2023-2024学年上学期人教A版（2019）必修第一册
第一章集合及常用逻辑用语单元测试题
（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.如图所示，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A. B. C. D.
2.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.下列各组中的 表示同一集合的是( )
A.;
B.;
C.;
D..
4.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为( ).
A.200吨 B.300吨 C.400吨 D.600吨
5.等式成立的充要条件是( )
A. B. C. D.
6.命题“”的否定为( )
A.“ B.“”
C.“” D.“”
7.下列命题中，为真命题的全称量词命题是( )
A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2—2a—2b+2 < 0
B.菱形的两条对角线相等
C. x∈R,=x
D.一次函数y=kx+b(k > 0),y随x的增大而增大
8.已知正数满足，则的最小值为( )
A.6 B.8 C.16 D.20
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.下列命题是真命题的有( )
A.命题“”的否定是“或”
B.“至少有一个x使成立”是全称量词命题
C.“,”是真命题
D.“,”的否定是真命题
10.已知，，则下列说法正确的是( )
A.的取值范围为 B.的取值范围为
C.的取值范围为 D.的取值范围为
11.有以下说法，其中正确的为( )
A.“x,y为无理数”是“xy为无理数”的充分条件
B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的必要条件
D.“”是“”的充分不必要条件
12.已知，，且，则( )
A.的最小值是6 B.的最大值是6
C.的最小值是9 D.不存在最大值
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.A.如图,抛物线的对称轴是直线,下列结论:A.;B.;C.;D..其中正确的结论有.
14.已知：，则大小关系是_________.
15.已知集合A={x|x > a}，，，则实数a的取值范围是________.
16.已知正数是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）解关于x的不等式: .
18.（12分）已知集合，.
(1)若实数，求；
(2)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
19.（12分）已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，解关于的不等式.
20.（12分）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否是“和谐集”(不必写过程).
(2)请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”.
(3)当时，集合，求证：集合不是“和谐集”.
21.（12分）对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22.（12分）设函数.
(1)当且时，解关于的不等式；
(2)已知，若的值域为，，求的最小值.
答案
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.【答案】C
【解析】根据图中的阴影部分是M∩S的子集，但不属于集合P，属于集合P的补集，然后用关系式表示出来即可.解：图中的阴影部分是： M∩S的子集，不属于集合P，属于集合P的补集,即是CIP的子集则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩ IP,故选 C.
2.【答案】B
【解析】因为全集，集合，
所以，
又集合，
所以 ，
故选： B.
3.【答案】C
【解析】 A.中有两个元素，中有一个元素，;
B.有序数对 ;
C.;
D.的元素是实数，的元素是有序数对，.
故选：C
4.【答案】C
【解析】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每旽的平均处理成本最低.故选;C
5.【答案】C
【解析】
.
故选： C.
6.【答案】C
【解析】由特称命题的否定为全称命题，
所以原命题的否定为：.
故选：C
7.【答案】D
【解析】A为假命题，B为假命题，C为存在量词命题，D为全称量词命题，且为真命题.
8.【答案】C
【解析】由已知条件得，
当且仅当，a＋b＝1时，即a＝，b＝时等号成立.故选 C.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.【答案】ACD
【解析】选项A：因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定是“或”正确，即选项A正确；
选项B：“至少有一个x使成立”是特称命题，故选项B错误；
选项C：当时，，所以“，”是真命题，选项C正确；
选项D：因为时，，所以命题 “，”是假命题，所以“，”的否定是真命题，选项D正确.
故选：AC D.
10.【答案】ACD
【解析】对于，因为，所以，所以的取值范围为，故正确；
对于，因为，，所以，，所以的取值范围为，故不正确；
对于，因为，所以，又，所以的取值范围为，故正确；
对于，因为，，所以的取值范围为，故正确；
故选：AC D.
11.【答案】CD
【解析】A.是有理数为有理数，不正确.
B.反之不成立，
因此“”是”的充分不必要条件，不正确.
C.由，反之不成立，
因此：“”是“”的必要条件，正确.
D.“”或，因此正确.
故选：CD
12.【答案】ACD
【解析】，可得，
由基本不等式，，即，
由，，得，当且仅当时等号成立，
即最小值为6，A选项正确，B选项错误；
由基本不等式，，解得，当且仅当时等号成立，
即最小值为9，无最大值，CD选项正确.
故选：AC D.
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.【答案】BCD
【解析】对称轴是直线，结合图象知：
，，且，
即，
即，
故答案为：BCD
14.【答案】
【解析】由，得，因此，
显然，则，
所以大小关系是.
故答案为：
15.【答案】
【解析】由，解得，
所以，故，
由于，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：
16.【答案】9
【解析】因为正数是关于的方程的两个实数根，所以，所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，
故的最小值为9.
故答案为：9.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）【答案】答案见解析
【解析】①当时，不等式化为，解得，
此时不等式的解集为;
②当时，原不等式化为，
解得不等式的解集为:；
③当时，原不等式化为: ，
解得不等式的解集为:.
综上所述，当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为
18.（12分）【解析】由题意，集合，
，
(1)，；
【解析】若实数，则，
所以，；
(2).
【解析】若是的充分不必要条件，则，
则，解得，
所以实数m的取值范围为.
19.（12分）(1)
【解析】由，可得对恒成立，
则，解得，
故的取值范围.
(2)答案见详解
【解析】由题意可得：，
令，可得或，
对于不等式，则有：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20.（12分）(1)集合不是“和谐集”.
【解析】集合不是“和谐集”.
(2)集合是“和谐集”；证明见解析.
【解析】集合，
证明：∵，
，
，
，
，
，
，
∴集合是“和谐集”.
(3)证明见解析.
【解析】证明：不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，
将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有③，或者④，
由①③得，矛盾，由①④得，矛盾，由②③得矛盾，由②④得矛盾，
故当时，集合一定不是“和谐集”.
21.（12分）【答案】
【解析】当时，可得：恒成立，所以满足要求，
当时，因为恒成立，
所以，解得：，
综上可知：.
22.（12分）(1)或；
【解析】由且，代入不等式，得，
化简，得，或，
不等式的解集为或
(2).
【解析】由的值域为，，可得，△，
，可得.
，.
的最小值为.
