黄冈市部分高中2023-2024学年高二上学期11月阶段性教学质量监测
数学
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（ ）
A. B.4 C. D.8
3.对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知事件，且，.若与互斥，令，若与相互独立，令，则（ ）
A.0.18 B.0.28 C.0.42 D.046
5.已知为椭圆：的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为 ）
A.4 B. C.8 D.
6.已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱.若，，，.则这两个平面的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，，，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ）
A.10 B.14 C.18 D.20
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品，从中不放回的依次随机取出2支，则下列说法正确的是（ ）
A.事件“至少有一支一等品”与“至少有一支二等品”是互斥事件
B.事件“至少有一支一等品”与“都是二等品”是对立事件
C.记事件“至多有一支一等品”，事件“两支都是二等品”，则.
D.记事件“至多有一支一等品”，事件“至多有一支二等品”，则
10.已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.在方向上的投影向量为
C.点到直线的距离为 D.的面积为
11.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆：（），，，，为顶点，，为焦点，为坐标原点，为椭圆上一点.则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A.
B.轴且
C.四边形的内切圆过焦点，
D.的面积最大值为
12.已知正方体的棱长为2，点满足，其中，，为棱的中点，则下列说法正确的有（ ）
A.若平面，则点的轨迹的长度为
B.当时，的面积为定值
C.当时，三棱锥的体积为定值
D.当时，存在点使得平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，，若点关于平面的对称点为，则，两点间的距离为______.
14.若方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围为______.
15.过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为______.
16.在一次乒乓球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛.假设每局比赛中甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，比赛规则是连胜2局或先胜3局者获胜，则甲获得冠军的概率为______.
四、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
一个质地均匀的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体两次，并记录正四面体朝下的数字.
（1）记事件“两次数字之和为偶数”，求；
（2）记事件“第一次数字为奇数”，事件“第二次数字为偶数”，求与；并判断事件与是否相互独立.
18.（本小题满分12分）
在四棱锥中底面，底面是菱形，，，点在上.
（1）求证：平面；
（2）若为中点，求直线与平面所成的角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.
（1）求直线的方程；
（2）求顶点的坐标与的面积.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆：（）的焦距为4，且经过点，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求的值.
21.（本小题满分12分）
为了保护河上古桥，规划建一座新桥，同时建立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直，保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不小于.经测量点位于点正北方向处，点位于正东方向处（为河岸），.
（1）求新桥的长；
（2）当多长时，圆形保护区面积最大.
22.（本小题满分12分）
如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体.
（1）求证：平面平面；
（2）若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由.
① ②
黄冈市部分高中2023-2024学年高二上学期11月阶段性教学质量监测
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. D 2. D 3. B 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. BCD 10. ACD 11. AC 12. ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.（或0.65952）
四、解答题：
17.解：（1）“两次数字之和为偶数”则数字同奇或同偶，则符合条件的有，，，，，，，，故概率为.
（2）∵，，，∴，与是独立事件.
18.（1）∵底面，平面，，
又在菱形中，，平面.
（2）设，相交于点，∵为中点，∴
∴底面，以为原点，，分别为轴，轴，轴建立如图直角坐标系.
，，，而菱形的边长为2，
则，为正三角形，∴，
∴，，，，，.
∴，，，
设平面的法向量为，则，，
令，，，∴，
设与平面所成的角为，
则.
19.解：（1）∵，，∴，∴方程为：，即.
（2）联立解得，.
设，则，∴，∴.
∴，到直线距离为而.
∴的面积为.
20.（1）∵，∴，过点，∴，解得，.
∴.∴离心率为.
或：焦点，，
∴，.
（2）由（1）知椭圆方程为.设方程为，则
设，，则，.
∴，，∴.
联立与，得，
∴，∴，∴
或：消去得，∴.
∴，..
或：，即，∴，.
21.（1）如图，以为原点，，分别为轴，轴建立直角坐标系，
则，，
.∴
设，∴，，
解得，.
，新桥的长为.
（2）设保护区圆半径为，（），
由（1）知方程为即.
依题意.
∵和到该圆上任意一点的距离均不小于，∴
即解得.
∴当时圆面积最大.
当时，圆形保护区面积最大.
22.（1）∵平面平面，平面平面，
又，∴平面，∴，又，
∴平面，平面，∴平面平面.
（2）由（1）知平面，，.
∴为二面角的平面角，
又平面，∴，，∴，.
在①，∴，令，则，
解得.即，.在①中作，垂足.
①
则可得，.
∵平面平面，∴平面，
过作，以为原点，，，分别为轴轴轴建立如图直角坐标系，则
②
，，，.
设，.
设平面的法向量为，则
，∴，取，，即，
设平面的法向量为，则
取，，.即.
.解得（舍去），或.
∴.
