2023-2024浙教版九年级上册数学期末模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题3分，共30分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知扇形的圆心角为，半径为，则弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．将一枚均匀的硬币连续抛掷两次，抛掷两次结果如下图所示，则两次都是正面朝上的概率等于（ ）
正 反
正 （正，正） （正，反）
反 （反，正） （反，反）
A． B． C． D．
4．如图，已知中，，若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，、、都是的半径（点在劣弧上，不包括端点、），则下列关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，四边形内接于是的直径，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2
C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
9．已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是
C．当时， D．当时，y随x的增大而减小
10．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，若，，则为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题（每题3分，共24 分）
11．一个正多边形的中心角为36°，则这个正多边形的内角和为 度．
12．若抛物线的形状与相同，顶点是，则该抛物线的表达式可以是 ．（写出一个即可）
13．若点，在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）．
14．如图，用长的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是 ．(中间横框所占的面积忽略不计)
15．某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 ．
16．如图，是⊙的弦，是的中点，交于点．若，，则⊙的半径为 ．
17．如图，在中，，、分别是边和上的点，且，若的值为10，则的长为 ．
18．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走30步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走750步到D处正好看到处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式 ．
三、解答题（46分）
19．（6分）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．
（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．
20．（6分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 件；
（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
21．（6分）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
22．（8分）如图所示，已知为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，，求的直径．
23．（8分）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为B，交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
24．（12分）如图1，在正方形中，点P在上，分别过点C、D作于点E、G，联结，过点C作于点F．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)求的值；
(3)如图2，若，经过的中点K，求的长．
()
()
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如的顶点坐标为是解题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选C．
2．B
【分析】根据扇形的弧长公式，直接代入求出即可．
【详解】解：根据扇形的弧长公式，可得：，
∴弧长为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长计算公式，正确的记忆弧长的计算公式是解本题的关键．
3．B
【分析】列表得到所有4种等可能的结果数，再找出两次都是反面朝上的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】共4种等可能情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是，
故选B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
4．C
【分析】根据平行线分线段成比例的方法即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，且，，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，掌握以上知识是解题的关键．
5．B
【分析】由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【详解】解：，
当时，，故A不合题意；
当时，，故C不合题意；
当时，，故D不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．B
【分析】本题考查圆周角定理，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”进行判断即可，能够熟练运用圆周角定理是解决本题的关键．
【详解】解：根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，
为弧所对的圆心角，
弧所对的圆周角为，
故，
故选：B．
7．A
【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．
【详解】解：∵四边形内接与，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
8．C
【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，
则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
9．C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数图象，结合二次函数的性质逐一判断即可求解，从图象中获取信息，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解： A、由图得：图象关于直线对称，则正确，故不符合题意；
B、由图得：函数的最小值是，则正确，故不符合题意；
C、由图得：对称轴为直线，抛物线的一个交点为：，则抛物线与x轴的另一交点为：，
当时，，则错误，故符合题意；
D、由图得：对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，则正确，故不符合题意；
故选C．
10．A
【分析】由与关于原点O位似，，可得与面积之比为，从而可得答案.
【详解】解：∵与关于原点O位似，，
∴与相似比为：，
∴与面积之比为，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是位数图形的性质，熟记位似图形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键.
11．1440
【分析】依据正多边形的中心角和为求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可．
【详解】解：因为正多边形的中心角为36°，且中心角和为，
所以这个多边形边数：，
则这个多边形的内角和为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形内角和公式、中心角性质，通过中心角求得边数是解题的关键．
12．（或）
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．根据抛物线的顶点坐标及形状与抛物线相同，可得出，再由顶点坐标即可求出抛物线的解析式．
【详解】解：
抛物线的顶点坐标，形状与抛物线相同，
这个二次函数的解析式为或．
故答案为：或．
13．＜
【分析】将、分别代入可求得、，即可判定大小关系．
【详解】解：将代入得，，
将代入得，，
显然，
即．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查根据二次函数解析式，求因变量的值．注意计算的准确性．
14．
【分析】设窗的高度为xm，宽为m，根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
【详解】解：设窗的高度为xm，宽为．
所以，即，
当x=2m时，S最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用．能熟练将二次函数化为顶点式，并据此求出函数的最值是解决此题的关键．
15．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1种结果，
∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图法求概率问题，关键是根据题意正确画出树状图进而求解.
16．
【分析】连接，根据垂径定理，得，设，则，根据勾股定理，即可．
【详解】连接，
∵是⊙的弦，是的中点，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握垂径定理的运用，勾股定理的运用．
17．2
【分析】由相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
18．
【分析】设正方形城池的边长为步，，根据比例性质列方程即可．
【详解】解：设正方形城池的边长为步，则，
，
，
，
，即，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程和相似三角形的应用，构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长是解题的关键．
19．（1），M (1，-2)；（2）
【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
【详解】解 （1）∵抛物线过点A(2，0)，
，解得，
，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得，
∴直线AM的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．（1）180；（2）每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；
（2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），
故答案为180；
（2）由题意得：
y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]
=﹣10x2+1100x﹣28000
=﹣10（x﹣55）2+2250
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
21．（1）；（2）
【分析】（1）用负数的个数除以数字的总个数即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）负数的个数有1个，数字的总个数是3个，
所以第一次抽到写有负数的卡片的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．
【点睛】本题考查的是求概率和树状图，熟练掌握概率的意义是解决本题的关键．
22．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）先利用得到，再利用直角三角形的两锐角互余即可求解；
（2）利用垂径定理得到，再得到，，在中，利用得到求出，即可得到求解．
【详解】（1）（1）证明：∵
∴
又∵为直径，
∴，
又∵
∴，
∴
∴
（2）∵，为直径
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，
即，解得，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，直径的性质，同角的余角相等，勾股定理：若三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由菱形的性质证得，再由同角的余角相等证得，利用有两个角分别相等的三角形相似判定，由相似三角形的性质可得比例式，结合菱形的边长相等可得结论；
（2）利用有两个角分别相等的三角形相似判定，从而可得比例式，利用勾股定理求得的长，再由比例式可得的值，进而得出的值，然后由关系式求得答案即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
24．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再证明，则，即可证明四边形是正方形；
（2）连接交于点O，证明. 则.又由得到 再证明. 即可得到；
（3）证明，则.设，则，在中，由勾股定理得，则，证明，进一步得到是等腰直角三角形，，由得到，即可得到答案．
【详解】（1）证明∵，
∴四边形是矩形.
在正方形中，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴
∴.
∴四边形是正方形.
（2）连接交于点O，由（1）可得.
又，
∴.
∴.
又，
∴
∴，.
∴
∴.
∴；
（3）连接.
由题意得，则.
由（2）可知，，
∵，
∴.
所以.
设，则，在中，由勾股定理得，
则，
又，
∴，
则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴.
所以．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
