第13章 轴对称 章末复习
【知识网络】
【易错示警】
1．不能正确地区别轴对称与轴对称图形．
2．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离是点与点的距离，角平分线上的点到角两边的距离是点到线的距离．
3．“三线合一”使用的前提是等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线．
4．“等边对等角”和“等角对等边”是把同一个三角形中相等的角和相等的边互相转化的工具，但要切记，只限于在同一个三角形中．
5．含30°角的直角三角形的性质的前提是在直角三角形中，做题时，若遇到30°就认为这个角所对的边等于另外一条边的一半．
6．学了等腰三角形的知识后，不直接应用性质，仍习惯用全等证线段或角相等，甚至出错．
7．在运用轴对称的性质解决最短路径方案设计问题时，不能准确找到对称轴．
【考点突破】
考点1：轴对称图形与轴对称
1．下列图形中不是轴对称图形的是( )
2．(2022·通辽)冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为( )
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是( )
A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′的面积相等 D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上
4．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论正确的是( )
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE
5．(2022·常州)在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1(1，2)，则点A2的坐标是( )
A.(－2，1) B．(－2，－1) C．(－1，2) D．(－1，－2)
6．如图，两个三角形通过适当摆放，可摆成关于某条直线成轴对称，则x＝ 度．
7．在4×4的网格中有五个同样大小的正方形阴影如图所示摆放，移动其中一个阴影正方形到空白方格中，与其余四个阴影正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有______种．
考点2：垂直平分线的性质与判定
8．如图所示，点P是△ABC内一点，且PD＝PE＝PF，则点P是( )
A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是( )
A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A
10．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6 cm.
(1)求BC的长；
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16 cm，求OA的长．
考点3：等腰三角形的判定与性质
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝( )
A．40° B．50° C．60° D．80°
12．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，下列结论中不一定正确的是( )
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
13．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为 .
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12 cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是________cm.
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，DE∥AB交AC于点E.求证：AE＝CE.
16．在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一个动点(不与B、C重合)，以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE.
(1)如图①，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是________三角形；
(2)若∠BAC＝∠DAE≠60°，如图②，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状，并说明你的理由．
考点4：等边三角形的性质与判定
17．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，且∠ADC的度数为(5x－20)°，则x的值可能是( )
A．10 B．20 C．30 D．40
18．将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°.如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为________°.
19．如图，在等边△ABC中，点D为AC上一点，CD＝CE，∠ACE＝60°.
(1)求证：△BCD≌△ACE；
(2)延长BD交AE于点F，连接CF，若AF＝CF，猜想线段BF，AF的数量关系，并证明你的猜想．
考点5：用坐标表示轴对称
20．若点A(a－2,3)和点B(－1，b＋5)关于y轴对称，则点C(a，b)在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称，点C的坐标为(4,1)，则点B关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(－2,1) B．(－3,1) C．(2，－1) D．(－2，－1)
22．如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2,3)，B(1,0)，C(0,3)．
(1)画出“V”字图形向左平移2个单位长度后的图形；
(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
(3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？(任意答一个即可)
考点6：含30°角的直角三角形的性质
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠PCB＝30°，则AP的长为_______________.
考点7：最短路径问题
24．如图，P是∠AOB内任意一点，OP＝3 cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值是__________.
【综合练习】
1．在下列绿色食品、循环回收、节能、节水的四个标志中，属于轴对称图形的是( )
2．已知点M与点P关于x轴对称，点N与点M关于y轴对称．若点N(1,2)，则点P的坐标为( )
A．(2,1) B．(－1,2) C．(－1，－2) D．(1，－2)
3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是( )
A．40° B．50° C．60° D．30°
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD，交AB于点E，则下列结论一定成立的是( )
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
5．已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线l对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB＝A′B′；②点P在直线l上；③若A、A′是对称点，则直线l垂直平分线段AA′；④若B、B′是对称点，则PB＝PB′.其中正确的是( )
A．①③④ B．③④ C．①②③④ D．①②
6．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为( )
A．23° B．25° C．27° D．30°
7．已知∠MON＝45°，其内部有一点P关于OM的对称点是A，关于ON的对称点是B，且OP＝4cm，则S△AOB＝ cm2.
8．若四点A(2，0)，B(3，0)，C(2，3)，D(0，2)，则∠ACD－∠ACB＝________．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F.若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是 ．
10．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E.若∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝ ．
11．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
12．京九铁路贯穿某市，为该市的经济发展提供了巨大的商机，A、B两商业重镇如图所示，市政府决定在铁路旁修建一物资中转站，以便A、B两商业重镇的产品及时调运．
(1)为了A、B两镇的公平，中转站应建在什么地方？作图并说明理由；
(2)为了节省修建的费用，中转站又应建在什么地方？
13．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．
14．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE交于点G.
