数，且在区间上，大于零恒成立，
所以，解得．
故选：A．
9．BD
【分析】根据函数的奇偶性和增减性逐一判断选项，即可得出结果.
【详解】解：选项A，不是奇函数，是增函数，不符合题意；
选项B，是奇函数，又是增函数，符合题意；
选项C，是反比例函数，为奇函数，但不是增函数，不符合题意；
选项D，，为奇函数，在R上为增函数，符合题意．
故选：BD
10．AB
【分析】分别求出各个函数的定点，即可判断.
【详解】对于，当时，，则过定点；
对于，当时，，则过定点；
对于，当时，，则过定点；
对于，当时，，则过定点,
故A，B中的函数过相同的定点.
故选：AB.
【点睛】本题考查函数定点的判断，属于基础题.
11．BC
【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解
【详解】对于A：的定义域为，且，
所以为奇函数，故A错误；
对于B：的定义域为，且，所以为偶函数，
当时，由一次函数的性质可知，在上单调递增，
即在上单调递增，故B正确；
对于C：的定义域为，且，
所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递增，故C正确；
对于D：的定义域为，且，
所以为奇函数，故D错误；
故选：BC
12．AD
【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断选项A，根据单调递增的概念判断选项B，根据幂函数的图象与性质判断选项C、D
【详解】A选项：“”的否定是“”，为真命题，正确；
B选项：根据增函数定义，当时，有，则在上单调递增，所以B错误；
C选项，当指数时，幂函数的图象不经过原点，故C错误；
D选项，将点代入，得，所以函数，则为偶函数，故D正确；
故选：AD
13．或
【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于的不等式组，解得即可求出的值.
【详解】是幂函数，也是偶函数，
且在上为增函数，
且为偶数，
解得或，
当时，，
当时，.
故答案为：或
14．
【分析】问题等价于时，分两种情况讨论，借助指数函数的单调性可得其最大值，从而求得结果.
【详解】当时在上单调递增，
所以，所以；
当时，在上单调递减，
所以，所以．
故答案为．
【点睛】该题考查的是利用指数函数在某个区间上满足相应的条件求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有分类讨论研究指数函数的单调性，将恒成立转化为最值问题来处理，属于简单题目.
15．
【分析】由幂函数的性质可得，求解即可.
【详解】解：因为幂函数在上是减函数，
所以，
解得.
故答案为：
16．2
【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义直接计算作答.
【详解】因为函数是幂函数，则，解得，
所以.
故答案为：2
17．0＜a＜1.
【分析】不等式即，再根据幂函数在上递增，列出不等式，即可得出答案.
【详解】解：不等式即，
因为幂函数在上递增，
所以，即0＜a＜1.
18．
【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解.
【详解】解：因为函数y＝(m2－m－1)是幂函数， 所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，
又函数y＝(m2－m－1)在x∈上为减函数， 所以m－1<0，即m<1，
所以m＝.
19．（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数；
【分析】首先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义即可求解.
【详解】（1），定义域为，关于原点对称，
，函数为奇函数.
（2），定义域为，不关于原点对称，
函数为非奇非偶函数.
（3）定义域为，
关于原点对称，且，函数为偶函数.
（4）定义域为，
定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数.
.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）将点代入函数解析式即可求出参数m的值和该幂函数的解析式；
（2）根据函数的定义域和单调性，即可利用不等式求的取值范围.
【详解】（1）解：由题可得，所以，
所以，解得或，又，所以，
则该幂函数的解析式为.
（2）的定义域为，且在上单调递增，
则有，解得，
所以的取值范围为.
21．(1)的值为0，
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义，建立方程，利用单调性检验，可得答案；
（2）整理不等式，利用基本不等式，可得答案.
【详解】（1）因为为幂函数，
所以，解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，在上单调递增，符合题意.
综上所述，的值为0，的解析式为.
（2），，则，
，当且仅当时，取得最大值，
所以，则的取值范围为.
22．
【分析】结合幂函数的定义域以及其在(0,+∞)上单调递增，列出不等式组求解即可.
【详解】因为幂函数的定义域是{x|}，
且在(0,+∞)上单调递增，
则原不等式等价于，解得，
所以实数m的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关结合幂函数的定义和性质求解不等式的问题，正确解题的关键是要时刻关注函数的定义域，研究函数先要保证函数的生存权.