(1)求证：BF＝AC；
(2)求证：CE＝BF；
(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
【知识网络】
【易错示警】
1．不能正确地区别轴对称与轴对称图形．
2．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离是点与点的距离，角平分线上的点到角两边的距离是点到线的距离．
3．“三线合一”使用的前提是等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线．
4．“等边对等角”和“等角对等边”是把同一个三角形中相等的角和相等的边互相转化的工具，但要切记，只限于在同一个三角形中．
5．含30°角的直角三角形的性质的前提是在直角三角形中，做题时，若遇到30°就认为这个角所对的边等于另外一条边的一半．
6．学了等腰三角形的知识后，不直接应用性质，仍习惯用全等证线段或角相等，甚至出错．
7．在运用轴对称的性质解决最短路径方案设计问题时，不能准确找到对称轴．
【考点突破】
考点1：轴对称图形与轴对称
1．下列图形中不是轴对称图形的是( C )
2．(2022·通辽)冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为( A )
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是( D )
A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′的面积相等 D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上
4．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论正确的是( D )
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE
5．(2022·常州)在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1(1，2)，则点A2的坐标是( D )
A.(－2，1) B．(－2，－1) C．(－1，2) D．(－1，－2)
6．如图，两个三角形通过适当摆放，可摆成关于某条直线成轴对称，则x＝ 度．
【答案】75
7．在4×4的网格中有五个同样大小的正方形阴影如图所示摆放，移动其中一个阴影正方形到空白方格中，与其余四个阴影正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有______种．
【答案】13
考点2：垂直平分线的性质与判定
8．如图所示，点P是△ABC内一点，且PD＝PE＝PF，则点P是( B )
A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是( D )
A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A
10．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6 cm.
(1)求BC的长；
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16 cm，求OA的长．
解：(1)6 cm (2)5 cm
考点3：等腰三角形的判定与性质
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝( B )
A．40° B．50° C．60° D．80°
12．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，下列结论中不一定正确的是( D )
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
13．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为 .
【答案】15°或45°或75°
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12 cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是________cm.
【答案】24
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，DE∥AB交AC于点E.求证：AE＝CE.
证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE.∵AD⊥CD，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠EDA＋∠EDC＝90°.∵∠EDA＝∠EAD，∴∠EDC＝∠ACD，∴DE＝CE，∴AE＝CE
16．在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一个动点(不与B、C重合)，以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE.
(1)如图①，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是________三角形；
(2)若∠BAC＝∠DAE≠60°，如图②，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状，并说明你的理由．
解：(1)等边；
(2)△BEF是等腰三角形．理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，即∠DAC＝∠EAB.又∵AC＝AB，AD＝AE，∴△DAC≌△EAB(SAS)，∴∠EBA＝∠C.∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠ABC.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠EFB＝∠EBA，∴EB＝EF.∴△BEF是等腰三角形．
考点4：等边三角形的性质与判定
17．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，且∠ADC的度数为(5x－20)°，则x的值可能是( B )
A．10 B．20 C．30 D．40
18．将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°.如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为________°.
【答案】120
19．如图，在等边△ABC中，点D为AC上一点，CD＝CE，∠ACE＝60°.
(1)求证：△BCD≌△ACE；
(2)延长BD交AE于点F，连接CF，若AF＝CF，猜想线段BF，AF的数量关系，并证明你的猜想．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠BCD＝60°.∵∠ACE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE.在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE(SAS)
(2)BF＝2AF.证明如下：∵AF＝CF，AB＝BC，BF＝BF，∴△ABF≌△CBF(SSS)，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°.由(1)知△BCD≌△ACE，∴∠CAE＝∠CBD＝30°，∴∠BAF＝∠BAC＋∠CAE＝90°.又∵∠ABF＝30°，∴BF＝2AF
考点5：用坐标表示轴对称
20．若点A(a－2,3)和点B(－1，b＋5)关于y轴对称，则点C(a，b)在( D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称，点C的坐标为(4,1)，则点B关于x轴对称的点的坐标为( D )
A．(－2,1) B．(－3,1) C．(2，－1) D．(－2，－1)
22．如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2,3)，B(1,0)，C(0,3)．
(1)画出“V”字图形向左平移2个单位长度后的图形；
(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
(3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？(任意答一个即可)
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
(3)可以看出，由(1)问得到的图形为英文字母W，由(2)问得到的图形为英文字母X.
考点6：含30°角的直角三角形的性质
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠PCB＝30°，则AP的长为_______________.
【答案】或9或3
考点7：最短路径问题
24．如图，P是∠AOB内任意一点，OP＝3 cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值是__________.
【答案】3 cm
【综合练习】
1．在下列绿色食品、循环回收、节能、节水的四个标志中，属于轴对称图形的是( A )
2．已知点M与点P关于x轴对称，点N与点M关于y轴对称．若点N(1,2)，则点P的坐标为( C )
A．(2,1) B．(－1,2) C．(－1，－2) D．(1，－2)
3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是( A )
A．40° B．50° C．60° D．30°
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD，交AB于点E，则下列结论一定成立的是( C )
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A.∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE.又∵∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE.
5．已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线l对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB＝A′B′；②点P在直线l上；③若A、A′是对称点，则直线l垂直平分线段AA′；④若B、B′是对称点，则PB＝PB′.其中正确的是( C )
A．①③④ B．③④ C．①②③④ D．①②
6．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为( B )
A．23° B．25° C．27° D．30°
7．已知∠MON＝45°，其内部有一点P关于OM的对称点是A，关于ON的对称点是B，且OP＝4cm，则S△AOB＝ cm2.
【答案】8
8．若四点A(2，0)，B(3，0)，C(2，3)，D(0，2)，则∠ACD－∠ACB＝________．
【解析】如图，取OA的中点E，连接CE，DE，过点C作CF⊥y轴于点F.
∵A(2，0)，B(3，0)，C(2，3)，D(0，2)．∴OE＝FD＝AE＝AB＝1，OD＝CF＝2，CA⊥BE，∠CFD＝∠DOE＝90°.∴BC＝EC.
∴∠ACB＝∠ACE.在△CFD和△DOE中，
∴△CFD≌△DOE(SAS)．∴CD＝DE，
∠CDF＝∠DEO.∵∠ODE＋∠DEO＝90°，∴∠ODE＋∠CDF＝90°.
∴∠CDE＝180°－90°＝90°，∴△CDE是等腰
直角三角形，∴∠DCE＝45°.∵∠ACB＝∠ACE，
∴∠ACD－∠ACB＝∠ACD－∠ACE＝∠DCE＝45°.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F.若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是 ．
【答案】2
10．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E.若∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝ ．
【答案】24°
【解析】设∠C＝α.∵ED垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠EAD＝∠C＝α，∴∠FAC＝α＋19°.∵AF平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠FAC＝2α＋38°.在△ABC中，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即70°＋2α＋38°＋α＝180°，解得α＝24°，∴∠C＝24°
11．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，∴△ABP≌△ACQ，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角形．
12．京九铁路贯穿某市，为该市的经济发展提供了巨大的商机，A、B两商业重镇如图所示，市政府决定在铁路旁修建一物资中转站，以便A、B两商业重镇的产品及时调运．
(1)为了A、B两镇的公平，中转站应建在什么地方？作图并说明理由；
(2)为了节省修建的费用，中转站又应建在什么地方？
解：(1)中转站建在线段AB的垂直平分线与铁路相交的一点上，作图略；
(2)作A关于铁路的对称点A′，连接A′B交铁路于P，则中转站应建在P点上，图略．
13．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．
解：∵△ADB和△ACE都是等边三角形，∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝60°＋∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，∠DBC＝60°＋∠ABC.
又∵∠DAE＝∠DBC，∴120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，即∠ABC＝60°＋∠BAC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝60°＋∠BAC.设∠BAC＝x°.∵∠BAC＋2∠ABC＝180°，∴x＋2(x＋60)＝180，解得x＝20.
∴∠BAC＝20°.∴∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC＝60°＋20°＝80°.
∴△ABC三个内角的度数分别为20°，80°，80°.
14．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE交于点G.
(1)求证：BF＝AC；
(2)求证：CE＝BF；
(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．
(1)证明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴BD＝CD，又∠BDF＝∠CDA＝90°，BE⊥AC，∴∠DBF＋∠A＝∠ACD＋∠A＝90°，∴∠DBF＝∠ACD，∴△BDF≌△CDA，∴BF＝AC；
(2)证明：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，∴∠BCE＝∠BAE，∴BA＝BC，∴CE＝AC.又AC＝BF，∴CE＝BF；
(3)解：CE＜BG.证明：连接CG，∵BD＝CD，H为BC的中点，∴DH⊥BC，∴BG＝CG.在Rt△CEG中，CG＞CE，∴BG＞CE，即CE＜BG.
